(共53张PPT)
4.2 随机变量
4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
探究点一 离散型随机变量的均值
探究点二 离散型随机变量均值的性质
探究点三 几种常见分布的均值的求法
探究点四 均值的实际应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列
求出均值；
2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值；
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
知识点一 离散型随机变量的均值及性质
1.离散型随机变量的均值的概念
一般地，如果离散型随机变量 的分布列如下表所示.
… …
… …
则称______________________为离散型随机变量 的均值或数
学期望（简称为期望）.离散型随机变量的均值也可用 表示，它刻画了
的__________.
平均取值
2.离散型随机变量均值的性质
若与都是随机变量，且，则由与 之间分布列的关系可
知 __________.
【诊断分析】
1.判断正误．（请在括号中打“√”或“×”）
（1）均值是随机变量的可能取值关于概率的加权平均数．( )
√
（2）随机变量的数学期望是一个变量，其大小随 的变化而变化．( )
×
[解析] 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的均值是一
个随机变量，它是随着样本的不同而变化的，所以（2）错误.
（3）若随机变量的数学期望，则 .( )
×
[解析] .
（4）随机变量的均值的单位与随机变量的单位相同.( )
√
2.离散型随机变量的均值与样本的平均值之间有何区别与联系
解：①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均
值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化;
②联系:对于简单的随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于
总体的均值.
知识点二 服从两点分布、二项分布或超几何分布的随机变量的均值
1.若服从参数为的两点分布，则__________________ ___．
2.若服从参数为,的二项分布，即，则 ____.
3.若服从参数为,,的超几何分布,即,则 ____.
探究点一 离散型随机变量的均值
例1（1） 已知随机变量 的分布列为
0 1
0.3 0.2
则 等于( )
C
A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.无法确定
[解析] 由分布列的性质得，解得 ，故
，故选C．
（2）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从
中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出的女性成员的人数为，则 的数学
期望是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知的取值范围为，1，，则 ,
, ,所以
，故选D.
变式 甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方
得1分，失败方得0分，没有平局.先得4分的队获得最终胜利，比赛结束.假设每
局比赛甲队获胜的概率为 .
（1）求比赛结束时恰好打了六局的概率；
解:设“比赛结束时恰好打了六局，且甲队获得最终胜利”的概率为 ，“比赛结束
时恰好打了六局，且乙队获得最终胜利”的概率为 .
比赛结束时恰好打了六局，且甲队获得最终胜利，即前五局甲三胜两负，第六
局甲胜，则 ，同理
，所以比赛结束时恰好打了六局的概率
.
（2）若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求 的
分布列和数学期望.
解:因为现在是甲队以 的比分领先，所以甲队目前的战绩是两胜一负，所以
接下来的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接
下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，所以 的取值范围
为，3，，
则 ， ，
，
2 3 4
所以 .
所以随机变量 的分布列为
［素养小结］
求离散型随机变量 的均值的一般步骤:
（1）确定随机变量的所有可能取值;
（2）求出随机变量取各个值时对应的概率;
（3）利用公式 求出均值.
探究点二 离散型随机变量均值的性质
例2 已知随机变量 的分布列如下表所示，若,则 等于( )
1 2 3 4
D
A. B. C. D.
[解析] 依题意可得 ,所以
.故选D.
变式（1） 在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 号
的有个，现从袋中任取1个球， 表示所取球的编号，则
____；若，且，则 ____.
[解析] 由题意可知的取值范围为,则 ，
,,,,
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
故.因为 ，且
,所以,解得 .
（2）[2024·广东广州高二期末] 已知随机变量 的分布列如下表，则
___.
0 1
[解析] 依题意得，的取值范围为，，则 ，
，故 .
［素养小结］
求随机变量 的均值的方法：
（1）定义法：先列出 的分布列，再求均值.
（2）性质法：直接套用公式 求解即可.
