单元素养测评卷(二)B
1.A [解析] 因为随机变量X服从参数为p的两点分布,所以P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,因为P(X=0)=2-5P(X=1),所以1-p=2-5p,解得p=,所以P(X=0)=1-p=.故选A.
2.B [解析] 因为所有样本点都在直线y=-2x+1上,所以回归直线方程是y=-2x+1,可得这两个变量是负相关,故这组样本数据的相关系数为负值,又所有样本点都在直线上,所以|r|=1,所以相关系数r=-1.故选B.
3.D [解析] 对于A,独立性检验是通过卡方计算来判断两个事件存在关联的可能性的一种方法,并非检验二者是否具有线性相关关系,故A错误;对于B,独立性检验并不能100%确定两个事件之间是否具有某种关系,故B错误;对于C,99%是指抽烟和患肺病存在关系的可能性,并非抽烟人中患肺病的发病率,故C错误;对于D,χ2的值越小,判定两个事件有关系犯错误的概率越大,故D正确.故选D.
4.B [解析] 因为数学成绩X近似服从正态分布N(89,132),所以μ=89,σ=13,且P(76≤X≤102)=P(89-13≤X≤89+13)≈68.3%,所以P(X≥102)=≈15.85%,因此该校数学成绩不低于102分的学生人数为800×15.85%≈127,故该学生数学成绩的年级排名大约是127名.故选B.
5.A [解析] 由已知可得,P(|A)==,因为P(A)=,所以P(A)=.又P(A)=P(AB)+P(A)=,所以P(AB)=.又P(A|B)==,所以P(B)=.故选A.
6.C [解析] 盒子中有10个灯泡,现从盒子中随机抽取4个包含的样本点个数为=210.对于A,盒子中有10个灯泡,现从盒子中随机抽取4个,则恰有1个是坏的的概率为=,故A错误;对于B,盒子中有10个灯泡,现从盒子中随机抽取4个,则4个全是好的的概率为=,故B错误;对于C,盒子中有10个灯泡,现从盒子中随机抽取4个,则恰有2个是坏的的概率为=,故C正确;对于D,盒子中有10个灯泡,现从盒子中随机抽取4个,则至多有2个是坏的的概率为=,故D错误.故选C.
7.C [解析] 记事件A为“某人患该疾病”,事件B为“化验结果呈阳性”.由题意可知P(A)=,P(B|A)==,P(B|)==,所以P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=.某人的化验结果呈阳性,则他真的患该疾病的概率是P(A|B)====.故选C.
8.C [解析] y=aebx两边取对数,可得ln y=ln(aebx)=ln a+ln ebx=ln a+bx,又函数y=aebx进行适当变换后得到的回归方程为=1-x,所以=ln y,ln a=1,b=-1,即a=e,则y=x2+bx+a即为y=x2-x+e,其图象开口向上,对称轴为直线x=,则函数y=x2+bx+a的单调递增区间为.故选C.
9.AB [解析] 由题得P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=+=,所以A正确.由+a+=1,得a=,则随机变量Y的分布列如下,
Y -1 1 3
P
E(X)=-1×+0×+1×=-,E(Y)=-1×+1×+3×=,所以E(X)+E(Y)=0,所以B正确.D(Y)=×+×+×=,所以C错误.P(Y=1)=,所以D错误.故选AB.
10.BC [解析] 对于A,因为=3-5x,所以变量x增加1个单位,y平均减少5个单位,故A错误;对于B,因为χ2=3.927>3.841,所以有95%的把握认为X与Y有关,故B正确;对于C,若χ2的值越大,则认为两个事件有关的把握就越大,故C正确;对于D,|r|越接近于1,则x,y之间的线性相关程度越高,故D错误.故选BC.
11.AC [解析] 对于A,恰好取得1件次品的概率P==,故A正确;对于B,若X~B(10,0.6),则E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4,又X+3Y=9,所以Y=3-X,则E(Y)=3-E(X)=1,D(Y)=D(X)=≠2.4,故B错误;对于C,先从五个小球中选两个使其编号与所在的盒子编号相同,有10种选法,不妨设选的是1号球和2号球,再对后面的3,4,5号球进行排列,且三个小球的编号与盒子编号都不相同,则有(5,3,4),(4,5,3)两种放法,因此共有10×2=20(种)放法,故C正确;对于D,P(B|)=1-P(|)=,P()=1-P(A)=,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=,故D错误.故选AC.
