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4.2 随机变量
4.2.4 随机变量的数字特征
第2课时 离散型随机变量的方差
探究点一 离散型随机变量的方差
探究点二 常用分布的方差
探究点三 方差的实际应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念；
2.掌握方差的性质及两点分布、二项分布的方差；
3.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
知识点一 离散型随机变量的方差、标准差及性质
1.如果离散型随机变量 的分布列如下表所示.
… …
… …
因为的均值为，所以 _______________________________________
_____________，能够刻画 相对于均值的离散程度
（或波动大小），这称为离散型随机变量的方差.离散型随机变量 的方差
也可用表示.一般地，称为离散型随机变量 的________，它也可
以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）.
标准差
2.（1）设，为常数，则 ________.
（2）___（其中 为常数）.
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大,随机变量越不稳定.( )
√
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.( )
√
（3）如果 是离散型随机变量,且,那么 ,
.( )
√
（4）离散型随机变量的方差与标准差的单位相同.( )
×
[解析] 方差的单位是随机变量单位的平方，标准差与随机变量本身有相同的单位.
知识点二 服从两点分布和二项分布的随机变量的方差
1.若服从参数为的两点分布,则 _________.
2.若服从参数为,的二项分布,即,则 __________.
探究点一 离散型随机变量的方差
例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方
投篮，第一次由甲投.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， ，在前3次投
篮中，乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、期望和方差.
解：依题意知， 的取值范围为 ，
则，， ，
所以 的分布列为
0 1 2
故 ，
.
变式（1） [2023·新疆乌鲁木齐高二期中]已知随机变量 的分布列如下表所示，
设，则 的值为( )
0 1
A
A.5 B. C. D.
[解析] 由已知可得 ，所以
，又 ，所以
.故选A.
（2）若随机变量的分布列为，，若 ，则
的最小值为( )
A
A.0 B.1 C.4 D.2
[解析] 由分布列的性质，得，则.， ，则
，,故当时， 取得最小值0.故选A.
［素养小结］
求离散型随机变量的方差的方法：
（1）根据题目条件先求分布列进而求出均值；
（2）依据方差公式求方差，方差也可以应用公式 进行求解.
注意：当分布列中的概率值有未知数时，应先由分布列的性质求出未知数再求
方差．
探究点二 常用分布的方差
例2（1） 若离散型随机变量的分布列如下表所示，则__，
__.
0 1
[解析] 由，解得或（舍去），所以 的分布列为
0 1
因为服从参数为的两点分布，所以， .
（2）为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，顾客购买满一定
金额商品后即可抽奖.在一个不透明的盒子中装有10个质地均匀且大小相同的小
球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，搅拌均匀.每次抽奖都从箱中随机摸
出3个球，若摸出的全是红球，则获得60元的返金券.若某顾客有6次抽奖机会，
设顾客抽取6次后最终可能获得的返金券的金额为元，则 的方差为______.
1650
[解析] 由题知摸出的3个球都是红球的概率.设中奖的次数为 ，则
， ，
.
变式（1） 已知随机变量，满足， ，若
，则 ( )
C
A.3 B. C.4 D.
[解析] ， ，
，解得，即 ,
，又随机变量，满足 ,
,故选C.
（2）[2023·四川宜宾高二期末]若随机变量，，则
( )
D
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 因为，所以，又 ，所以
.故选D.
［素养小结］
（1）如果随机变量服从参数为的两点分布，那么其方差 .
（2）如果随机变量服从参数为,的二项分布，即 ，那么其方差
，计算时可直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程.
探究点三 方差的实际应用
例3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ， ，
已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7
环的概率分别为，，，，乙射中10，9，8环的概率分别为 ，
， .
（1）求 ， 的分布列；
解：由题意得，解得 .因为乙射中10，9，8环的概
率分别为，，，所以乙射中7环的概率为 .
所以 ， 的分布列分别为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）求 ， 的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
解：由（1）得 ，
，
，
，
则， ，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较
稳定，所以甲比乙的射击技术好.
变式 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随
机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2
道题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完
成；考生乙每道题正确完成的概率都是 ，且每道题正确完成与否互不影响.
（1）求考生甲正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
解：设考生甲正确完成实验操作的题数为 ，
则 的取值范围是，则， ，
，
所以 的分布列为
1 2 3
故 .
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完
成2道题的概率方面比较两位考生的实验操作能力.