探究点三 几种常见分布的均值的求法
例3 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，
并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题
的概率为 ，且每道题的完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可
过关．
（1）记甲抽取的3道题中，甲答对的题数为，求 的分布列和期望；
解：由题意得的取值范围为，2， ，
则，，，
所以 的分布列为
1 2 3
方法一： .
方法二： .
（2）记乙答对的题数为，求 的分布列和期望．
解：由题意得，则, ，1，2，3，所以
， ，
，,
所以 的分布列为
0 1 2 3
方法一： .
方法二： .
变式（1） 已知一个箱子中装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球
再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记分，那么摸球10次所得总分数
的数学期望为( )
A
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 记摸球10次摸出黑球的次数为，则 ,所以
，易知 ，所以
，故选A.
（2）[2023·广东肇庆高二期末] 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续
抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为 ，则
__.
[解析] 由题知，每次取到黑球的概率为，所以 ，所以
.
（3）已知随机变量服从参数为0.4的两点分布，设，则
_______.
[解析] 由题知 ，所以
.
［素养小结］
求几种常见的分布的均值的注意事项：
（1）关键：根据题意准确判断分布类型.
（2）计算：若题中离散型随机变量服从两点分布、二项分布或超几何分布，可
直接代入公式求得均值.
探究点四 均值的实际应用
例4 [2024·辽宁沈阳高二期末] 部分高校开展基础学科招生改革试点工作
（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入
面试环节.已知, 两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达
到优秀相互独立.若某考生报考大学，则他每门科目达到优秀的概率均为 ，若
该考生报考大学，则他每门科目达到优秀的概率依次为，， ，其中
.
（1）若，分别求出该考生报考, 两所大学在笔试环节恰好有一门科目达
到优秀的概率；
解：用表示该考生报考 大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀，则
；
用表示该考生报考 大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀，则
.
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀
科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求
的取值范围.
解：设该考生报考大学在笔试环节达到优秀科目的个数为，则 ，
所以 .
设该考生报考大学在笔试环节达到优秀科目的个数为，则 的取值范围为
，
则 ，
，
，
，所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
故 .因为该考生更有希望
进入大学的面试环节，所以，即，可得 ，故
的取值范围为 .
变式 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为
100元．如果卖不完，那么剩下的蛋糕作垃圾处理，现收集并整理了该店100天
生日蛋糕的日需求量（单位：个）如下表.
需求量 10 11 12 13 14 15
频数 8 20 24 27 14 7
将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个，用 表示当天的利润（单位：元），
求 的分布列和数学期望.
解:设当天的需求量为 ，
则当时， ，
当时， ，
所以的取值范围为，420，320， .
由题知， ，
， ，
所以 的分布列为
520 420 320 220
0.48 0.24 0.2 0.08
.
（2）若该蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕，以每日销售利润的数学期
望为决策依据，你认为应制作13个还是14个？请说明理由．
解:若制作14个生日蛋糕，设当天的利润（单位：元）为 ，当天的需求量为
，
则当时， ，
当时， ，
所以的取值范围为，460，360，260， ，
， ，
， ，
，所以 的分布列为
560 460 360 260 160
0.21 0.27 0.24 0.2 0.08
故 .
因为 ，所以该蛋糕店一天应制作13个生日蛋糕．
［素养小结］
解答均值的实际应用问题的三个步骤：
（1）把实际问题概率模型化；
（2）确定分布列，计算随机变量的均值；
（3）利用所得数据，对实际问题作出判断．
1.已知随机变量的分布列如下表所示，则 ( )
1 2 3
A
A. B.2 C. D.3
[解析] 由题意得，解得 ，故
.故选A.
2.设随机变量,则 ( )
C
A.0.6 B.1.2 C.2.2 D.3.2
[解析] 随机变量, ,
,故选C.
3.设口袋中有大小、形状完全相同的黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知
取到白球个数的数学期望为 ，则口袋中白球的个数为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.2
[解析] 设口袋中白球的个数为，记取到的2个球中白球的个数为 ，则
,则，解得 .故选A.
