2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 780.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知直线 ，圆 ．则“ ”是“ 与 相切”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线x-y=2被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．4
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
4．已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
7．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是（ ）
A．－48．过点A（1，2），且与两坐标轴同时相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25
B．（x﹣1）2+（y﹣3）2=2
C．（x﹣5）2+（y﹣5）2=25
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为4
C．圆C与圆E：相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
11．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题(共3题；共15分)
12．直线 被曲线 截得的弦长等于 ．
13．圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为 .
14．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知 圆心在直线 上，且过点 、 ．
（1）求 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 被所截得的弦长为4，求直线 的方程．
16．已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
18．已知直线 与圆 交于 两点.
（1）求 的斜率的取值范围；
（2）若 为坐标原点，直线 与 的斜率分别为 ， ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，
由直线 和 相切可得：
圆心到直线的距离 ，
解得 ，
解得 或 ，
故 是 或 的充分不必要条件，
故答案为：B.
【分析】根据直线与圆相切的性质解得 或 ，再由充分必要条件即可判断B正确。
2．【答案】B
【解析】【分析】∵圆心（4，0)到直线x-y-2=0的距离为，∴截得的弦长为，故选B
【点评】求直线与圆的弦长问题要注意利用重要的直角三角形处理。
3．【答案】B
【解析】【解答】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
故答案为：B.
【分析】将原点坐标代入到圆的方程中，由点和圆的关系判断.
4．【答案】A
【解析】【解答】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线，
设的方程为，则，解得或，
即直线，直线，
如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离，
圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离，
所以圆O半径r的取值范围为，即.
故答案为：A
【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.
5．【答案】B
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
6．【答案】C
【解析】【解答】将 化为圆的标准方程得， ，
可看出圆的圆心为 ，半径 为 ，
圆心到直线 的距离
即 .
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故答案为：C
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，再求出圆心到直线的距离，即可得直线与圆的位置关系.
7．【答案】A
【解析】【解答】由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4【分析】本题的考点是点与圆的位置关系，关键是由条件建立不等式，属于基础题．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可设圆心为（a，a），则半径r=a，得圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，
∵点A（1，2）在圆上，
∴将点A坐标代入，得（1﹣a）2+（2﹣a）2=a2，解之得a=1或a=5．
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25．
故选：A
【分析】根据题意，设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，将点A坐标代入并解关于a的方程，得a=1或a=5．由此即可得到所求圆的标准方程．
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】直线 经过圆 的圆心 ，且斜率为 .
故答案为：ABD.
【分析】直线 经过圆 的圆心 ，且斜率为 ，判断得到答案.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】A：将一般式配方可得：，A不符合题意；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；
C：外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之： ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径；根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0，0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．【答案】
【解析】【解答】 ，圆心为 ，半径为5，圆心到直线的距离为 ，所以弦长为 .
【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用弦心距公式计算即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设
则 ，解得
所以（x-1）2+（y+4）2=8．
【分析】可设圆标准方程： ，则根据题意可列三个条件： ，解方程组可得 ，即得圆方程
14．【答案】
【解析】【解答】圆，所以圆心为，半径，
，
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为： .
【分析】先求以为圆心，为半径的圆的方程为：，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.
15．【答案】（1）由点 、 可得 中点坐标为 ， ，
所以直线 的垂直平分线的斜率为-1，
可得直线 的垂直平分线的方程为： 即 ，
由 可得： ，所以圆心为 ，
，
所以 的标准方程为 ，
（2）设直线的方程为 即 ，
圆心 到直线的距离 ，
则 可得 ，
即 ，解得： 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或
【解析】【分析】(1)由已知条件即可求出点的A与B的坐标，由此得出 中点坐标然后由斜率的坐标公式以及直线垂直的斜率之间的关系，求出直线 的垂直平分线的斜率然后由点斜式求出 直线 的垂直平分线的方程，联立两个方程求出圆心的坐标，再由两点间的距离公式计算出圆的半径，由此得出圆的标准方程。
(2)首先根据题意设出直线的方程，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式求出k的值，然后由点斜式求出直线的方程即可。
16．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以由垂径定理，得.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和半径的定义，进而得出圆的半径长，从而得出圆M的标准方程。
（2） 由（1）知圆的圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由垂径定理，从而得出A，B的两点的距离。
17．【答案】（1）解：因为圆心在直线上，所以设，
因为圆经过，两点，所以，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为．
（2）解：因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以到直线距离，
当直线斜率不存在时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即
综上所述，直线的方程为或．
【解析】【分析】 (1) 设，结合圆的定义列式求得，即可得方程；
(2) 由垂径定理可得到直线距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解.