解：设考生乙正确完成实验操作的题数为 ，易知 ，所以
， ，
，，
所以 的分布列为
0 1 2 3
故，则 .
因为 ，
，， ，
所以， .
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实
验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2道题的概率
方面分析，甲通过的可能性更大.
因此甲的实验操作能力较强.
［素养小结］
均值、方差在决策中的作用：
（1）均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平
越高.
（2）方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散程度，方差越大越不稳定.
（3）在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
1.若为离散型随机变量，且，则 ( )
B
A. B. C.1 D.
[解析] 由已知可得 .故选B.
2.[2024·河南南阳高二期末]已知随机变量，满足，且 ，则
( )
B
A.16 B.8 C.4 D.
[解析] 由题可知 .故选B.
3.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5
万元.若中标的概率为，设公司盈利万元，则 ( )
C
A.7 B.31.9 C.37.5 D.42.5
[解析] ， ，
，从而
.故选C.
4.已知随机变量 的分布列如下表所示，
1 2 3
0.1 0.7 0.2
则 _____.
0.29
[解析] ，所以
.
5.已知离散型随机变量的分布列如下表所示,若,,则 ___,
__.
0 1 2
[解析] 由题意知解得
超几何分布的方差公式：若，则 .
证明：当时，,其中, ，
则 .
当 时，仿照上面证明.
求均值与方差的基本方法
（1）已知随机变量的分布列求它的均值与方差,可直接按定义（公式）求解;
（2）已知随机变量的均值、方差,求的线性函数 的均值、方差,可
直接用 的均值、方差的性质求解;
（3）如果能分析出所给随机变量服从常用的分布（如两点分布、二项分布等）,
可直接利用它们的均值、方差公式求解.
例 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐
属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，制定了以下两种宣传
方案.
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 分别为0元，20万元，40万元，
且，期望 .
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 分别为10万元，20万元，30万元，
其概率依次为,, .
（1）请写出方案一的分布列，并求 ；
解：设， ，
依题意得①， .
由①②解得， ，
所以 的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
故 .
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说
明你的理由.
解：由题得 的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
故 ，
.
由可知采用平台广告投放收益的期望较大，由 可知采
用平台广告投放的风险较高.
综上所述，如果公司期望高收益，那么选择投放平台广告；如果公司期望收益
稳定，那么选择投放传统广告.第2课时 离散型随机变量的方差
【课前预习】
知识点一
1.[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
标准差
2.(1)a2D(X) (2)0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× [解析] (4)方差的单位是随机变量单位的平方,标准差与随机变量本身有相同的单位.
知识点二
1.p(1-p) 2.np(1-p)
【课中探究】
探究点一
例1 解:依题意知,ξ的取值范围为{0,1,2},
则P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=,所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故E(ξ)=0×+1×+2×=,
D(ξ)=×+×+×=.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)由已知可得E(η)=-1×+0×+1×=-,所以D(η)=×+×+×=,又ξ=3η-2,所以D(ξ)=D(3η-2)=9D(η)=9×=5.故选A.
(2)由分布列的性质,得a+=1,则a=.∵E(X)=2,∴+=2,则m=6-2n,∴D(X)=×(m-2)2+×(n-2)2=×(6-2n-2)2+×(n-2)2=2(n-2)2,故当n=2时,D(X)取得最小值0.故选A.
探究点二
例2 (1) (2)1650 [解析] (1)由+=1,解得a=1或a=-2(舍去),所以X的分布列为
X 0 1
P
因为X服从参数为的两点分布,所以E(X)=,D(X)=×=.
(2)由题知摸出的3个球都是红球的概率P==.设中奖的次数为Y,则Y~B,∴D(Y)=6××=,∴D(Z)=D(60Y)=3600D(Y)=1650.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)∵X~B(2,p),P(X≥1)=,∴P(X=0)=1-P(X≥1)=(1-p)2=,解得p=,即X~B,∴D(X)=2××=,又随机变量X,Y满足Y=3X-1,∴D(Y)=32D(X)=4,故选C.
(2)因为X~B,所以D(X)=8××=2,又Y=2X-1,所以D(Y)=4D(X)=8.故选D.
探究点三
例3 解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21,
则E(ξ)>E(η),D(ξ)
变式 解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ,
则ξ的取值范围是{1,2,3},则P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
故E(ξ)=1×+2×+3×=2.