4.一个袋中装有大小与质地完全相同的5个红球和3个黑球，从中任取3个球，记
取出的黑球的个数为，则 __．
[解析] 由题得的取值范围为，1，2，，则 ，
，， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
则 ．
5.设离散型随机变量的取值范围为,，且
的均值,则 ____.
[解析] 因为,, ,所以
,所以 ，又
,所以.由①②可知, ,
所以 .
1.实际问题中的期望问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工
程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机
变量的期望来进行估计.
2.随机变量的均值公式与加权平均数的联系
假设随机试验进行了次，根据的概率分布可估计，在次试验中， 出现了
次，出现了次， ，出现了次，故在次试验中， 出现的总次
数为.因此次试验中， 出现的平均值等于
，
故 .
3.离散型随机变量的均值的性质
若,是两个随机变量,且,则有,即随机变量 的线
性函数的均值等于这个随机变量的均值 的同一线性函数.特别地:
（1）当时, ,即常数的均值就是这个常数本身.
（2）当时,,即随机变量与常数之和的均值等于 的
均值与这个常数的和.
（3）当时, ,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与
随机变量的均值的乘积.
求离散型随机变量的均值的一般步骤:
第一步:确定变量,确定随机变量的取值范围;
第二步:求概率,求每一个取值所对应的概率;
第三步:得分布列,列出离散型随机变量的分布列;
第四步:公式求值,求均值;
第五步:回顾检查,解后反思.
例1 为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切实关爱社区老年人的身体健康，
社区卫生服务中心联合医院为70岁以上老年人进行免费体检，并送上健康的祝
福.已知重阳节当天，医院彩超室接待了80岁以上的老年人5位，70岁到80岁之
间的老年人3位，现从这8人中随机抽取3人，则抽取的3人中80岁以上的老年人
人数的数学期望为___.
[解析] 用随机变量表示抽取的3人中80岁以上的老年人人数，则 的取值范围
为，1，2，，则 ，
, ,
,
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
例2 [2024·云南昆明高二期末] 某测评卷有多选题，每小题有A，B，C，D四
个选项，且至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.题目要求：在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分.
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正
确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且
都正确得4分.
（1）若某道多选题的正确答案是 ，一考生在解答该题时，完全没有思路，
随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该考生所有选择结果所构成的
样本空间，并求该考生得分的概率.
解：由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为,B,C,D,,, ,
,,,,,, ，共14个样本点.
设“某题的答案是，该考生得分”，则，B， ，共3个样本点，
所以 .
（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均相等，一考生只
能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以
得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案.
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项.
解：设方案一、二、三的得分分别为，， .
①由已知得， ，
所以 的分布列为
2 3
故 .
②由已知得， ，
，
所以 的分布列为
0 4 6
故 .
③由已知得， ，
所以 的分布列为
0 6
故 .
因为 ，
所以以数学期望作为判断依据，选择方案一更恰当.4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
【课前预习】
知识点一
1.x1p1+x2p2+…+xnpn 平均取值 2.aE(X)+b
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (2)随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的,所以(2)错误.
(3)E(4X-5)=4E(X)-5=4×3-5=7.
2.解:①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化;
②联系:对于简单的随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.
知识点二
1.1×p+0×(1-p) p 2.np 3.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)D [解析] (1)由分布列的性质得0.3+0.2+m=1,解得m=0.5,故E(X)=-1×0.3+0.5×1=0.2,故选C.
(2)由题意可知X的取值范围为{0,1,2},则P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)==,所以E(X)=0×+1×+2×=,故选D.
变式 解:(1)设“比赛结束时恰好打了六局,且甲队获得最终胜利”的概率为P1,“比赛结束时恰好打了六局,且乙队获得最终胜利”的概率为P2.
比赛结束时恰好打了六局,且甲队获得最终胜利,即前五局甲三胜两负,第六局甲胜,则P1=×××=,同理P2=×××=,所以比赛结束时恰好打了六局的概率P=P1+P2=+=.
