(共39张PPT)
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验
探究点一 2×2列联表
探究点二 独立性检验在实际中的应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解独立性检验的基本思想及其实施步骤；
2.能利用 列联表探讨两个随机事件的关系；
3.了解 的含义及其应用；
4.通过对数据的处理来提高解决实际问题的能力.
知识点一 2×2列联表及随机事件的概率
1.定义：如果随机事件与 的样本数据整理成如下的表格形式.
总计
总计
因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为
列联表.
2. 列联表中随机事件的概率：
如上表，记 ，则由表可知：
（1）事件发生的概率可估计为 ；
（2）事件发生的概率可估计为 ；
（3）事件发生的概率可估计为 .
知识点二 独立性检验
1.计算公式：_ _________________，其中 _____________.
2.定义：任意给定一个 （称为____________，通常取为, 等），可以
找到满足条件 的数（称为显著性水平 对应的________）.如
果根据样本数据算出的值后，发现 成立，就称在犯错误的概率不超过
___的前提下，可以认为与不独立（也称为与 有关）；或说有______的把
握认为与有关.若 成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独
立性检验.
显著性水平
分位数
3.统计学中，常用的显著性水平 以及对应的分位数 如下表所示.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的大小是判断事件与 是否相关的统计量.( )
√
（2）事件与 独立性检验无关，即两个事件互不影响.( )
×
（3）应用独立性检验对两个事件间的关系作出的推断一定是正确的.( )
×
探究点一 2×2列联表
例1 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位
市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分
（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.
组别
男 2 3 5 15 18 12
女 0 5 10 10 7 13
若规定问卷得分不低于70分的市民为“环保关注者”，根据以上数据写出一个
列联表.
解：根据题中数据可得 列联表如下.
非“环保关注者” “环保关注者” 总计
男 10 45 55
女 15 30 45
总计 25 75 100
变式 已知下表是一个列联表，则表中， 的值分别为( )
总计
21
25 33
总计 106
B
A.96，94 B.60，52 C.52，54 D.50，52
[解析] 由，得，由，得 ，则
,.所以表中， 的值分别为
60，52.故选B.
［素养小结］
作 列联表时需注意：
（1） 列联表应该是4行4列，对涉及的变量要分清类别.
（2）计算时要准确无误.
探究点二 独立性检验在实际中的应用
例2 某市为了调研本市学生的体质情况，按性别采用分层抽样的方法进行调查，
得到体质检测样本的统计数据（单位：人）如下．
优秀 良好 一般 不及格
男生 100 200 780 120
女生 120 200 520 120
（1）记体质检测结果为优秀、良好或一般的学生为体质达标，否则为体质不
达标．根据所给数据，完成下面的 列联表．
体质达标 体质不达标 总计
男生 ______ _____ ______
女生 _____ _____ _____
总计 ______ _____ ______
解: 列联表如下：
体质达标 体质不达标 总计
男生 1080 120 1200
女生 840 120 960
总计 1920 240 2160
（2）依据（1）的统计结果判断，是否有 的把握认为该市学生的体质是否
达标与性别有关？
附：， .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
解: 由（1）知 ，因为
，而且查表可得，由于 ,所以
没有 的把握认为该市学生的体质是否达标与性别有关.
变式 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数
学应用题得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），
乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学
生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试
的平均成绩（均取整数）如下表所示.
60分以下
甲班（人数） 3 11 6 12 18
乙班（人数） 7 8 10 10 15
现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.
（1）试分析估计两个班级的优秀率；
解:由题意知，甲、乙两个班级均有50名学生，
甲班学生的优秀人数为30，优秀率为 ，
乙班学生的优秀人数为25，优秀率为 ，
所以甲、乙两个班级的优秀率分别为和 .
（2）由以上统计数据填写下面的 列联表，并根据表中数据，判断能否有
的把握认为加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率有帮助.
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班
总计
解:根据题中数据可得 列联表如下.
优秀 非优秀 总计
甲班 30 20 50
乙班 25 25 50
总计 55 45 100
，
因为，而且查表可得 ，
由于，所以没有 的把握认为加强语文阅读理解训练对提高数
学应用题得分率有帮助.
［素养小结］
独立性检验的步骤：
（1）列出 列联表.
（2）利用公式，其中 ，计算随机变
量 .
（3）发现， ，就推断“与 有关”，这种推断犯错误的概
率不超过 ；否则，就认为在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“与
有关”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“与 有关”.