12. [解析] 一次抛掷两枚质地均匀的骰子共有36个样本点,其中出现的点数之和是3的倍数包含的样本点有12个,所以抛掷一次,出现的点数之和是3的倍数的概率P==.记抛掷n次出现的点数之和是3的倍数的次数为X,则X~B,则ξ=3X-(n-X)=4X-n.E(X)=,则E(ξ)=4E(X)-n==10,得n=30,则D(X)=30××=,故D(ξ)=42D(X)=16×=.
13.505 [解析] 设该市学生统考成绩为X,∵平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,∴X~N(480,1002).设重点学校录取分数线划在f分处,则P(X≥f)=1-P(X14. [解析] 由题意得P(A1)==,P(A2)=,P(A3)=.若A1发生,此时乙箱中有6个红球,2个白球和3个黑球,则P(B|A1)=,若A2发生,此时乙箱中有5个红球,3个白球和3个黑球,则P(B|A2)=,若A3发生,此时乙箱中有5个红球,2个白球和4个黑球,则P(B|A3)=.所以P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=×=,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=×+×+×=,故P(A2|B)==.
15.解:(1)设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A,则事件A包含甲击中9环、乙击中8环,甲击中10环、乙击中8环,甲击中10环、乙击中9环三种情况,则P(A)=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2.
(2)由题可知X的取值范围为{0,1,2,3},由(1)可知,在一场比赛中,甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,
则X~B(3,0.2),所以P(X=0)=×0.20×(1-0.2)3=0.512,
P(X=1)=×0.2×(1-0.2)2=0.384,P(X=2)=×0.22×(1-0.2)=0.096,
P(X=3)=×0.23×(1-0.2)0=0.008,故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
所以E(X)=3×0.2=0.6.
16.解:(1)由题意知r==≈≈-0.99.
(2)对=两边取对数得ln =ln +x,
设=ln ,又ω=ln y,∴=x+,==≈-0.20,易知=5,=,∴=-=+×5≈1.17,而≈-0.20,故=-0.20x+1.17,∴y关于x的非线性回归方程为=e-0.20x+1.17,即=3.22e-0.20x.
17.解:(1)设事件A为“抽取的3名学生中恰有2名学生来自高一”,则P(A)===.
(2)由题意可知X的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6},
前两道题每道题答错的概率均为1-=,后两道题每道题答错的概率均为1-=,P(X=0)=×××=,P(X=1)=××××=,P(X=2)=×××+××××=,P(X=3)=×××××=,P(X=4)=×××+××××=,P(X=5)=××××=,P(X=6)=×××=,故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员,所以张同学在本次考核中为优秀学员的概率为+=.
18.解:(1)由题得=(70×0.002 5+80×0.009+90×0.022+100×0.032+110×0.024+120×0.008+130×0.002 5)×10=100,
s2=[(70-100)2×0.002 5+(80-100)2×0.009+(90-100)2×0.022+(100-100)2×0.032+(110-100)2×0.024+(120-100)2×0.008+(130-100)2×0.002 5]×10=159.
(2)①当生产状态正常时,一个产品尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率为0.997,所以P(X≥1)=1-0.99710≈0.029 6.
②若生产状态正常,则一个产品尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为1-0.997=0.003,一天内抽取的10个产品中,发现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.029 6,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常,需要对当天的生产过程进行检查,可见这种监管生产过程方法合理.
19.解:(1)根据题意可知χ2==≈3.030,
因为P(χ2≥2.706)=0.1,3.030>2.706,
所以有90%的把握认为服用药物M对预防疾病A有效果.
(2)用E表示服用药物N后被治愈,B1表示未服用过药物M,B2表示服用过药物M,由题意可得P(B1)==0.6,P(B2)==0.4,且P(E|B1)==0.5,P(E|B2)==0.75,
则P(E)=P(B1)×P(E|B1)+P(B2)×P(E|B2)=0.6×0.5+0.4×0.75=0.6,即药物N的治愈率P=0.6=.