(2)设考生乙正确完成实验操作的题数为η,易知η~B,所以P(η=0)=×=,
P(η=1)=××=,
P(η=2)=××=,
P(η=3)=×=,所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
故E(η)=3×=2,则E(ξ)=E(η)=2.
因为D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,D(η)=3××=,P(ξ≥2)=+=,P(η≥2)=+=,
所以D(ξ)P(η≥2).
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性更大.
因此甲的实验操作能力较强.
【课堂评价】
1.B [解析] 由已知可得D(X)=5××=.故选B.
2.B [解析] 由题可知D(Y)=D(-2X)=4D(X)=8.故选B.
3.C [解析] ∵P(X=12)=0.6,P(X=-0.5)=0.4,∴E(X)=12×0.6+(-0.5)×0.4=7,从而D(X)=(12-7)2×0.6+(-0.5-7)2×0.4=37.5.故选C.
4.0.29 [解析] E(X)=1×0.1+2×0.7+3×0.2=2.1,所以D(X)=(1-2.1)2×0.1+(2-2.1)2×0.7+(3-2.1)2×0.2=0.29.
5. [解析] 由题意知解得第2课时 离散型随机变量的方差
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念;
2.掌握方差的性质及两点分布、二项分布的方差;
3.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
◆ 知识点一 离散型随机变量的方差、标准差及性质
1.如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
因为X的均值为E(X),所以D(X)= =[xi-E(X)]2pi,能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示.一般地,称为离散型随机变量X的 ,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
2.(1)设a,b为常数,则D(aX+b)= .
(2)D(c)= (其中c为常数).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越不稳定. ( )
(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度. ( )
(3)如果ξ是离散型随机变量,且η=3ξ+2,那么E(η)=3E(ξ)+2,D(η)=9D(ξ). ( )
(4)离散型随机变量的方差与标准差的单位相同. ( )
◆ 知识点二 服从两点分布和二项分布的随机变量的方差
1.若X服从参数为p的两点分布,则D(X)= .
2.若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则D(X)= .
◆ 探究点一 离散型随机变量的方差
例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为,,在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列、期望和方差.
变式 (1)[2023·新疆乌鲁木齐高二期中] 已知随机变量η的分布列如下表所示,设ξ=3η-2,则D(ξ)的值为 ( )
η -1 0 1
P
A.5 B.
C. D.-3
(2)若随机变量X的分布列为P(X=m)=,P(X=n)=a,若E(X)=2,则D(X)的最小值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.2
[素养小结]
求离散型随机变量的方差的方法:
(1)根据题目条件先求分布列进而求出均值;
(2)依据方差公式求方差,方差也可以应用公式D(X)=E(X2)-(EX)2进行求解.
注意:当分布列中的概率值有未知数时,应先由分布列的性质求出未知数再求方差.
◆ 探究点二 常用分布的方差
例2 (1)若离散型随机变量X的分布列如下表所示,则E(X)= ,D(X)= .
X 0 1
P
(2)为促进居民消费,某超市准备举办一次有奖促销活动,顾客购买满一定金额商品后即可抽奖.在一个不透明的盒子中装有10个质地均匀且大小相同的小球,其中有5个红球,3个白球,2个黑球,搅拌均匀.每次抽奖都从箱中随机摸出3个球,若摸出的全是红球,则获得60元的返金券.若某顾客有6次抽奖机会,设顾客抽取6次后最终可能获得的返金券的金额为Z元,则Z的方差为 .
变式 (1)已知随机变量X,Y满足Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则D(Y)= ( )
A.3 B.
C.4 D.
(2)[2023·四川宜宾高二期末] 若随机变量X~B,Y=2X-1,则D(Y)= ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
[素养小结]
(1)如果随机变量X服从参数为p的两点分布,那么其方差D(X)=p(1-p).
(2)如果随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),那么其方差D(X)=np(1-p),计算时可直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.
◆ 探究点三 方差的实际应用
例3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
变式 某高校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定至少正确完成其中2道题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响.
(1)求考生甲正确完成实验操作的题数的分布列,并计算均值;
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2道题的概率方面比较两位考生的实验操作能力.
[素养小结]
均值、方差在决策中的作用:
(1)均值:均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,均值越大,平均水平越高.