(2)因为现在是甲队以2∶1的比分领先,所以甲队目前的战绩是两胜一负,所以接下来的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛,局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负,必须进行第四局才能结束比赛,所以X的取值范围为{2,3,4},则P(X=2)==,P(X=3)=×××+×=+=,P(X=4)=××=,所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
探究点二
例2 D [解析] 依题意可得E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,所以E(η)=E(2ξ+5)=2×+5=.故选D.
变式 (1) -2 (2) [解析] (1)由题意可知X的取值范围为{0,1,2,3,4},则P(X=0)==,P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,P(X=4)==,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.因为Y=2X+m,且E(Y)=1,所以1=2×+m,解得m=-2.
(2)依题意得,ξ2的取值范围为{0,1},则P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=P(ξ=1)+P(ξ=-1)=1-=,故E(ξ2)=0×+1×=.
探究点三
例3 解:(1)由题意得X的取值范围为{1,2,3},
则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为
X 1 2 3
P
方法一:E(X)=1×+2×+3×=2.
方法二:E(X)==2.
(2)由题意得Y~B,则P(Y=k)=,k=0,1,2,3,所以P(Y=0)=××=,P(Y=1)=××=,P(Y=2)=××=,P(Y=3)=××=,所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
方法一:E(Y)=3×=2.
方法二:E(Y)=0×+1×+2×+3×=2.
变式 (1)A (2) (3)-2.2 [解析] (1)记摸球10次摸出黑球的次数为X,则X~B,所以E(X)=10×=4,易知ξ=2X+(10-X)×(-1)=3X-10,所以E(ξ)=3E(X)-10=2,故选A.
(2)由题知,每次取到黑球的概率为=,所以X~B,所以E(X)=3×=.
(3)由题知E(X)=P(X=1)=0.4,所以E(ξ)=E(2X-3)=2E(X)-3=-2.2.
探究点四
例4 解:(1)用M表示该考生报考A大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀,则P(M)=××=;
用N表示该考生报考B大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀,则P(N)=××+××+××==.
(2)设该考生报考A大学在笔试环节达到优秀科目的个数为X,则X~B,所以E(X)=3×=.
设该考生报考B大学在笔试环节达到优秀科目的个数为Y,则Y的取值范围为{0,1,2,3},
则P(Y=0)=××(1-n)=,P(Y=1)=××(1-n)+××(1-n)+××n=,P(Y=2)=××(1-n)+××n+××n=,
P(Y=3)=××n=,所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
故E(Y)=0×+1×+2×+3×=.因为该考生更有希望进入A大学的面试环节,所以E(Y)
变式 解:(1)设当天的需求量为n(n=10,…,15),
则当n≥13时,X=40×13=520,
当n≤12时,X=40n-60(13-n)=100n-780,
所以X的取值范围为{520,420,320,220}.
由题知P(X=520)==0.48,P(X=420)==0.24,
P(X=320)==0.2,P(X=220)==0.08,
所以X的分布列为
X 520 420 320 220
P 0.48 0.24 0.2 0.08
E(X)=520×0.48+420×0.24+320×0.2+220×0.08=432.
(2)若制作14个生日蛋糕,设当天的利润(单位:元)为Y,当天的需求量为m(m=10,…,15),
则当m≥14时,Y=40×14=560,
当m≤13时,Y=40m-60(14-m)=100m-840,
所以Y的取值范围为{560,460,360,260,160},
P(Y=560)==0.21,P(Y=460)==0.27,
P(Y=360)==0.24,P(Y=260)==0.2,
P(Y=160)==0.08,所以Y的分布列为
Y 560 460 360 260 160
P 0.21 0.27 0.24 0.2 0.08
故E(Y)=560×0.21+460×0.27+360×0.24+260×0.2+160×0.08=393.因为E(X)>E(Y),所以该蛋糕店一天应制作13个生日蛋糕.
【课堂评价】
1.A [解析] 由题意得+a+=1,解得a=,故E(X)=1×+2×+3×=.故选A.
2.C [解析] ∵随机变量X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1=2×0.6+1=2.2,故选C.
