(共39张PPT)
4.2 随机变量
4.2.3 二项分布与超几何分布
第2课时 超几何分布
探究点一 超几何分布的辨析
探究点二 超几何分布的概率及其分布列
探究点三 超几何分布与二项分布间的联系
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解超几何分布的概念；
2.理解超几何分布与二项分布的关系；
3.会用超几何分布解决一些简单的实际问题.
知识点 超几何分布
1.一般地,若有总数为件的甲、乙两类物品,其中甲类有件 ,从所有物
品中随机取出件,则这件中所含甲类物品数是一个离散型随机变量,
能取不小于且不大于的所有自然数，其中是与中的较小者，在 不大于
乙类物品件数(即时取0，否则取 减乙类物品件数之差
(即，而且_ _______,,, , ,这里的
称为服从参数为，, 的超几何分布，记作______________.
2.如果且，则能取所有不大于的自然数，此时
的分布列如下表所示.
0 1 … …
… …
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）超几何分布的模型是不放回抽样.( )
√
（2）超几何分布的总体里可以有两类或三类.( )
×
（3）超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.( )
√
探究点一 超几何分布的辨析
例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的点数是6的骰子的个数记为，求 的概率分布；
解：不是超几何分布问题，是二项分布问题.
（2）盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红球的个数记
为，求 的概率分布；
解：符合超几何分布的特征，物品都被分为两类，随机变量表示抽取的 件物
品中某类物品被抽取的件数，是超几何分布问题.
（3）现有100台电视机未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的电视
机的台数记为，求 的概率分布.
解：没有给出不合格电视机的台数，无法计算 的概率分布，所以不属于超几何
分布问题.
变式 下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是( )
B
A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出的女生人数为
C.某射手的射击命中率为，现对目标射击5次，记命中的次数为
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球
时摸取的次数为
[解析] 由超几何分布的定义可知，只有B中的随机变量 服从超几何分布.故选B.
［素养小结］
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：
（1）总体是否可分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中一类对象的数量.
探究点二 超几何分布的概率及其分布列
例2 某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一老师推荐了3名男生、2名女
生，高二老师推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训，最终从参加
集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率;
解：高一、高二共推荐了6名男生和6名女生，高一没有学生入选代表队的概率
为,所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为 .
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，用 表示参赛的男
生人数，求 的分布列.
解：根据题意得，的取值范围为，2， ，
,,,所以 的分布列为
1 2 3
变式（1） 某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的
作品被选为优秀作品，其中高一年级有5名同学，高二年级有5名同学，现从这
10个优秀作品中随机抽取7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 从10个优秀作品中随机抽取7个，用 表示抽到高二年级同学的作品数，
则服从参数为10，7，5的超几何分布，则 ．故选A．
（2）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽
取的4人中女同学的人数为，则 __.
[解析] 由题得 .
［素养小结］
解决超几何分布问题的两个关键点:
（1）超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意
义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
（2）超几何分布问题中,只要知道,,就可以利用公式求出取 时的概率
,从而求出 的分布列.
拓展 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.
公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为 饮料，另
外4杯为饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯 饮料，若4杯
都选对，则月工资定为3500元，若4杯中选对3杯，则月工资定为2800元，否则
月工资定为2100元.记表示此人选对饮料的杯数，假设此人对和 两种饮料
没有鉴别能力.
（1）求 的分布列；
解：由题意可知此人选对饮料的杯数的取值范围为，1，2，3， ，
，则, ,
,, ,
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
（2）设此员工的月工资为元，求 的分布列.
解：此员工的月工资的取值范围为，2800， ，则
, ,
，
所以 的分布列为
2100 2800 3500
探究点三 超几何分布与二项分布间的联系
例3 某食品厂为了检查一条自动包装
流水线的生产情况，随机抽取该流水线
上的40件产品作为样本称出它们的质量
（单位：克），质量的分组区间为
， ，
, ，由此得到样本的
频率分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求样本中质量超过505克的产品件数；
解：质量超过505克的产品的频率为 ，所以样本中质量
超过505克的产品件数为 .