(2)方差:方差反映了离散型随机变量取值的离散程度,方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
1.若X为离散型随机变量,且X~B,则D(X)= ( )
A. B. C.1 D.
2.[2024·河南南阳高二期末] 已知随机变量X,Y满足Y=-2X,且D(X)=2,则D(Y)= ( )
A.16 B.8
C.4 D.-4
3.在某公司的一次投标工作中,中标可以获利12万元,没有中标损失成本费0.5万元.若中标的概率为0.6,设公司盈利X万元,则D(X)= ( )
A.7 B.31.9
C.37.5 D.42.5
4.已知随机变量X的分布列如下表所示,
X 1 2 3
P 0.1 0.7 0.2
则D(X)= .
5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .
X -1 0 1 2
P a b c第2课时 离散型随机变量的方差
1.C [解析] 由题意知,E(X)=-1×+0×+1×+2×=,故D(X)=×+×+×+×=.故选C.
2.A [解析] 设甲获胜的局数为Y,则Y~B,由题知X=10Y,故D(X)=D(10Y)=102D(Y)=100×5××=120.故选A.
3.C [解析] ∵随机变量X服从参数为的两点分布,∴P(X=0)=,P(X=1)=,则E(X)=0×+1×=,D(X)=×+×=.A中,P(X=1)=E(X)=,故A中结论正确;B中,E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B中结论正确;C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C中结论错误;D中,D(X)=,故D中结论正确.故选C.
4.B [解析] 由题意可知,X的取值范围为{-2,0,2},P(X=2)=×=,P(X=-2)=×=,P(X=0)=××=,所以E(X)=×2+(-2)×+×0=,故D(X)=×+×+×=.故选B.
5.A [解析] 因为E(Xi)=0+pi+(1+pi)=,所以E(X1)=E(X2).因为D(Xi)=×+pi+=-+pi+=-,所以D(X2)=-=-=-=D(X1).所以E(X1)=E(X2),D(X1)=D(X2).故选A.
6.C [解析] 因为随机变量X~B,所以E(X)=4×=1,D(X)=4××=,故A不正确,B不正确;甲连续投篮4次相当于4次独立重复试验,而甲每次投篮的命中率均为,则命中次数X~B,故C正确;依题意,X不服从参数为4,的二项分布,故D不正确.故选C.
7.D [解析] 由题意知a+b=,E(X)=a+a+2b=a+2b,E(X2)=a2×+a+4b=a2+a+4b,则D(X)=E(X2)-[E(X)]2=a2+a+4b-=a2+a+4b-a2-6ab-4b2=a2+a+4-a2-6a-4=a2-2a+1=(a-4)2-3,又08.AC [解析] 对于A,由题得E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故A正确;对于B,由题得D(X)=×+×+×=,故B错误;对于C,由已知得|X|的分布列为
|X| 0 1
P
所以E(|X|)=0×+1×=,故C正确;对于D,D(|X|)=×+×=,故D错误.故选AC.
9.BC [解析] 由题意得4p3+p2(1-p)=p3+3p2=.因为函数f(p)=p3+3p2在(0,1)上单调递增,且f=,所以p=,故A错误;E(X)=np=3×=,故B正确;D(X)=np(1-p)=3××=,故C正确;E(Y)-1=E(2X+1)-1=2E(X)+1-1=3,D(Y)=22D(X)=3,则E(Y)-1=D(Y),故D错误.故选BC.
10. [解析] 因为X~B(2,p),P(X≥1)=,所以1-p0(1-p)2=,解得p=,故D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=4×2p(1-p)=4×2××=.
11.1 (0,4) [解析] 由题知E(ξ)=0·a+1-2a+2a=1.因为E(ξ4)=04×a+14×(1-2a)+24×a=1+14a,E(ξ2)=02×a+12×(1-2a)+22×a=1+2a,所以D(ξ2)=E(ξ4)-[E(ξ2)]2=1+14a-(1+2a)2=-4a2+10a,a∈.令f(a)=-4a2+10a,a∈,则f(a)在上单调递增,得f(a)∈(0,4),故D(ξ2)∈(0,4).
12. 25 [解析] 记成功次数为X,则X~B(100,p),所以D(X)=100p(1-p)≤100×=25,当且仅当p=1-p,即p=时,等号成立.故当p=时,成功次数的方差最大,其最大值为25.
13.解:由题得E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,D(X1)=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.606 4,D(X2)=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.1=0.926 4.