3.A [解析] 设口袋中白球的个数为x,记取到的2个球中白球的个数为ξ,则ξ~H(7,2,x),则E(ξ)==,解得x=3.故选A.
4. [解析] 由题得X的取值范围为{0,1,2,3},则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×=.
5.- [解析] 因为P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,所以E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,所以14a+6b=3①,又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,所以6a+3b=1②.由①②可知a=,b=-,所以a+b=-.4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值;
2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值;
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
◆ 知识点一 离散型随机变量的均值及性质
1.离散型随机变量的均值的概念
一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)= =xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示,它刻画了X的 .
2.离散型随机变量均值的性质
若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)=E(aX+b)= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)均值是随机变量的可能取值关于概率的加权平均数. ( )
(2)随机变量X的数学期望E(X)是一个变量,其大小随X的变化而变化. ( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)=3,则E(4X-5)=12. ( )
(4)随机变量的均值的单位与随机变量的单位相同. ( )
2.离散型随机变量的均值与样本的平均值之间有何区别与联系
◆ 知识点二 服从两点分布、二项分布或超几何分布的随机变量的均值
1.若X服从参数为p的两点分布,则E(X)= = .
2.若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)= .
3.若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= .
◆ 探究点一 离散型随机变量的均值
例1 (1) 已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P 0.3 0.2 m
则E(X)等于 ( )
A.0.5 B.0.3
C.0.2 D.无法确定
(2)一个课外兴趣小组共有5名成员,其中3名女性成员,2名男性成员,现从中随机选取2名成员进行学习汇报,记选出的女性成员的人数为X,则X的数学期望是 ( )
A. B.
C. D.
变式 甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛,规定每一局比赛中获胜方得1分,失败方得0分,没有平局.先得4分的队获得最终胜利,比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.
(1)求比赛结束时恰好打了六局的概率;
(2)若现在是甲队以2∶1的比分领先,记X表示结束比赛还需打的局数,求X的分布列和数学期望.
[素养小结]
求离散型随机变量X的均值的一般步骤:
(1)确定随机变量的所有可能取值;
(2)求出随机变量取各个值时对应的概率;
(3)利用公式E(X)=xipi求出均值.
◆ 探究点二 离散型随机变量均值的性质
例2 已知随机变量ξ的分布列如下表所示,若η=2ξ+5,则E(η)等于 ( )
ξ 1 2 3 4
P
A. B.
C. D.
变式 (1)在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4),现从袋中任取1个球,X表示所取球的编号,则P(X=2)= ;若Y=2X+m,且E(Y)=1,则m= .
(2)[2024·广东广州高二期末] 已知随机变量ξ的分布列如下表,则E(ξ2)= .
ξ -1 0 1
P a
[素养小结]
求随机变量η=aξ+b(a≠0)的均值的方法:
(1)定义法:先列出η的分布列,再求均值.
(2)性质法:直接套用公式E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b求解即可.
◆ 探究点三 几种常见分布的均值的求法
例3 在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题,乙能正确完成每道题的概率为,且每道题的完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.
(1)记甲抽取的3道题中,甲答对的题数为X,求X的分布列和期望;
(2)记乙答对的题数为Y,求Y的分布列和期望.
变式 (1)已知一个箱子中装有2个黑球和3个白球,随机从箱子中摸出1个球再放回,如果摸出黑球记2分,摸出白球记-1分,那么摸球10次所得总分数ξ的数学期望为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)[2023·广东肇庆高二期末] 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为X,则E(X)= .
(3)已知随机变量X服从参数为0.4的两点分布,设ξ=2X-3,则E(ξ)= .
[素养小结]
求几种常见的分布的均值的注意事项:
(1)关键:根据题意准确判断分布类型.
(2)计算:若题中离散型随机变量服从两点分布、二项分布或超几何分布,可直接代入公式求得均值.