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设 为取到的质量超过505克的产品件
数，求 的分布列；
解：随机抽取的40件产品中，质量超过505克的产品件数为12，则质量未超过50
5克的产品件数为28，则的取值范围为，1，， ，所以
，，，
故 的分布列为
0 1 2
（3）以频率分布直方图中的频率作为概率，从该流水线上任取2件产品，设 为
取到的质量超过505克的产品件数，求 的分布列.
解：根据样本估计总体的思想，取1件产品，该产品的质量超过505克的概率为
.从流水线上任取2件产品，其质量互不影响，可看成做了2次独立重复试验，
取到的质量超过505克的产品件数的取值范围为，且 ，
所以， ，
,所以 的分布列为
0 1 2
变式 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机
抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如下表，其中运动时间
（单位：小时）在 的学生称为“运动达人”．
运动时间（单位:小时）
人数 1 3 4 7 5
（1）从上述抽取的学生中任选2人，设 为选出的学生中“运动达人”的人数，求
的分布列；
解：根据题意，的取值范围为，1， ，
则， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2
（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设 为选出的学生中“运动达人”
的人数，求 的分布列．
解：由表中数据估计抽到“运动达人”的概率为 ，
则服从参数为2，的二项分布，即 ，
则， ，
，
故 的分布列为
0 1 2
［素养小结］
在次试验中，事件发生的次数 可能服从超几何分布或二项分布，超几何分
布或二项分布之间的区别和联系如下：
区别
联系
1.下列随机变量中，不服从超几何分布的是( )
C
A.在10件产品中有3件次品，依次不放回地任意取出4件，记取到的次品件数为
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记 表示所取的2台彩电中甲型彩电
的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中要经过6个红绿灯路口，记此学生在路口遇到红
灯的个数为
D.某班级有男生25人，女生20人，选派4人参加学校组织的活动，其中女生人数
记为
[解析] 根据超几何分布的定义可知，A，B，D中的随机变量 均服从超几何分布，
而C显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量 不服从超几何分布.故选C.
2.在含有3件次品的50件产品中任取2件，则至少取到1件次品的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 在含有3件次品的50件产品中任取2件，则至少取到1件次品的概率
．故选D.
3.[2023·辽宁沈阳高二期中]课桌上有12本书，其中有4本理科书籍，现从中任意
拿走6本书，用随机变量 表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为
的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题得， ，所以
.故选A.
4.从装有大小、质地相同的3个红球和2个白球的袋中随机取出2个球,设取到 个
红球,把下面随机变量 的分布列补充完整.
0 1 2
____ ____ ____
0.1
0.6
0.3
[解析] 由题知,则 ,
, .
5.设随机变量，则 ___.
[解析] 因为，所以 .
1.对超几何分布的理解
（1）在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女
生”“正品、次品”“优、劣”等；
（2）在抽样过程中，一般为不放回抽样；
（3）其概率计算可结合古典概型求得.
2. 可能取得的最小值有以下两种情况：
（1）当取出的物品总数不超过乙类物品总数，即时， 可能取得的
最小值为0；
（2）当取出的物品总数超过乙类物品总数，即时， 可能取得的最
小值为 .
1.超几何分布适合解决什么样的概率问题？
解：超几何分布适合解决一个总体（共有个个体）内含有两种不同事物
个)，个)，任取个，其中恰有个 的概率分布问题.
2.在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重
复试验吗？
解：独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从
大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作独立重复试验.
3.二项分布与超几何分布之间的区别与联系
超几何分布与二项分布的联系:二项分布是超几何分布的极限.
超几何分布使用的情形是对数量较少的总体进行无放回地抽样.当抽样由“不放回”
改成“有放回”时,超几何分布就变成了二项分布;当总体数量在逐渐增大时,超几何
分布就越来越接近于二项分布,当总体数量很大时,超几何分布就近似成为二项分
布,我们就使用二项分布计算随机变量的分布列.
例1 （多选题）甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则
下列说法中正确的是( )
BCD
A.若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出的白球的个数，则
B.若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C.若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个
白球的概率为
D.若从甲盒中取出1个球放入乙盒中，再从乙盒中取出1个球，记事件 表示“从
乙盒中取出的1个球为白球”，则
[解析] 对于A选项，由题意得 ，故A错误；
对于B选项，由题意得恰好取出1个白球的概率 ，故B正确；
对于C选项，设抽到的白球的个数为，则 ，所以恰好得到2个白球的
概率为 ，故C正确；
对于D选项，从甲盒中取出1个白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1个球为白球，
其概率为 ，从甲盒中取出1个黑球放入乙盒中，从乙盒中取出
的1个球为白球，其概率为，故，故D正确.故选 .