18．【答案】（1）由 ，可得 .
由 ，解得 ，所以 恒过定点 .
故可设 的方程为 ，即 .
由已知可得圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
则由直线与圆 相交，可得 .
解得 ，所以 的斜率的取值范围为 .
（2） 是定值
联立 ，消去 ，整理得 .
设 ， ，由韦达定理得 ，
则
为定值.
【解析】【分析】 (1)先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时，斜率的取值范围；
(2) 可设 的方程为 联立 ，消去 ，整理得 ， 设 ， ，由韦达定理得 ，进行化简就可得出 是为定值。
19．【答案】（1）解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得，
所以圆的标准方程为；
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即，
半径，
所以圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时，
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切．
所以直线的方程为或；
（3）解：圆心到直线的距离，
所以，
则点到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值
【解析】【分析】(1)解法一：首先由圆的标准方程结合已知条件，计算出圆心坐标和半径的值，由此即可得出圆的方程。解法二：由已知条件即可得出圆心在线段的垂直平分线上， 把数值代入直线的方程计算出点的坐标，利用两点间的距离公式计算出半径的取值，由此即可得出圆的方程。
(2)根据题意对斜率分情况讨论，结合点斜式设出直线的方程，再由圆与直线的位置关系，结合点到直线的距离公式代入计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
(3)首先由点到直线的距离公式计算出d的取值，由此即可得出弦长的值，利用圆与直线的位置关系就是距离的最大值，由此即可得出三角形面积的最大值。
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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知直线 ，圆 ．则“ ”是“ 与 相切”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线x-y=2被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．4
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
4．已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
7．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是（ ）
A．－4
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25
B．（x﹣1）2+（y﹣3）2=2
C．（x﹣5）2+（y﹣5）2=25
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为4
C．圆C与圆E：相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
11．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题(共3题；共15分)
12．直线 被曲线 截得的弦长等于 ．
13．圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为 .
14．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知 圆心在直线 上，且过点 、 ．
（1）求 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 被所截得的弦长为4，求直线 的方程．
16．已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
18．已知直线 与圆 交于 两点.
（1）求 的斜率的取值范围；
（2）若 为坐标原点，直线 与 的斜率分别为 ， ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，
由直线 和 相切可得：
圆心到直线的距离 ，
解得 ，
解得 或 ，
故 是 或 的充分不必要条件，
故答案为：B.
【分析】根据直线与圆相切的性质解得 或 ，再由充分必要条件即可判断B正确。
2．【答案】B
【解析】【分析】∵圆心（4，0)到直线x-y-2=0的距离为，∴截得的弦长为，故选B
【点评】求直线与圆的弦长问题要注意利用重要的直角三角形处理。
3．【答案】B
【解析】【解答】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
故答案为：B.
【分析】将原点坐标代入到圆的方程中，由点和圆的关系判断.
4．【答案】A
【解析】【解答】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线，
设的方程为，则，解得或，
即直线，直线，
如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离，
圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离，
所以圆O半径r的取值范围为，即.
故答案为：A
【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.
5．【答案】B
【解析】【解答】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故答案为：B
【分析】设圆的圆心为，直线恒过定点，则点到直线的距离时与直线垂直，所以，即可得解.
6．【答案】C
【解析】【解答】将 化为圆的标准方程得， ，
可看出圆的圆心为 ，半径 为 ，
圆心到直线 的距离
即 .
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故答案为：C
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，再求出圆心到直线的距离，即可得直线与圆的位置关系.
