滚动习题(三)
1.C [解析] 对于A,若E(X)=1,则E(2X-1)=2×1-1=1,故A中说法正确;对于B,若D(X)=1,则D(2X-1)=1×22=4,故B中说法正确;对于C,若X~N(2,4),则E(X)=2,故C中说法错误;对于D,若X~B(10,0.5),则E(X)=10×0.5=5,故D中说法正确.故选C.
2.D [解析] 由分布列可得E(X)=0.4a+0.2(a+1)+0.4(a+2)=a+1,则D(X)=0.4(a-a-1)2+0.2(a+1-a-1)2+0.4(a+2-a-1)2=0.8.故选D.
3.D [解析] 方法一:设第1次取到白球为事件A,第2次取到黑球为事件B,则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==.故选D.
方法二:盒中共有10个球,其中3白、7黑,在第1次取到白球的条件下,盒中还有2白、7黑共9个球,从中任取1个球,取到黑球的概率P=.故选D.
4.A [解析] 由题意得,随机变量ξ的取值范围为{0,1,2},则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.故选A.
5.B [解析] 由题知X~N(76,20.25),则μ=76,σ2=20.25,所以σ=4.5,所以71.5=μ-σ,85=μ+2σ,则P(71.5≤X≤85)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.341 5+0.477=0.818 5,所以考试成绩在区间[71.5,85]内的人数约为32 000×0.818 5=26 192.故选B.
6.C [解析] 样本空间包含的样本点有=10(个),中奖包含的样本点有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4个,所以每次抽奖中奖的概率为.设5名同学中中奖的人数为X,则X~B,所以P(X=3)=××=.故选C.
7.AC [解析] 由已知得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,函数g(x)的图象关于直线x=-0.5对称,所以P(X>1)=P(Y<-0.5),故A正确;由函数f(x),g(x)的解析式可知,σ1=1,σ2=0.6,故B错误;P(X>2)=P(X>μ+σ)≈=0.158 5,故C正确;P(0.7
8.AC [解析] 设事件A1为小王同学第一天去甲游乐场,事件A2为小王同学第二天去甲游乐场,事件B1为小王同学第一天去乙游乐场,事件B2为小王同学第二天去乙游乐场,则P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A正确;P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B不正确;因为P(A2|A1)==0.6,P(A2|B1)==0.5,所以P(A2)P(A1|A2)=0.24,P(A2)P(B1|A2)=0.3,所以P(B1|A2)==,故C正确;P(A1|B2)====,故D不正确.故选AC.
9.0.001 5 [解析] 因为P(X2-4X+3≤0)≈0.683,所以P(1≤X≤3)≈0.683,所以2-σ=1,即σ=1,所以P(-1≤X≤5)≈0.997,所以P(-1≤X≤2)≈=0.498 5,所以P(X<-1)=0.5-0.498 5=0.001 5.
10. [解析] 由题知P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.
11.2 [解析] 设该射手每次射击击中目标的概率为p(012.解:(1)若乙在初赛三关一关都没有通过或只通过一关,则被淘汰,则乙在初赛阶段被淘汰的概率P=××+××+××+××=.
(2)由题意,X的取值范围为{0,1,2,3,4},
所以P(X=0)==,P(X=1)=××=,P(X=2)=×××=,
P(X=3)=×+×××=,
P(X=4)=×=,则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(3)甲闯关成功的概率P1=×+×××=,乙闯关成功的概率P2=×=.
显然P1>P2,所以甲更有可能闯关成功.
13.解:(1)设“从1号箱中第1次取到红球”为事件A,“从1号箱中第2次取到红球”为事件B,则P(A)==,P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=,
所以第1次取到红球且第2次仍取到红球的概率为.
(2)设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件C,“从1号箱中取出2个红球”为事件B1,“从1号箱中取出1个红球和1个白球”为事件B2,“从1号箱中取出2个白球”为事件B3,则事件B1,B2,B3两两互斥.
P(B1)==,P(B2)==,
P(B3)==,P(C|B1)==,
P(C|B2)==,P(C|B3)=,
所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=.
所以取出的这个球是红球的概率为.
14.解:(1)设该顾客实付金额为X元,则X的取值范围为{0,100,200,300},P(X=0)==,P(X=100)=××=,P(X=200)=××=,P(X=300)==,所以X的分布列为
X 0 100 200 300
P
所以E(X)=0×+100×+200×+300×=240.