例2 [2023·湖北荆州高二期末] 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装
有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中
一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红
球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率.
解：用 表示抽到的红球个数，则 ，
所以 ,
,
,
故得一等奖的概率为，得二等奖的概率为，得三等奖的概率为 .第2课时 超几何分布
【课前预习】
知识点
1. X~H(N,n,M)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)不是超几何分布问题,是二项分布问题.
(2)符合超几何分布的特征,物品都被分为两类,随机变量X表示抽取的n件物品中某类物品被抽取的件数,是超几何分布问题.
(3)没有给出不合格电视机的台数,无法计算X的概率分布,所以不属于超几何分布问题.
变式 B [解析] 由超几何分布的定义可知,只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B.
探究点二
例2 解:(1)高一、高二共推荐了6名男生和6名女生,高一没有学生入选代表队的概率为==,所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)根据题意得,X的取值范围为{1,2,3},
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为
X 1 2 3
P
变式 (1)A (2) [解析] (1)从10个优秀作品中随机抽取7个,用X表示抽到高二年级同学的作品数,则X服从参数为10,7,5的超几何分布,则P(X=5)==.故选A.
(2)由题得P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
拓展 解:(1)由题意可知此人选对A饮料的杯数X的取值范围为{0,1,2,3,4},X~H(8,4,4),则P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)==,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)此员工的月工资Y的取值范围为{3500,2800,2100},则P(Y=3500)=P(X=4)=,P(Y=2800)=P(X=3)=,P(Y=2100)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=,所以Y的分布列为
Y 2100 2800 3500
P
探究点三
例3 解:(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以样本中质量超过505克的产品件数为40×0.3=12.
(2)随机抽取的40件产品中,质量超过505克的产品件数为12,则质量未超过505克的产品件数为28,则X的取值范围为{0,1,2},X~H(40,2,12),所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)根据样本估计总体的思想,取1件产品,该产品的质量超过505克的概率为=.从流水线上任取2件产品,其质量互不影响,可看成做了2次独立重复试验,取到的质量超过505克的产品件数Y的取值范围为{0,1,2},且Y~B,所以P(Y=0)=×=,P(Y=1)=××=,P(Y=2)=×=,所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
变式 解:(1)根据题意,X的取值范围为{0,1,2},
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由表中数据估计抽到“运动达人”的概率为,
则Y服从参数为2,的二项分布,即Y~B,
则P(Y=0)=×=,P(Y=1)=××=,P(Y=2)=×=,故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
【课堂评价】
1.C [解析] 根据超几何分布的定义可知,A,B,D中的随机变量X均服从超几何分布,而C显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.故选C.
2.D [解析] 在含有3件次品的50件产品中任取2件,则至少取到1件次品的概率P=.故选D.
3.A [解析] 由题得,ξ~H(12,6,4),所以+=P(ξ=0)+P(ξ=1)=P(ξ≤1).故选A.
4.0.1 0.6 0.3 [解析] 由题知X~H(5,2,3),则P(X=0)===0.1,P(X=1)===0.6,P(X=2)===0.3.
5. [解析] 因为X~H(10,3,2),所以P(X=1)==.第2课时 超几何分布
【学习目标】
1.理解超几何分布的概念;
2.理解超几何分布与二项分布的关系;
3.会用超几何分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点 超几何分布
1.一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M2.如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … s
P … …
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)超几何分布的模型是不放回抽样. ( )
(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类.( )
(3)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成. ( )
◆ 探究点一 超几何分布的辨析
例1 下列问题中,哪些属于超几何分布问题,说明理由.
(1)抛掷三枚骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布;
(2)盒子中有红球3个,黄球4个,蓝球5个,任取3个球,把不是红球的个数记为X,求X的概率分布;
(3)现有100台电视机未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的电视机的台数记为X,求X的概率分布.
