单元素养测评卷(二)A
1.C [解析] A中,取到产品的件数是一个常量而不是变量,B,D中的量也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.故选C.
2.D [解析] 因为变量x增大,变量y大体上减少,所以变量x和y负相关;因为变量u增大,变量v大体上增大,所以变量u和v正相关.故选D.
3.B [解析] 记A1表示种植一等麦种,A2表示种植二等麦种,B表示所结麦穗含有50粒以上麦粒,依题意,P(A1)=0.8,P(A2)=0.2,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B.
4.C [解析] 因为6.635<8.249<10.828,所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄有关”.故选C.
5.B [解析] 设事件A为“某种动物由出生算起活到20岁”,事件B为“某种动物由出生算起活到25岁”,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,显然AB=B,即P(AB)=P(B),所以P(B|A)====0.5.故选B.
6.B [解析] 由题意得P(X>5.5)=0.5,则P(5.57.B [解析] 用事件A表示丢失1箱后任取2箱都是英语书,用事件Bk表示丢失的1箱书籍为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书,则P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=,P(B1|A)===÷=.故选B.
8.A [解析] 在不超过四局的比赛中甲获得冠军包含两种情况:①甲前三局全胜,其概率P1==;②前三局甲两胜一负,第四局甲胜,其概率P2=×××=.故在不超过四局的比赛中甲获得冠军的概率P=P1+P2=+=.故选A.
9.BCD [解析] 对于A,因为样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,所以数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为2×22=8,所以A错误;对于B,因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.79,所以P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=1-0.79=0.21,所以B正确;对于C,因为随机变量ξ~B,所以E(ξ)=4×=1,所以E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=5,所以C正确;对于D,由题意得-2.8=0.3m-m,解得m=4,所以D正确.故选BCD.
10.AD [解析] 由题意可得,每次取到白球的概率为,则4次取球的总分数X服从参数为4,的二项分布,即X~B,故A正确;P(X=2)=××=,故B错误;E(X)=4×=,故C错误;D(X)=4××=,故D正确.故选AD.
11.BCD [解析] 对于A,第1次摸到红球的概率为,故A错误;对于B,不放回地摸球2次,则在第1次摸到红球的条件下第2次摸到红球的概率P==,故B正确;对于C,有放回地摸球3次,则仅有前2次摸到红球的概率为××=,故C正确;对于D,有放回地摸球3次,则恰有2次摸到红球的概率为××=,故D正确.故选BCD.
12.2ln 2+2 [解析] 由z=ln y,得ln y=ln(2e2x+1),即z=ln 2+ln e2x+1=ln 2+2x+1,故m=2,n=ln 2+1,所以mn=2ln 2+2.
13.0.158 5 [解析] 由题意得μ=4.38,σ=0.18,则小檗碱的含量大于4.56 g的概率为P(X>μ+σ)=≈=0.158 5.
14.3 [解析] 若口袋里有m只蓝色小球,则有(6-m)只红色小球,则从口袋中随机摸出2只小球,只有1只蓝色小球的概率P===,整理得m2-6m+9=0,解得m=3,即口袋里有3只蓝色小球,有3只红色小球.从口袋中随机摸出3个小球,X的取值范围为{0,1,2,3},所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,则E(X)=0×+1×+2×+3×=.
15.解:(1)由已知得χ2==≈8.889,
∵8.889>6.635,∴在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为是否喜欢打羽毛球与性别有关.
(2)若从40名员工中按性别比例分层抽样选取8人,
则选取的8人中男员工的人数为×8=2,女员工的人数为×8=6,
∴X的取值范围为{0,1,2},P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
16.解:(1)当运动员甲选择方案一时,若甲的得分不低于60分,则甲至少要完成2个传统运动项目,故甲的得分不低于60分的概率P=××+=.
(2)若运动员乙选择方案一,则乙完成的运动项目的个数X~B,
所以乙最后得分的数学期望为30E(X)=30×3×=45.