(2)若选择方案一,设摸到红球的个数为Y,实付金额为φ,则φ=500-100Y,由题意可得 Y~B,故E(Y)=3×=,所以E(φ)=E(500-100Y)=500-100E(Y)=500-60=440.
若选择方案二,设实付金额为η元,则η的取值范围为{0,250,375,500},P(η=0)==,P(η=250)==,P(η=375)==,P(η=500)=1---=,所以η的分布列为
η 0 250 375 500
P
所以E(η)=0×+250×+375×+500×≈466.67.因为E(φ)一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·武汉高二期末] 对于随机变量X,下列说法中错误的是 ( )
A.若E(X)=1,则E(2X-1)=1
B.若D(X)=1,则D(2X-1)=4
C.若X~N(2,4),则E(X)=4
D.若X~B(10,0.5),则E(X)=5
2.[2024·浙江温州高二期末] 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X a a+1 a+2
P 0.4 0.2 0.4
则D(X)= ( )
A.0.4+a B.0.8+a
C.0.4 D.0.8
3.[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 已知盒中装有大小一样,形状相同的3个白球与7个黑球,每次从中任取1个球并不放回,则在第1次取到白球的条件下,第2次取到的是黑球的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.10件产品中有3件是次品,从中任取2件,设ξ表示取到次品的件数,则E(ξ)= ( )
A. B. C. D.1
5.[2023·重庆十八中高二期末] 某市小学五年级期末考试有32 000人参加,他们的语文成绩X近似服从正态分布N(76,20.25),则语文成绩在区间[71.5,85]内的人数约为 ( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954.
A.21 856 B.26 192
C.30 528 D.31 904
6.[2023·重庆八中高二月考] 元宵节是中国非常重要的传统节日,某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同的小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则中奖.若有5名同学参与此活动,则恰好3人中奖的概率是 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.若随机变量X,Y的概率密度函数分别为f(x)=,g(x)=,f(x),g(x)的图象如图所示,X~N(μ1,),Y~N(μ2,)(σ1>0,σ2>0),则下列结论正确的是 ( )
A.P(X>1)=P(Y<-0.5)
B.σ1<σ2
C.P(X>2)≈0.158 5
D.P(0.78.[2024·江西师大附中高二期末] 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两个游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.6;如果他第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.5.则小王同学 ( )
A.第二天去甲游乐场的概率为0.54
B.第二天去乙游乐场的概率为0.44
C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为
D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2023·河北邢台高二期末] 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X2-4X+3≤0)≈0.683,则P(X<-1)= .
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)
10.[2023·天津河北区高二期中] 一盒子装有4件产品,其中有3件一等品,1件二等品.从中不放回地抽取两次,每次任取1件,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,则P(B|A)= .
11.某射手每次射击击中目标的概率固定,他准备进行n(n∈N*)次射击,将他击中目标的次数记为X,已知P(X=1)=P(X=n-1)且E(X)=4,则D(X)= .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段,甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关,每关参赛者都必须参与,甲通过每关的概率均为,乙通过每关的概率依次为,,.初赛三关至少通过两关才能够参加复赛,否则直接淘汰.在复赛中,甲、乙过关的概率分别为,.若初赛和复赛都通过,则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响.
(1)求乙在初赛阶段被淘汰的概率;
(2)记本次闯关游戏甲通过的关数为X,求X的分布列;
(3)试通过计算概率,判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.
13.(15分) 已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,所有球的大小、形状完全相同.
(1)从1号箱中不放回地取2次,每次取1个球,求第1次取到红球且第2次仍取到红球的概率;
(2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中,再从2号箱中任取1个球,求取出的这个球是红球的概率.
14.(15分)[2023·四川阆中中学高二月考] 国庆节期间,某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动,顾客消费满300元(含300元) 可抽奖一次, 抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种).
方案一:从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个, 黑球4个)的抽奖盒中,有放回地摸出3个球,每摸出1次红球,立减100元.
方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个,白球1个,黑球7个)的抽奖盒中, 不放回地摸出3个球.中奖规则为:若摸出2个红球,1个白球,则享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球,则打5折;若摸出1个红球,1个白球和1个黑球,则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元,选择抽奖方案一,求他实付金额的分布列和数学期望.
(2)若顾客消费500元,试从实付金额的期望分析顾客选择何种抽奖方案更合理