变式 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 ( )
A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出的女生人数为X
C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击5次,记命中的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
[素养小结]
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象;
(2)是否为不放回抽样;
(3)随机变量是否为样本中一类对象的数量.
◆ 探究点二 超几何分布的概率及其分布列
例2 某校高一、高二的学生组队参加辩论赛,高一老师推荐了3名男生、2名女生,高二老师推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训,最终从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,用X表示参赛的男生人数,求X的分布列.
变式 (1)某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动,经过选拔,共10名同学的作品被选为优秀作品,其中高一年级有5名同学,高二年级有5名同学,现从这10个优秀作品中随机抽取7个,则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为 ( )
A. B. C. D.
(2)某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛,设抽取的4人中女同学的人数为X,则P(X≥3)= .
[素养小结]
解决超几何分布问题的两个关键点:
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布问题中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取k时的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
拓展 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料.公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料,若4杯都选对,则月工资定为3500元,若4杯中选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元.记X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)设此员工的月工资为Y元,求Y的分布列.
◆ 探究点三 超几何分布与二项分布间的联系
例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求样本中质量超过505克的产品件数;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为取到的质量超过505克的产品件数,求X的分布列;
(3)以频率分布直方图中的频率作为概率,从该流水线上任取2件产品,设Y为取到的质量超过505克的产品件数,求Y的分布列.
变式 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况,对该校学生进行简单随机抽样,获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如下表,其中运动时间(单位:小时)在(7,11]的学生称为“运动达人”.
运动时间 (单位:小时) (1,3] (3,5] (5,7] (7,9] (9,11]
人数 1 3 4 7 5
(1)从上述抽取的学生中任选2人,设X为选出的学生中“运动达人”的人数,求X的分布列;
(2)以频率估计概率,从该校学生中任取2人,设Y为选出的学生中“运动达人”的人数,求Y的分布列.
[素养小结]
在n次试验中,事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布,超几何分布或二项分布之间的区别和联系如下:
区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回地摸球),X服从二项分布; ②当这n次试验不是独立重复试验时(如不放回地摸球),X服从超几何分布
联系 在“不放回抽样”的n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似看成二项分布
1.下列随机变量中,不服从超几何分布的是 ( )
A.在10件产品中有3件次品,依次不放回地任意取出4件,记取到的次品件数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中要经过6个红绿灯路口,记此学生在路口遇到红灯的个数为X
D.某班级有男生25人,女生20人,选派4人参加学校组织的活动,其中女生人数记为X
2.在含有3件次品的50件产品中任取2件,则至少取到1件次品的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2023·辽宁沈阳高二期中] 课桌上有12本书,其中有4本理科书籍,现从中任意拿走6本书,用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数,则概率为+的是 ( )
A.P(ξ≤1) B.P(ξ=1)
C.P(ξ>1) D.P(ξ>2)
4.从装有大小、质地相同的3个红球和2个白球的袋中随机取出2个球,设取到X个红球,把下面随机变量X的分布列补充完整.
X 0 1 2
P
5.设随机变量X~H(10,3,2),则P(X=1)= . 第2课时 超几何分布
1.B [解析] 根据题意得,至少含有1个黑球的概率是=.故选B.
2.D [解析] 由题意得,所求概率为1-=.故选D.
3.D [解析] 因为P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=.故选D.
4.C [解析] 由题得P(X=2)=,P(Y=2)=,所以P(X=2)+P(Y=2)=.故选C.
5.C [解析] 由题得,取出的3个球中没有白球的概率为,取出的3个球中有1个白球的概率为,所以P(X≤1)=.故选C.
6.C [解析] 由题得,抽到的正品数比次品数少的概率P===.故选C.
7.A [解析] 由题意知,1,3,5,7,9为阳数,2,4,6,8,10为阴数.取出的3个数中有0个阴数的概率为=,取出的3个数中有1个阴数的概率为=.故取出的3个数中至多有1个阴数的概率P=+=.故选A.
8.ACD [解析] 由超几何分布的定义,超几何模型为不放回抽样,故A正确;超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品,其中一类有M(M9.ABC [解析] 设乙的得分为X,则X的取值范围为{0,10,25,40},所以P(X=0)==,P(X=10)==,P(X=25)==,P(X=40)==.故选ABC.