◆ 探究点四 均值的实际应用
例4 [2024·辽宁沈阳高二期末] 部分高校开展基础学科招生改革试点工作(强基计划)的校考由试点高校自主命题,校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知A,B两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考A大学,则他每门科目达到优秀的概率均为,若该考生报考B大学,则他每门科目达到优秀的概率依次为,,n,其中0(1)若n=,分别求出该考生报考A,B两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率;
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策,该考生更有希望进入A大学的面试环节,求n的取值范围.
变式 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕成本为60元,售价为100元.如果卖不完,那么剩下的蛋糕作垃圾处理,现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位:个)如下表.
需求量 10 11 12 13 14 15
频数 8 20 24 27 14 7
将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
(1)若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个,用X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列和数学期望.
(2)若该蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕,以每日销售利润的数学期望为决策依据,你认为应制作13个还是14个 请说明理由.
[素养小结]
解答均值的实际应用问题的三个步骤:
(1)把实际问题概率模型化;
(2)确定分布列,计算随机变量的均值;
(3)利用所得数据,对实际问题作出判断.
1.已知随机变量X的分布列如下表所示,则E(X)= ( )
X 1 2 3
P a
A. B.2 C. D.3
2.设随机变量X~B(3,0.2),则E(2X+1)=( )
A.0.6 B.1.2
C.2.2 D.3.2
3.设口袋中有大小、形状完全相同的黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为,则口袋中白球的个数为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.2
4.一个袋中装有大小与质地完全相同的5个红球和3个黑球,从中任取3个球,记取出的黑球的个数为X,则E(X)= .
5.设离散型随机变量X的取值范围为{1,2,3},P(X=k)=ak+b(k=1,2,3),且X的均值E(X)=3,则a+b= . 4.1 条件概率与事件的独立性
4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
1.D [解析] ∵E(X)=16,∴40p=16,∴p=0.4.故选D.
2.B [解析] 由题得E(X)=(-1)×+0×+1×=-,因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3,所以=a×+3,解得a=2.故选B.
3.B [解析] ∵E(ξ)=n=15,∴n=30,∴η~B,∴E(η)=30×=10.故选B.
4.C [解析] 因为随机变量X服从参数为p的两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,又P(X=0)=3-4P(X=1),所以P(X=0)=,P(X=1)=,所以E(X)=0×+1×=,故E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=2-1=1.故选C.
5.B [解析] ∵E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数),而E(X)为常数,∴E[X-E(X)]=E(X)-E(X)=0.
6.B [解析] 抛掷一次恰好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为=,所以X~B,则E(X)=80×=25.故选B.
7.A [解析] 由题知X的取值范围是{1,2,3},P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3>1.56,解得p<0.6或p>2.4,又08.ACD [解析] 由题设知,随机变量X服从参数为10,3,6的超几何分布,故A正确,B错误;P(X=2)==,故C正确;E(X)==,故D正确.故选ACD.
9.AD [解析] P(X=1)==,故A选项正确;P(X=3)==,故C选项错误;因为X的取值范围为{1,2,3},所以P(X=2)=1--=,故B选项错误;E(X)=1×+2×+3×=,故D选项正确.故选AD.
10. [解析] 设黑球的个数为n,则=,解得n=3.X的取值范围为{1,2,3},P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,则X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=×1+×2+×3=.
11.3 [解析] 抽到次品的个数ξ服从参数为15,3,2的超几何分布,则E(ξ)==,故E(5ξ+1)=5×E(ξ)+1=3.
12.0.38 0.9 [解析] 第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.经过两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率分别为P1=0.5×0.6=0.3,P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3,所以随机变量X~B(3,0.3),故E(X)=3×0.3=0.9.
13.解:(1)由频率分布直方图可知,数学成绩落在区间[70,110)内的频率为(0.004+0.012+0.019+0.030)×10=0.65,
所以数学成绩落在区间[110,140]内的频率为1-0.65=0.35.
