2.4圆的方程同步练习卷（含解析）

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2.4圆的方程同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．以点和为直径两端点的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知圆的方程是 ，则它的半径是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
3．若圆C与圆C′（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（　　）
A．（x＋1）2＋（y－2）2＝1 B．（x-2）2＋（y－1）2＝1
C．（x－1）2＋（y+2）2＝1 D．（x-2）2＋（y+1）2＝1
4．若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．已知圆M的方程为 ，过点 的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为 ，弦长最长的弦为 ，则四边形 的面积为（　　）
A．30 B．40 C．60 D．80
6．直线y=ax+b过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+（y+b）2=r2（r＞0）的圆心在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．圆心为（1，2），且与x轴相切的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1
C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4
8．在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知方程，下列叙述正确的是（　　）
A．方程表示的是圆. B．当时，方程表示过原点的圆.
C．方程表示的圆的圆心在轴上. D．方程表示的圆的圆心在轴上.
10．已知 ， ，若圆 上存在点 ，使得 ，则 的值可能为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
11．已知的三个顶点为，则（　　）
A．为直角三角形
B．的面积为3
C．边上的中线所在直线方程为
D．的外接圆方程为
三、填空题(共3题；共15分)
12．圆心坐标为 ，半径为 的圆的标准方程是　 　.
13．圆x2+2x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是　 　．
14．平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，3）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，5），求这个三角形外接圆的方程．
16．根据下列条件求圆的方程：
（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0 上的圆的方程；
（2）求以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程．
求圆心在直线2x﹣y﹣3=0上，且过点A（5，2）和点B（3，﹣2）的圆的方程．
m为何值时，方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．
19．已知的顶点分别为，，．
（1）求外接圆的方程；
（2）直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=，半径为，故所求的方程为，选B.
【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】圆的方程可化简为
则它的半径是
故答案为：B
【分析】首先把圆的方程化为标准方程由此即可求出圆的半径的值。
3．【答案】D
【解析】【解答】由于圆C′（x+2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C′（﹣2，1），半径为1，
圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1关于原点对称，C（2，﹣1）、半径为1，
故圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
故答案为：D．
【分析】求出已知圆的圆心关于原点对称的点坐标，即为所求圆的圆心，且半径为1，可得圆的方程．
4．【答案】B
【解析】【解答】圆的半径，即，，则，
圆心坐标为，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，得到圆的半径，求得，进而求得圆的圆心坐标.
5．【答案】B
【解析】【解答】圆M的标准方程为 ，即圆是以 为圆心，5为半径的圆，
且由 ，即点 在圆内，
则最短的弦是以 为中点的弦，
所以 ，所以 ，
过 最长的弦 为直径，所以 ，
且 ，故而 .
故答案为：B.
【分析】由题可知点 在圆内，则最短的弦是以 为中点的弦，过 最长的弦 为直径，求出后即可求出四边形面积.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b过第一、三、四象限，
由一次函数图象的性质可得，
a＞0，b＜0．
而圆（x+a）2+（y+b）2=r2（r＞0）的圆心坐标为（﹣a，﹣b）．
∴﹣a＜0，﹣b＞0．
∴圆（x+a）2+（y+b）2=r2（r＞0）的圆心在第二象限．
故选B．
【分析】由已知条件直线y=ax+b过第一、三、四象限，可得a＞0，b＜0．从而确定圆心的位置．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵圆与x轴相切
∴圆心（1，2）到x轴的距离d=2=r
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4
故选：A．
【分析】由圆与x轴相切可求2=r，根据圆的标准方程可求
8．【答案】B
【解析】【解答】解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0
则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4
故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2
若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，
则a＞0，且|﹣a|＞2
解得a＞2
故a的取值范围为（2，+∞）
故选B．
【分析】由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．
9．【答案】B,C
【解析】【解答】由得：；
对于A，若，即，则方程不表示圆，A不符合题意；
对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B符合题意；
对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】化简方程为，根据圆的标准方程及其性质，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：设点 ，由 ，所以 ，
则 ，即点 是以 为圆心， 为半径的圆上一点．
圆 ，可化为 ，因为 是圆 上一点，
所以 ，解得 ．
故答案为：BCD
【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，所以，即，
所以，所以为直角三角形，A符合题意；
又，，
所以，B符合题意；
因为、的中点为，所以，
所以直线的方程为，整理得，
即边上的中线所在直线方程为，C不符合题意；
因为为直角三角形，所以外接圆的直径为，
圆心为、的中点，又，
所以外接圆的方程为，即，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】由，可判定A符合题意；由两点间的距离公式和三角形的面积公式，可判定B符合题意；求得、的中点为，得到，结合直线的点斜式方程，可判定C不符合题意；由为直角三角形，得到外接圆的直径为，求得圆的方程，可判定D符合题意.