1.用独立性检验考查两个事件，是否有关时，随机变量 的值( )
A
A.越大，“与 有关”成立的可能性越大
B.越大，“与 有关”成立的可能性越小
C.越小，“与 有关”成立的可能性越大
D.与“与 有关”成立的可能性无关
[解析] 用独立性检验考查两个事件A,B是否有关时，随机变量 的值越大，说
明“A与B有关”成立的可能性越大，由此可知A正确.故选A.
2.[2024·江西九江高二期末]某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男
女区分得到列联表，经计算得 .根据独立性检验的相关知识对照
下表，则认为是否喜欢篮球与性别有关这一判断犯错误的概率为( )
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
B
A. B. C. D.
[解析] ， 在犯错误的概率不超过 的前提下
可以认为是否喜欢篮球与性别有关，故选B.
3.下面是一个列联表，则表中, 的值分别为( )
总计
21 73
7 20 27
总计 41 100
C
A.94,96 B.52,40 C.52,59 D.59,52
[解析] 由题意可知，所以，又，所以 .故选C.
4.[2023·山东滨州高二期末]手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的
生活和学习造成了一定的影响.某校几个学生成立研究性学习小组，就是否使用
手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下
列联表，则下列说法正确的是( )
成绩优秀 成绩不优秀 总计
不用手机 40 10 50
使用手机 5 45 50
总计 45 55 100
（参考公式：，其中 ）
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否使用手机与学习成绩无关
B.在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否使用手机与学习成绩无关
C.有 的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响
D.没有 的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响
√
[解析] 由列联表中的数据，得 ，所以在
犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否使用手机与学习成绩有关，
即有 的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响，故A，B错误，C正确，
D错误.故选C.
独立性检验的注意事项：
1.在列联表中注意事件的对应及有关值的确定,避免混乱.
2.在判断两个随机事件之间的关系的可靠性时,一般利用随机变量 来确定.
3.在实际问题中,独立性检验的结论仅仅是一种数字关系,得到的判断也可能出错.
比如,在推测吸烟与患肺癌是否有关时,通过收集、整理、分析数据,我们得到“吸
烟与患肺癌有关”的结论并且有超过 的把握说明吸烟与患肺癌有关,或者说这
个结论出错的概率为0.01以下.但实际上一个人吸烟也不一定会患肺癌,患肺癌也
不一定是由吸烟引起的,这是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映,但我们
可以利用统计分析的结果去预测实际问题的结果.
4.把计算出的的值与相关的分位数作比较,确定出“与 有关系”的把握.
1.利用进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量 越
大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用 进行独立性检
验的结果就不具有可靠性.
2.解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.
（1）绘制 列联表.
总计
总计
,并且 为样本容量.
（2）计算卡方数值，，其中 ，该公
式较准确地刻画了两个事件相关性的可靠程度.
（3）与显著性水平对应的分位数作比较.
（4）若，就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为与 不独
立（也称与有关），或者说有 的把握认为与有关；若 ，则说
没有 的把握认为与 有关.
例1 读书可以使人保持思想活力,让人得到
智慧启发,让人滋养浩然正气.书籍是文化的
重要载体,读书是承继文化的重要方式.某地
区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽
取了 名学生进行调查,根据调查得到的学生
日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分
布直方图,将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书
时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于
10分钟的有10人.
（1）求, 的值;
解：,解得 ,所以
.
（2）根据已知条件完成下面的列联表,并判断是否有 的把握认为是否
为“读书之星”与性别有关；
非读书之星 读书之星 总计
男生
女生 10 55
总计
解：因为,所以“读书之星”有（人），从而 列联表
如下表所示.
非读书之星 读书之星 总计
男生 30 15 45
女生 45 10 55
总计 75 25 100
将 列联表中的数据代入公式计算得
,
因为,所以没有 的把握认为是否为“读书之星”与性别有关.
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中随机抽取3名学
生,每次抽取1名,已知每个人是否被抽到互不影响,记抽取的“读书之星”人数为随
机变量,求 的分布列和期望.
附:,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：将频率视为概率,可得从该地区学生中抽取一名学生，这名学生是“读书之星”
的概率为 .