若乙选择方案二,则乙最后得分Y的取值范围为{0,30,40,70,90,120},
P(Y=0)=×=,P(Y=30)=×=,P(Y=40)=2×××=,
P(Y=70)=2×××=,P(Y=90)=×=,P(Y=120)=×=,
所以E(Y)=0×+30×+40×+70×+90×+120×=,因为<45,所以运动员乙应该选择方案一.
17.解:(1)由题得r==≈0.991,∵r>0.75,∴可以认为y与x有较强的线性相关关系.
(2)∵==≈1.27,∴=-≈-30.95,∴y关于x的回归直线方程为=1.27x-30.95.
(3)当x=160时,=1.27×160-30.95≈172,故估计冶炼时间为172 min.
18.解:(1)由题意知=(45+95)×0.1+(55+85)×0.15+65×0.2+75×0.3=70.5,所以这4000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.
(2)依题意知,Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ==70.5,σ2=s2=204.75,所以σ≈14.3.
①因为P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈P(56.2≤Z≤84.8)≈0.683,
所以P(Z>84.8)≈=0.158 5,所以车速大于84.8千米/时的车辆数的估计值为0.158 5×10 000=1585.
②该公路上一辆机动车的行车速度不大于84.8千米/时的概率约为1-0.158 5=0.841 5,而X~B(10,0.841 5),
所以E(X)=10×0.841 5=8.415.
19.解:依题意知,这4个人中每个人去甲地的概率均为,去乙地的概率均为.设“这4个人中恰有i人去甲地”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=××.
(1)这4个人中恰有2个人去甲地的概率P(A2)=××=.
(2)设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B,则B=A3∪A4,因为A3与A4互斥,所以P(B)=P(A3)+P(A4)=××+×=,所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为.
(3)ξ的取值范围为{0,2,4},则P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,所以ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0×+2×+4×=.单元素养测评卷(二)A
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是 ( )
A.取到产品的件数 B.取到正品的概率
C.取到次品的件数 D.取到次品的概率
2.若变量x的取值为3,4,5,6,7时,变量y对应的值依次为4,2.5,-0.5,-1,-2;若变量u的取值为1,2,3,4时,变量v对应的值依次为2,3,4,6,则变量x和y,变量u和v的相关关系是 ( )
A.变量x和y正相关,变量u和v正相关
B.变量x和y正相关,变量u和v负相关
C.变量x和y负相关,变量u和v负相关
D.变量x和y负相关,变量u和v正相关
3.某批麦种中,一等麦种占80%,二等麦种占20%,等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ( )
A.0.48 B.0.52 C.0.56 D.0.65
4.为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关,随机抽取部分A品牌手机使用者和B品牌手机使用者进行统计,统计结果如下表.
A品牌 B品牌 总计
30岁以上 40 20 60
30岁以下(含30岁) 15 25 40
总计 55 45 100
根据表格计算得χ2≈8.249,据此判断下列结论正确的是( )
A.没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄有关”
B.可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄有关”
C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄有关”
D.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄无关”
5.已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.32
6.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位:小时),且X~N(5.5,σ2),P(X>6)=0.2.现从该社区中随机抽取三名居民,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为( )
A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748
7.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱书籍,但不知丢失的是哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的1箱书籍也是英语书的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多年的历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局),假设每局比赛乙胜甲的概率都为,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过四局的比赛中甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·江苏徐州七中高二月考] 下列说法正确的是 ( )
A.若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为16
B.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.79,则P(ξ≤-2)=0.21
C.若随机变量ξ~B,则E(2ξ+3)=5
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线方程为=0.3x-m,若回归直线恒过点(m,-2.8),则m=4
10.袋子中有3个黑球,2个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取1个球,取到白球记1分,取到黑球记0分,记4次取球的总分数为X,则 ( )
A.X~B B.P(X=2)= C.E(X)= D.D(X)=
11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有3个红球,2个白球,每次从中随机摸出1个球,则下列结论中正确的是 ( )
A.若不放回地摸球2次,则第1次摸到红球的概率为
B.若不放回地摸球2次,则在第1次摸到红球的条件下第2次摸到红球的概率为
C.若有放回地摸球3次,则仅有前2次摸到红球的概率为
D.若有放回地摸球3次,则恰有2次摸到红球的概率为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图中,样本点分布在函数y=2e2x+1的图象附近,设z=ln y,将其变换后得到线性方程z=mx+n,则mn= .