12．【答案】
【解析】【解答】因为圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以，圆的标准方程为： .
故答案为：
【分析】根据圆的标准方程，可直接得出结果.
13．【答案】x2+y2﹣2x=0（或（x﹣1）2+y2=1）
【解析】【解答】解：圆x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2 =1，由于圆心（﹣1，0）关于y轴对称的点为（1，0），
故圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的方程为 （x﹣1）2+y2 =1，即 x2+y2﹣2x=0，
故答案为：x2+y2﹣2x=0（或（x﹣1）2+y2=1）．
【分析】求出圆心关于y轴的对称点的坐标，可得已知圆关于y轴对称的圆的方程．
14．【答案】
【解析】【解答】四边形的周长为 ，
只需求出的最小值时的值.
由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以，
由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，
设过三点的圆方程为，
解得，
故的外接圆的方程为。
故答案为：。
【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。
15．【答案】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则
，整理得 ，
解之得a=﹣2，b=2，可得r2=10，
因此，这个三角形外接圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=10
【解析】【分析】设三角形外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，代入A、B、C三点的坐标得到关于a、b、r的方程，解之得a=﹣2、b=2且r2=10，由此即可得到所求圆的标准方程．
16．【答案】（1）解：∵A（5，2），B（3，2），
∴直线AB的斜率为 =0，
∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x=4，
与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），
又所求圆的半径r=|AM|= = ，
则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10
（2）解：设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB
外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∴ ，
解得D=﹣2，E=﹣4，F=0，
∴三角形OAB外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y=0．
【解析】【分析】（1）由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；（2）设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，分别把点O，A，B代入，能求出三角形OAB外接圆的方程．
17．【答案】解：∵圆心在直线2x﹣y﹣3=0上，
∴可设圆心C（a，2a﹣3），半径为r，
则圆的方程为
（x﹣a）2+（y﹣2a+3）2=r2，
把点A（5，2）和点B（3，﹣2）的坐标代入方程，得
（5﹣a）2+（2﹣2a+3）2=r2 ①，
（3﹣a）2+（﹣2﹣2a+3）2=r2②，
由①②可得
a=2，r2=10
故所求的圆的方程为
（x﹣2）2+（y﹣1）2=10
【解析】【分析】根据条件可设圆心C（a，2a﹣3），半径为r，则圆的方程为 （x﹣a）2+（y﹣2a+3）2=r2，把点A（5，2）和点B（3，﹣2）的坐标代入方程，求出a及r的值，即得所求的圆的方程．
18．【答案】解：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0 即 （x﹣2）2+（y+m）2=﹣m2+2m+3，它表示圆时，
应有﹣m2+2m+3＞0，求得﹣1＜m＜3．
当半径最大时，应有﹣m2+2m+3最大，此时，m=1，圆的方程为 x2+y2﹣4x+2y+1=0
【解析】【分析】方程即 （x﹣2）2+（y+m）2=﹣m2+2m+3，它表示圆时，应有﹣m2+2m+3＞0，求得m的范围．当半径最大时，应有﹣m2+2m+3最大，利用二次函数的性质求得此时m的值，可得对应的圆的方程．
19．【答案】（1）解：设外接圆的方程为，
代入，，，可得，
即，解得，
所以外接圆的方程为．
（2）解：由（1）知，外接圆可化为，
圆心设为，半径.
设为点到直线的距离，则，所以与圆相离.
由已知，是圆的一条切线，切点为，则，
在中，有，所以要使最小，只需最小．
当时，最小，即，
.
设，因为，可设直线方程为，
又，所以，所以.
所以，直线方程为，又在上，
联立与的方程，解得，即．
【解析】【分析】（1） 直接利用圆的一般式，解三元一次方程组，可求出 外接圆的方程；
（2） 由（1）知，外接圆可化为，可得圆心，半径 ， 设为点到直线的距离，根据点到直线的距离公式与半径关系可得与圆相离 ， 要使最小，只需最小，设直线方程为，联立与的方程可求出点的坐标．
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