由题意可知的取值范围为，1，2，，且 ,
所以 ,
,
,
,
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
例2 [2024·四川成都七中高二期末]某校团委对“是否喜欢吃水果和学生性别是
否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的 ，男生喜欢吃
水果的人数占被调查的男生人数的 ，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人
数的.若有 的把握认为是否喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至
少有( )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
B
A.12人 B.18人 C.24人 D.30人
[解析] 设被调查的男生人数为，则被调查的女生人数为，得到 列联表如
下：
喜欢吃水果 不喜欢吃水果 总计
男生
女生
总计
则,由题得，解得 ，
又因为男、女生人数均为整数，所以被调查的男生至少有18人.故选B.4.3.2 独立性检验
【课前预习】
知识点二
1. a+b+c+d
2.显著性水平 分位数 α 1-α
诊断分析
(1)√ (2)× (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:根据题中数据可得2×2列联表如下.
非“环保关注者” “环保关注者” 总计
男 10 45 55
女 15 30 45
总计 25 75 100
变式 B [解析] 由c+25=33,得c=8,由e+33=106,得e=73,则b=e-21=73-21=52,a=b+c=52+8=60.所以表中a,b的值分别为60,52.故选B.
探究点二
例2 解:(1)2×2列联表如下:
体质达标 体质不达标 总计
男生 1080 120 1200
女生 840 120 960
总计 1920 240 2160
(2)由(1)知χ2===3.375,因为1-95%=5%,而且查表可得P(χ2≥3.841)=0.05,由于3.375<3.841,所以没有95%的把握认为该市学生的体质是否达标与性别有关.
变式 解:(1)由题意知,甲、乙两个班级均有50名学生,
甲班学生的优秀人数为30,优秀率为=60%,
乙班学生的优秀人数为25,优秀率为=50%,
所以甲、乙两个班级的优秀率分别为60%和50%.
(2)根据题中数据可得2×2列联表如下.
优秀 非优秀 总计
甲班 30 20 50
乙班 25 25 50
总计 55 45 100
χ2==≈1.010,
因为1-95%=5%,而且查表可得P(χ2≥3.841)=0.05,
由于1.010<3.841,所以没有95%的把握认为加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率有帮助.
【课堂评价】
1.A [解析] 用独立性检验考查两个事件A,B是否有关时,随机变量χ2的值越大,说明“A与B有关”成立的可能性越大,由此可知A正确.故选A.
2.B [解析] ∵χ2=8.133∈(7.879,10.828),∴在犯错误的概率不超过0.5%的前提下可以认为是否喜欢篮球与性别有关,故选B.
3.C [解析] 由题意可知a+21=73,所以a=52,又a+7=b,所以b=59.故选C.
4.C [解析] 由列联表中的数据,得χ2=≈49.49>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,可以认为是否使用手机与学习成绩有关,即有99%的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响,故A,B错误,C正确,D错误.故选C.4.3.2 独立性检验
【学习目标】
1.理解独立性检验的基本思想及其实施步骤;
2.能利用2×2列联表探讨两个随机事件的关系;
3.了解χ2的含义及其应用;
4.通过对数据的处理来提高解决实际问题的能力.
◆ 知识点一 2×2列联表及随机事件的概率
1.定义:如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式.
A 总计
B a b a+b
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
因为这个表格中,核心的数据是中间的4个格子,所以这样的表格通常称为2×2列联表.
2.2×2列联表中随机事件的概率:
如上表,记n=a+b+c+d,则由表可知:
(1)事件A发生的概率可估计为P(A)=;
(2)事件B发生的概率可估计为P(B)=;
(3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)=.
◆ 知识点二 独立性检验
1.χ2计算公式:χ2= ,其中n= .
2.定义:任意给定一个α(称为 ,通常取为0.05,0.01等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的 ).如果根据样本数据算出χ2的值后,发现χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过 的前提下,可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有 的把握认为A与B有关.若χ23.统计学中,常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量. ( )
(2)事件A与B独立性检验无关,即两个事件互不影响. ( )
(3)应用独立性检验对两个事件间的关系作出的推断一定是正确的. ( )
◆ 探究点一 2×2列联表
例1 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的100人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示.
组别 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
男 2 3 5 15 18 12
女 0 5 10 10 7 13
若规定问卷得分不低于70分的市民为“环保关注者”,根据以上数据写出一个2×2列联表.
变式 已知下表是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为 ( )
y1 y2 总计
x1 b 21 e
x2 c 25 33
总计 a d 106
A.96,94 B.60,52
C.52,54 D.50,52
[素养小结]
作2×2列联表时需注意:
(1)2×2列联表应该是4行4列,对涉及的变量要分清类别.
(2)计算时要准确无误.
◆ 探究点二 独立性检验在实际中的应用
例2 某市为了调研本市学生的体质情况,按性别采用分层抽样的方法进行调查,得到体质检测样本的统计数据(单位:人)如下.