13.小檗碱是从中药黄连中分离的一种生物碱,是黄连抗菌的主要有效成分.已知某地种植的黄连中,每100 g黄连中小檗碱的含量X(单位:g)服从正态分布N(μ,σ2),从该地种植的黄连中随机抽查100份(每份100 g),得到这100份黄连中小檗碱含量的平均数为4.38,标准差为0.18.用样本估计总体,从该地种植的黄连中随机抽取1份(100 g),则这份黄连中小檗碱的含量大于4.56 g的概率为 .(参考数据:若ξ~N(μ,σ),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683)
14.一只口袋里有6只除了颜色以外完全相同的小球,其中有m只蓝色小球,其余都是红色小球,若从口袋中随机摸出2只小球,已知只有1只蓝色小球的概率是,则m= ;若从口袋中随机摸出3个小球,记红色小球的个数为X,则E(X)= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·广东阳江高二期中] 某公司为了增强员工的凝聚力,计划组织40名员工到某疗养院参加疗养活动,疗养院活动丰富多彩,其中包含羽毛球、爬山、单车、乒乓球、篮球、桌球、游泳等活动.根据前期的问卷调查,得到下列2×2列联表.
喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 总计
男员工 8 2 10
女员工 8 22 30
总计 16 24 40
(1)在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为是否喜欢打羽毛球与性别有关吗
(2)若从40名员工中按性别比例分层抽样选取8人,再从这8人中随机抽取3人参加文艺表演,记抽到男员工的人数为X,求X的分布列与数学期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16.(15分)[2023·山西大同高二期末] 某学校在50年校庆到来之际,举行了一次趣味运动项目比赛,比赛由传统运动项目和新增运动项目组成,每位参赛运动员共需要完成3个运动项目.对于每一个传统运动项目,若没有完成,得0分,若完成了,得30分.对于新增运动项目,若没有完成,得0分,若只完成了1个,得40分,若完成了2个,得90分.最后得分越多者,获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择.方案一:只参加3个传统运动项目.方案二:先参加1个传统运动项目,再参加2个新增运动项目.已知甲、乙两位运动员能完成每个传统运动项目的概率均为,能完成每个新增运动项目的概率均为,且甲、乙参加的每个运动项目是否能完成相互独立.
(1)若运动员甲选择方案一,求甲的得分不低于60分的概率.
(2)若以最后得分的数学期望为依据,请问运动员乙应该选择方案一还是方案二 说明你的理由.
17.(15分)炼钢是一个氧化降碳的过程,由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据,如下表所示:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi/0.01% 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
yi/min 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125
(1)据统计表明,y与x之间具有线性相关关系,请用相关系数r加以说明(若|r|≥0.75,则认为y与x有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系,r的值精确到0.001);
(2)求y关于x的回归直线方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)根据(2)中的结论,估计x=160时的冶炼时间(精确到1).
参考数据:=159.8,=172,(xi-)(yi-)=12 784,(xi-)2=10 087.6,(yi-)2=16 510.
附:r=, 回归直线方程=x+中, =, =-.
18.(17分)某市从A地到B地修建了公路,为了了解A地到B地公路的交通通行状况,工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的4000辆机动车,汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图,求样本中的这4000辆机动车的平均速度(同一组的数据用该组区间的中点值代表).
(2)由频率分布直方图可大致认为,该公路上机动车的行车速度Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别为样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差s2(已知s2=204.75).
①请估计该公路上10 000辆机动车中车速大于84.8千米/时的车辆数;
②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆,设车速不大于84.8千米/时的车辆数为X,求X的数学期望.
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997,≈14.3.
19.(17分)为加快推进我区城乡绿化步伐,植树节之际,某单位决定组织开展职工义务植树活动,一办公室现安排4个人去参加植树活动,该活动有甲、乙两个地点可供选择.约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树,掷出点数为1或2的人去甲地,掷出点数大于2的人去乙地.
(1)求这4个人中恰有2个人去甲地的概率;
(2)求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去甲、乙两地的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).