因为E(X1)=E(X2),D(X1)14.解:(1)由已知得X的取值范围为{0,1,2},Y的取值范围为{0,1,2},则ξ=X-Y的取值范围为{-2,-1,0,1,2},
P(ξ=-2)=××××=,P(ξ=-1)=×××××+×××××=,P(ξ=0)=×××××+×××××+×××××==,
P(ξ=1)=×××××+×××××=,P(ξ=2)=×××××=,
所以ξ的分布列为
ξ -2 -1 0 1 2
P
故E(ξ)=(-2)×+(-1)×+1×+2×=.
(2)由题知,随机变量ηn服从两点分布,不妨设P(ηn=1)=Pn,则P(ηn=0)=1-Pn.
当n=1时,P1=×=,则D(η1)=P1(1-P1)=×=;当n=2时,P2=2×××+×+×2××=,则D(η2)=P2(1-P2)=×=.故D(η1)>D(η2).
15.C [解析] 由题意可得a+b=,则b=-a,0a+×=-a2-a+,D(Y)=a+×+×=a+×+×=-a2+a+.因为X,Y是两个相互独立的随机变量,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)=-2a2+a+.因为函数y=-2x2+x+的图象开口向下,且对称轴为直线x=,所以函数y=-2x2+x+在上单调递增,在上单调递减,因此随着a的增大,D(X+Y)先增大后减小.故选C.
16.0.7 [解析] 由题意知X~B(10,p).因为D(X)=2.1,P(X=3)一、选择题
1.设随机变量X的分布列为
X -1 0 1 2
P
则D(X)等于 ( )
A. B. C. D.
2.已知甲、乙两人进行五局比赛,甲每局获胜的概率是,且各局的胜负相互独立.若甲胜一局的奖金为10元,设甲获得的奖金总额为X元,则甲获得的奖金总额的方差D(X)= ( )
A.120 B.240 C.360 D.480
3.若随机变量X服从参数为的两点分布,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是 ( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
4.小明参加某射击比赛,射中得1分,未射中扣1分,已知他每次能射中的概率为,记小明射击2次的得分为X,则D(X)= ( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量Xi(i=1,2)的分布列如下表所示,
Xi 0 +pi 1+pi
P pi -pi
其中0A.E(X1)=E(X2),D(X1)=D(X2)
B.E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2)
C.E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2)
D.E(X1)6.已知随机变量X~B,则下列说法正确的是 ( )
A.E(X)=2
B.D(X)=
C.若甲每次投篮的命中率均为,且各次投篮结果互不影响,则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数
D.若一个不透明盒子中装有大小相同、质地均匀的10个绿球和30个红球,则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数
7.[2023·上海二中高二月考] 已知随机变量X的分布列为
X a 1 2
P a b
则D(X)的取值范围是 ( )
A.[-3,+∞) B.[-3,1)
C. D.
8.(多选题)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
则下列结论正确的是 ( )
A.E(X)=- B.D(X)=
C.E(|X|)= D.D(|X|)=
9.(多选题)已知X~B(3,p)(0A.p= B.E(X)=
C.D(X)= D.E(Y)-1=2D(Y)
二、填空题
10.已知随机变量X,Y满足X~B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=,则D(Y)= .
11.下表是随机变量ξ的分布列,其中0ξ 0 1 2
P a 1-2a a
12.设一次试验成功的概率为p,则在100次伯努利试验中,当p= 时,成功次数的方差最大,其最大值为 .
三、解答题
13.A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示:
A机床:
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床:
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.1
试判断哪台机床的质量比较好.
14.上学期间,甲每天7:30之前到校的概率为,乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校时间互不影响,且任一同学每天到校时间相互独立.
(1)在上学期间随机选择两天,记X为甲7:30之前到校的天数,记Y为乙7:30之前到校的天数,令ξ=X-Y,求ξ的分布列和数学期望;
(2)在上学期间随机选择n天,若在这n天中,甲7:30之前到校的天数多于乙,则记ηn=1,否则记ηn=0,比较D(η1),D(η2)的大小.
15.已知a,b∈R,两个相互独立的随机变量X,Y的分布列分别是
X -1 0 1
P a b
Y -1 0 1
P a b
则随着a的增大,D(X+Y) ( )
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
16.某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班种植了10株此种盆栽植物,设X为其中成活的株数.若X的方差D(X)=2.1,P(X=3)