优秀 良好 一般 不及格
男生 100 200 780 120
女生 120 200 520 120
(1)记体质检测结果为优秀、良好或一般的学生为体质达标,否则为体质不达标.根据所给数据,完成下面的2×2列联表.
体质达标 体质不达标 总计
男生
女生
总计
(2)依据(1)的统计结果判断,是否有95%的把握认为该市学生的体质是否达标与性别有关
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
变式 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率的作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示.
60分 以下 61~ 70分 71~ 80分 81~ 90分 91~ 100分
甲班 (人数) 3 11 6 12 18
乙班 (人数) 7 8 10 10 15
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
(1)试分析估计两个班级的优秀率;
(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并根据表中数据,判断能否有95%的把握认为加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率有帮助.
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班
总计
[素养小结]
独立性检验的步骤:
(1)列出2×2列联表.
(2)利用公式χ2=,其中n=a+b+c+d,计算随机变量χ2.
(3)发现χ2≥k,P(χ2≥k)=α,就推断“A与B有关”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“A与B有关”,或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“A与B有关”.
1.用独立性检验考查两个事件A,B是否有关时,随机变量χ2的值 ( )
A.越大,“A与B有关”成立的可能性越大
B.越大,“A与B有关”成立的可能性越小
C.越小,“A与B有关”成立的可能性越大
D.与“A与B有关”成立的可能性无关
2.[2024·江西九江高二期末] 某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球,按照男女区分得到2×2列联表,经计算得χ2=8.133.根据独立性检验的相关知识对照下表,则认为是否喜欢篮球与性别有关这一判断犯错误的概率为 ( )
α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
A.5% B.0.5%
C.1% D.0.1%
3.下面是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为 ( )
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 7 20 27
总计 b 41 100
A.94,96 B.52,40
C.52,59 D.59,52
4.[2023·山东滨州高二期末] 手机给人们的生活带来便捷,但同时也对中学生的生活和学习造成了一定的影响.某校几个学生成立研究性学习小组,就是否使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下2×2列联表,则下列说法正确的是 ( )
成绩优秀 成绩不优秀 总计
不用手机 40 10 50
使用手机 5 45 50
总计 45 55 100
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否使用手机与学习成绩无关
B.在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否使用手机与学习成绩无关
C.有99%的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响
D.没有99%的把握认为是否使用手机对学习成绩有影响4.3.2 独立性检验
1.C [解析] 因为χ2=7.213>6.635,所以有99%的把握认为两个随机事件有关.故选C.
2.C [解析] 因为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,所以有99%的把握认为“高血压与肥胖有关”,只是该结论成立的可能性为99%,与有多少个人患高血压无关,更谈不上概率,故A,B,D不正确,C正确.故选C.
3.B [解析] 由表可知,女生有21人,其中经常锻炼的有7人,频率为=,男生有19人,其中经常锻炼的有11人,频率为,因为>,所以依据频率稳定于概率的原理,可以认为学生是否经常锻炼与性别有关,故①正确,②错误;因为χ2=≈2.431<3.841,所以没有95%的把握认为学生是否经常锻炼与性别有关,故③错误,④正确.故选B.
4.C [解析] 在两个随机事件的2×2列联表中,|ad-bc|的值越小,两个随机事件有关的可能性越小.令|ad-bc|=0,得10×26=18m,解得m≈14.4,所以当m=14时,A与B有关的可能性最小.故选C.
5.C [解析] ∵在全部105人中随机抽取1人,其成绩优秀的概率为,∴成绩优秀的人数为105×=30,∴非优秀的人数为105-30=75,∴c=30-10=20,b=75-30=45,∴χ2==≈6.109>3.841,∴有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关.故选C.
6.A [解析] 因为χ2=2.974<3.841,所以没有95%的把握认为两个随机事件有关,因为χ2=2.974>2.706,所以有90%的把握认为两个随机事件有关.故选A.
7.D [解析] 对于选项A,B,C都有|ad-bc|=|10-12|=2,对于选项D,有|ad-bc|=|15-8|=7,显然7>2.故选D.
8.ABD [解析] 对于A,两个随机事件的2×2列联表中,对角线上数据的乘积相差越大,说明两个随机事件有关系成立的可能性就越大,故A正确;对于B,对随机事件X与Y的随机变量χ2来说,χ2的值越小,“X与Y有关”的可信度越低,故B正确;对于C,从独立性检验可知,有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关,不是说某人秃顶,那么他有95%的可能患有心脏病,故C错误;对于D,从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关,故D正确.故选ABD.