10. [解析] 从这30瓶饮料中任取2瓶,设“至少取到1瓶已过了保质期的饮料”为事件A,则P(A)=+=.
11. [解析] 由题得,恰有1名女生参加劳动学习的概率为=;至少有1名女生参加劳动学习的概率为=,所以在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为÷=.
12.5 [解析] 设有x个白球.因为从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,所以==1-,解得x=5或x=14(舍去).
13.解:(1)有放回地抽取3次,每次取到黑球的概率为=,
设“连续抽取3次,恰有1次取到黑球”为事件A,
则P(A)=××=3××=.
(2)由题得,X的取值范围是{0,1,2},
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
14.解:(1)5名优秀教师中的“甲”在每批次支教活动中被抽选到的概率均为=,则在这3批次支教活动中“甲”恰有2次被抽选到的概率P1=××=.
(2)X的取值范围为{0,1,2},则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
15.A [解析] 当n=3时,ξ的取值范围为{1,2,3},P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴E(ξ)=1×+2×+3×=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.当n=4时,η的取值范围为{1,2,3,4},P(η=1)==,P(η=2)==,P(η=3)==,P(η=4)==,∴E(η)=1×+2×+3×+4×=,D(η)=×+×+×+×=.∴E(ξ)16.15 [解析] 用X表示取出的彩票中中奖票数,则P(X≥1)=+>0.5,即n2-99n+25×49<0.当n=14时,142-99×14+25×49=35>0.当n=15时,152-99×15+25×49=-35<0.当n=50时,502-99×50+25×49=-1225<0.故50≥n≥15,则n的最小值为15.第2课时 超几何分布
一、选择题
1.[2024·广东深圳外国语学校高二期末] 一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中一次性任取3个球,则至少含有1个黑球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
2.10个元件中只有3个是A种型号的,5个人购买这种元件,每人只买1个,至少有1人买到A种型号元件的概率是 ( )
A. B.
C. D.
3.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)=( )
A. B. C. D.
4.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为X,男生的人数为Y,则P(X=2)+P(Y=2)=( )
A.
B.
C.
D.
5.[2023·广东东莞高二期末] 一个盒子里装有大小材质均相同的10个黑球,12个红球,3个白球,从中任取3个,将其中白球的个数记为X,则等于的是 ( )
A.P(X>2) B.P(0C.P(X≤1) D.P(X>1)
6.某工厂为赶上电商大促,甲车间连夜生产了10件产品,其中有6件正品和4件次品,若从中任意抽取4件,则抽到的正品数比次品数少的概率为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2023·江苏淮安高二期末] 《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源,其中河图排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至多有1个阴数的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)关于超几何分布,下列说法正确的是 ( )
A.超几何分布模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N,n,M
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
9.(多选题)[2023·山东济宁高二期中] 某单位推出了10道有关消防的测试题供职工学习和测试,乙能答对其中的6道题,规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道,答对一题加10分,答错一题或不答减5分,若最终得分为负分则记为0分,则下列说法正确的是( )
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
二、填空题
10.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期的饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)
11.[2023·天津河西区高二期中] 某校高三(1)班第一小组有男生4人,女生2人,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习,则恰有1名女生参加劳动学习的概率为 ;在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为 .
12.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为 .
三、解答题
13.袋中有大小、形状完全相同的4个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,求恰好取到1个黑球的概率;
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列.
14.[2023·陕西汉中高二期末] 为了解决某偏远地区教师资源匮乏的问题,某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行,每次支教需要同时派送2名教师,且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中,2人有支教经验,3人没有支教经验.
(1)求5名优秀教师中的“甲”在这3批次支教活动中恰有2次被抽选到的概率;
(2)求第一批次派送的教师中无支教经验的教师人数X的分布列.
15.口袋中有大小、质地相同的黑色小球n个,红、白、蓝色的小球各1个,从中任取4个小球,ξ表示当n=3时取出黑球的个数,η表示当n=4时取出黑球的个数.则下列结论正确的是 ( )
A.E(ξ)B.E(ξ)>E(η),D(ξ)C.E(ξ)D(η)
D.E(ξ)>E(η),D(ξ)>D(η)
16.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,若这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,则n的最小值为 .