因为数学成绩落在区间[110,120),[120,130),[130,140]内的频率之比为4∶2∶1,所以数学成绩落在区间[110,120)内的频率为×0.35=0.2.因为数学成绩落在区间[70,100)内的频率为(0.004+0.012+0.019)×10=0.35,所以中位数落在区间[100,110)内,设中位数为x,则(x-100)×0.030=0.5-0.35,解得x=105,所以估计抽取的这100名学生数学成绩的中位数为105.
(2)由(1)知,数学成绩落在区间[100,130)内的频率为0.03×10+0.2+×0.35=0.6,故X~B,X的取值范围为{0,1,2,3},P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
14.解:(1)依题意,1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率P=1-=.
随机变量X的取值范围为{0,1,2},P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=×=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
则E(X)=0×+1×+2×=.
(2)当购进350千克这种有机蔬菜时,利润的期望值为350×3×+(300×3-50×2)×+(250×3-100×2)×=925;当购进400千克这种有机蔬菜时,利润的期望值为400×3×+(350×3-50×2)×+(300×3-100×2)×+(250×3-150×2)×=-.
由925>-,解得s>16,因为s,t∈N*,s+t=35,所以17≤s≤34,s∈N*,所以s的最小值是17.4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
一、选择题
1.设随机变量X~B(40,p),且E(X)=16,则p等于 ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
2.已知X的分布列为
X -1 0 1
P
且Y=aX+3,E(Y)=,则a等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知ξ~B,η~B,且E(ξ)=15,则E(η)= ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
4.[2024·山东德州高二期末] 已知离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1),随机变量Y=3X-1,则E(Y)= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.
5.若X是一个随机变量,则E[X-E(X)]的值为 ( )
A.无法求出 B.0
C.E(X) D.2E(X)
6.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次,设5枚硬币恰好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为X,则X的均值为 ( )
A.20 B.25 C.30 D.40
7.某实验测试的规则是:每位学生最多可做实验3次,一旦实验成功,则停止实验,否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为p(01.56,则p的取值范围是 ( )
A.(0,0.6) B.(0,0.8)
C.(0.6,1) D.(0.8,1)
8.(多选题)一个袋中装有大小相同的4个黑球,6个白球,现从中任取3个小球,设取出的3个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.随机变量X服从参数为10,3,6的超几何分布
B.随机变量X服从参数为3,的二项分布
C.P(X=2)=
D.E(X)=
9.(多选题)将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子,用X表示空盒子的个数,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X=1)= B.P(X=2)=
C.P(X=3)= D.E(X)=
二、填空题
10.某袋中装有大小相同且质地均匀的黑球和白球共5个,从袋中随机取出3个球,已知取出的3个球全为黑球的概率为.记取出的3个球中黑球的个数为X,则E(X)= .
11.从一批含有13个正品,2个次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取1个,设抽到次品的个数为ξ,则E(5ξ+1)= .
12.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,第一次烧制,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率分别为0.5,0.6,0.4,第二次烧制,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率分别为0.6,0.5,0.75,则第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率为 ;经过两次烧制后,设合格工艺品的件数为X,则随机变量X的均值为 .
三、解答题
13.[2023·云南昆明一中高二期末] 某校为了检验高三学生放假期间在家的学习成果,组织了一次模拟考试,从中抽取了100名学生的数学成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图,其中数学成绩落在区间[110,120),[120,130),[130,140]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)根据频率分布直方图求学生数学成绩在区间[110,120)内的频率,并估计抽取的这100名学生数学成绩的中位数;
(2)若将频率视为概率,从全校高三年级学生中随机抽取3人,记抽取的3人的数学成绩在[100,130)内的学生人数为X,求X的分布列与数学期望.
14.某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜,然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完,则对未售出的有机蔬菜降价处理,以2元/千克出售,并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理,且当天不再进货.该超市整理了过去两个月(按60天计算)每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量(单位:千克),得到如下统计数据.(注:视频率为概率,s,t∈N*).
每天下午6点前 的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 s t 5
(1)在接下来的2天中,设X为下午6点前的销售量不少于350千克的天数,求X的分布列和数学期望;
(2)已知该超市以当天利润的期望值为决策依据,当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时,求s的最小值.