9.ACD [解析] 由题知,280=(280+q),p=(120+p),解得q=120,p=180,故A正确.补全2×2列联表如下:
男生 女生 总计
喜欢 280 180 460
不喜欢 120 120 240
总计 400 300 700
所以从该中学随机选一名学生,该学生喜欢阅读的概率P=≈65.7%,故B错误.χ2=≈7.609,因为6.635<7.609<10.828,所以有99%的把握认为学生是否喜欢阅读与性别有关,没有99.9%的把握认为学生是否喜欢阅读与性别有关,故C,D正确.故选ACD.
10.有 [解析] 由题意可得2×2列联表如下:
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20 4 24
语文成绩不及格 5 11 16
总计 25 15 40
因为χ2=≈11.111>6.635,所以有99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关.
11.① [解析] ∵χ2≈3.918>3.841,∴有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.故填①.
12.9 [解析] 由题意知χ2≥6.635,即=≥6.635,又因为a>5且15-a>5,a∈Z,所以a=9.
13.解:(1)由题得,2×2列联表如下.
优秀 非优秀 总计
女生 80 20 100
男生 70 30 100
总计 150 50 200
(2)因为χ2=≈2.667<2.706,所以没有90%的把握认为测试成绩是否优秀与性别有关.
14.解:(1)由2(a+2a+4a+0.2+4a+a)=1,解得a=0.025.
(2)抽取的优质棉的样本数为120×2(4a+a)=120×2×0.125=30,则抽取的非优质棉的样本数为120-30=90,则2×2列联表如下:
A试验区 B试验区 总计
优质棉 10 20 30
非优质棉 60 30 90
总计 70 50 120
因为χ2=≈10.286<10.828,
所以没有99.9%的把握认为是否为优质棉与A,B两个试验区有关.
(3)X的取值范围为{0,1,2,3},
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
15.A [解析] 由题意得2×2列联表如下,
A 总计
B 10 21 31
c 35-c 35
总计 10+c 56-c 66
则χ2=.当c=3时,χ2≈5.831>3.841;当c=5时,χ2≈3.024<3.841;当c=6时,χ2≈2.045<3.841;当c=7时,χ2≈1.292<3.841.故选A.
16.解:(1)由题意,2×2列联表如下:
喜欢 不喜欢 总计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
总计 130 70 200
因为χ2=≈8.791>6.635,
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该校学生是否喜欢羽毛球运动与性别有关.
(2)由列联表可知,该校学生喜欢羽毛球运动的频率为=,所以随机变量X~B,
所以P(X=m)=.
要使P(X=m)取得最大值,
则需
解得≤m≤,又m∈N*,所以当m=20时,P(X=m)取得最大值.4.3.2 独立性检验
一、选择题
1.若由一个2×2列联表中的数据计算得到χ2=7.213,则有 ( )
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.90%的把握认为两个随机事件有关
B.95%的把握认为两个随机事件有关
C.99%的把握认为两个随机事件有关
D.99.9%的把握认为两个随机事件有关
2.在研究肥胖与高血压的关系时,通过收集数据、整理分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是 ( )
A.在100个高血压患者中一定有肥胖的人
B.在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压
C.在100个高血压患者中可能没有肥胖的人
D.肥胖的人至少有99%的概率患有高血压
3.为了了解学生是否经常锻炼与性别的关系,某校随机抽取了40名学生进行调查,按照性别和锻炼情况整理出如下的2×2列联表.
不经常锻炼 经常锻炼 总计
女生 14 7 21
男生 8 11 19
总计 22 18 40
注:χ2=,n=a+b+c+d.
根据这些数据,给出下列四个结论:
①依据频率稳定于概率的原理,可以认为学生是否经常锻炼与性别有关;
②依据频率稳定于概率的原理,可以认为学生是否经常锻炼与性别无关;
③有95%的把握认为学生是否经常锻炼与性别有关;
④没有95%的把握认为学生是否经常锻炼与性别有关.
其中正确结论的序号是 ( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
4.两个随机事件A,B的2×2列联表如下:
B 总计
A 10 18 28
m 26 m+26
总计 10+m 44 54+m
则当m取下面何值时,A与B有关的可能性最小 ( )
A.8 B.9
C.14 D.19
5.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下表所示的列联表.