7．【答案】A
【解析】【解答】由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可设圆心为（a，a），则半径r=a，得圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，
∵点A（1，2）在圆上，
∴将点A坐标代入，得（1﹣a）2+（2﹣a）2=a2，解之得a=1或a=5．
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25．
故选：A
【分析】根据题意，设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，将点A坐标代入并解关于a的方程，得a=1或a=5．由此即可得到所求圆的标准方程．
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】直线 经过圆 的圆心 ，且斜率为 .
故答案为：ABD.
【分析】直线 经过圆 的圆心 ，且斜率为 ，判断得到答案.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】A：将一般式配方可得：，A不符合题意；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；
C：外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之： ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径；根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0，0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．【答案】
【解析】【解答】 ，圆心为 ，半径为5，圆心到直线的距离为 ，所以弦长为 .
【分析】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解决问题的关键是根据直线与圆相交运用弦心距公式计算即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设
则 ，解得
所以（x-1）2+（y+4）2=8．
【分析】可设圆标准方程： ，则根据题意可列三个条件： ，解方程组可得 ，即得圆方程
14．【答案】
【解析】【解答】圆，所以圆心为，半径，
，
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为： .
【分析】先求以为圆心，为半径的圆的方程为：，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.
15．【答案】（1）由点 、 可得 中点坐标为 ， ，
所以直线 的垂直平分线的斜率为-1，
可得直线 的垂直平分线的方程为： 即 ，
由 可得： ，所以圆心为 ，
，
所以 的标准方程为 ，
（2）设直线的方程为 即 ，
圆心 到直线的距离 ，
则 可得 ，
即 ，解得： 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或
【解析】【分析】(1)由已知条件即可求出点的A与B的坐标，由此得出 中点坐标然后由斜率的坐标公式以及直线垂直的斜率之间的关系，求出直线 的垂直平分线的斜率然后由点斜式求出 直线 的垂直平分线的方程，联立两个方程求出圆心的坐标，再由两点间的距离公式计算出圆的半径，由此得出圆的标准方程。
(2)首先根据题意设出直线的方程，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式求出k的值，然后由点斜式求出直线的方程即可。
16．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以由垂径定理，得.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和半径的定义，进而得出圆的半径长，从而得出圆M的标准方程。
（2） 由（1）知圆的圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由垂径定理，从而得出A，B的两点的距离。
17．【答案】（1）解：因为圆心在直线上，所以设，
因为圆经过，两点，所以，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为．
（2）解：因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以到直线距离，
当直线斜率不存在时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即
综上所述，直线的方程为或．
【解析】【分析】 (1) 设，结合圆的定义列式求得，即可得方程；
(2) 由垂径定理可得到直线距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解.
18．【答案】（1）由 ，可得 .
由 ，解得 ，所以 恒过定点 .
故可设 的方程为 ，即 .
由已知可得圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
则由直线与圆 相交，可得 .
解得 ，所以 的斜率的取值范围为 .
（2） 是定值
联立 ，消去 ，整理得 .
设 ， ，由韦达定理得 ，
则
为定值.
【解析】【分析】 (1)先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时，斜率的取值范围；
(2) 可设 的方程为 联立 ，消去 ，整理得 ， 设 ， ，由韦达定理得 ，进行化简就可得出 是为定值。
19．【答案】（1）解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得，
所以圆的标准方程为；
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即，
半径，
所以圆的标准方程为；
（2）解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时，
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切．
所以直线的方程为或；
（3）解：圆心到直线的距离，
所以，
则点到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值
【解析】【分析】(1)解法一：首先由圆的标准方程结合已知条件，计算出圆心坐标和半径的值，由此即可得出圆的方程。解法二：由已知条件即可得出圆心在线段的垂直平分线上， 把数值代入直线的方程计算出点的坐标，利用两点间的距离公式计算出半径的取值，由此即可得出圆的方程。
(2)根据题意对斜率分情况讨论，结合点斜式设出直线的方程，再由圆与直线的位置关系，结合点到直线的距离公式代入计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
(3)首先由点到直线的距离公式计算出d的取值，由此即可得出弦长的值，利用圆与直线的位置关系就是距离的最大值，由此即可得出三角形面积的最大值。
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