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
已知在全部105人中随机抽取1人,其成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是 ( )
A.c的值为30,b的值为35
B.c的值为15,b的值为50
C.根据列联表中的数据,有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关
D.根据列联表中的数据,没有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关
6.[2024·辽宁营口高中高二月考] 根据两个随机事件的观测数据,计算得到χ2=2.974,则( )
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有90%的把握认为两个随机事件有关
B.两个随机事件有关,这个结论犯错误的概率不超过0.05
C.没有90%的把握认为两个随机事件有关
D.两个随机事件无关,这个结论犯错误的概率不超过0.05
7.假设随机事件A与B的数据如下表:
B 总计
A a b a+b
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
对于以下数据,能说明A与B有关系的可能性最大的一组为 ( )
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5
D.a=3,b=2,c=4,d=5
8.(多选题)下列有关独立性检验的四个说法中正确的是 ( )
A.两个随机事件的2×2列联表中,对角线上数据的乘积相差越大,说明两个随机事件有关系成立的可能性就越大
B.对随机事件X与Y的随机变量χ2来说,χ2的值越小,“X与Y有关”的可信度越低
C.从独立性检验可知,有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关,我们说某人秃顶,那么他有95%的可能患有心脏病
D.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关
9.(多选题)某中学为了解学生是否喜欢阅读与性别的关系,为此对学生是否喜欢阅读进行普查,得到下表.
男生 女生 总计
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
总计 280+q 120+p 400+p+q
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
已知男生喜欢阅读的人数占男生人数的,女生喜欢阅读的人数占女生人数的,则下列说法正确的是 ( )
A.q=120,p=180
B.从该中学随机选一名学生,该学生有90%的可能喜欢阅读
C.有99%的把握认为学生是否喜欢阅读与性别有关
D.没有99.9%的把握认为学生是否喜欢阅读与性别有关
二、填空题
10.某中学统计了一个班40名学生中每名学生的英语成绩和语文成绩,并制成了一个不完整的2×2列联表,如下:
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20
语文成绩不及格 11
总计 25 40
则 (填“有”或“没有”)99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关.
11.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒次数进行统计,并利用2×2列联表计算得χ2≈3.918,对此四名同学给出了以下说法:
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;
②若某人未使用该血清,则他在一年中有95%的可能性得感冒;
③这种血清预防感冒的有效率为95%;
④这种血清预防感冒的有效率为5%.
其中正确说法的序号是 .
12.有两个随机事件X和Y,其中一组统计数据的2×2列联表如下.
Y 总计
X a 15-a 15
20-a 30+a 50
总计 20 45 65
其中a,15-a均为大于5的整数,则当a= 时,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X与Y有关”.
三、解答题
13.某校组织了团史知识测试,测试成绩分为优秀与非优秀两个等级.随机抽查了高一年级、高二年级各100名学生的测试成绩,统计数据如下表.
高一年级成绩
优秀 非优秀
女生 36 14
男生 32 18
高二年级成绩
优秀 非优秀
女生 44 6
男生 38 12
(1)根据给出的数据,完成下面的2×2列联表:
优秀 非优秀 总计
女生
男生
总计
(2)根据(1)中列联表,判断能否有90%的把握认为测试成绩是否优秀与性别有关
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
14.[2023·江苏徐州高二期末] 某棉纺厂为了解一批棉花的质量,在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本,测量每个样本棉花的纤维长度(单位:mm,纤维长度是棉花质量的重要指标),所得数据均在区间[20,32]内,从20开始,组距为2确定计数区间,制作成如图所示的频率分布直方图,其中纤维长度不小于28 mm的棉花为优质棉.
(1)求频率分布直方图中a的值.
(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A,B两个试验区,部分数据如下:
A试验区 B试验区 总计
优质棉 10
非优质棉 30
总计 120
将2×2列联表补充完整.判断能否有99.9%的把握认为是否为优质棉与A,B两个试验区有关
(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个,其中有X个是优质棉,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15.两个随机事件A,B的样本频数如下表,其中a=10,b=21,c+d=35.若有95%的把握认为A与B有关,则c的值可以为 ( )
A
B a b
c d
A.3 B.7
C.5 D.6
16.[2024·海南三沙高二期末] 某校准备开设羽毛球兴趣班,在全校范围内采用简单随机抽样的方法分别抽取了男生和女生各100名作为样本,调查学生是否喜欢羽毛球运动,经统计,得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图,填写下列2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该校学生是否喜欢羽毛球运动与性别有关
喜欢 不喜欢 总计
男生
女生
总计
(2)已知该校男生与女生人数相同,将样本的频率视为概率,现从全校学生中随机抽取30名学生,设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X,求P(X=m)取得最大值时m(m∈N*)的值.
附:
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