由已知得X的取值范围为{0,1,2,3},X~B,所以P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×=.单元素养测评卷(二)B
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,且P(X=0)=2-5P(X=1),则P(X=0)=( )
A. B. C. D.
2.[2024·江西鹰潭高二期末] 关于(x,y)的一组样本数据(1,-1),(2,-3),(3.5,-6),(5,-9),…,(30.5,-60)的散点图中,所有样本点均在直线y=-2x+1上,则这组样本数据的相关系数r为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.下列关于独立性检验的说法正确的是 ( )
A.独立性检验是对两个事件是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个事件之间是否具有某种关系
C.利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关系中,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们可以说在100个吸烟的人中,有99人患肺病
D.对于独立性检验,χ2的值越小,判定两个事件有关系犯错误的概率越大
4.[2024·湖南常德高二期末] 某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(89,132),若某学生数学成绩为102分,则该学生数学成绩的年级排名大约是( )
(附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈99.7%)
A.第18名 B.第127名
C.第245名 D.第546名
5.[2023·江苏南通高二期中] 已知随机事件A,B满足P(A)=,P(A|B)=,P(|A)=,则P(B)=( )
A. B. C. D.
6.[2024·辽宁沈阳高二期中] 盒子中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒子中随机抽取4个,那么概率是的事件为 ( )
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是坏的 D.至多有2个是坏的
7.[2024·河南南阳高二期末] 医学上用血清甲胎球蛋白法诊断某种疾病,研究表明,这种诊断方法是可能存有误差的,且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果98%呈阳性,而没有患该疾病的人其化验结果2%呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性,则他真的患该疾病的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.[2023·辽宁东北育才学校高二期末] 已知函数y=aebx进行适当变换后得到的回归方程为=1-x,则二次函数y=x2+bx+a的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B.
C. D.(1,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·福建泉州高二期末] 已知离散型随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列说法正确的有 ( )
A.P(|X|=1)= B.E(X)+E(Y)=0
C.D(Y)= D.P(Y=1)=
10.下列四个表述中,正确的是 ( )
A.设回归直线方程为=3-5x,若变量x增加1个单位,则y平均增加5个单位
B.根据事件X与Y的样本数据计算得到χ2=3.927,则有95%的把握认为X与Y有关(P(χ2≥3.841)=0.05)
C.在一个2×2列联表中,根据表中数据计算得到χ2,若χ2的值越大,则认为两个事件有关的把握就越大
D.具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,那么|r|越接近于0,则x,y之间的线性相关程度越高
11.下列说法正确的是 ( )
A.一批文具中有12件正品,4件次品,从中任取3件,则恰好取得1件次品的概率为
B.已知随机变量X,Y满足X+3Y=9,若X~B(10,0.6),则E(Y)=1,D(Y)=2.4
C.将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,4,5的盒子中,每个盒子中放一个小球,则恰有两个小球与所在盒子编号相同的放法有20种
D.已知P(A)=,P(B|A)=,P(|)=,则P(B)=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.一次抛掷两枚质地均匀的骰子,若出现的点数之和是3的倍数,则这次抛掷得分为3,否则得分为-1.抛掷n次,记累计得分为ξ,若E(ξ)=10,则D(ξ)= .
13.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为总体,设平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,若该市学生被重点学校录取的概率为40%,则重点学校录取分数线划在 分处.(附:Φ(0.25)=0.6)
14.甲、乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球,其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球,乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用A1,A2,A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球,再从乙箱中随机取出一球,用B表示从乙箱中取出的球是红球,则P(A2|B)= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·安徽合肥一六八中学高二期末] 甲、乙两人进行射击比赛,每次比赛中,甲、乙各射击一次,甲、乙每次至少射中8环.根据以往成绩,甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,0.2,0.2,且甲、乙两人射击结果相互独立.
(1)在一场比赛中,求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率;
(2)若独立进行三场比赛,记比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数为X,求X的分布列与数学期望.
16.(15分)近年来,我国大力发展新能源汽车工业,新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车,并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试,其中剩余电量y与行驶时间x(单位:小时)的9组测试数据如下:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53
如果剩余电量不足1,则电池需要充电.
(1)根据电池放电的特点,剩余电量y关于行驶时间x的非线性回归方程为=,设ω=ln y,利用表格中的9组数据求x与ω的相关系数r;(结果保留两位小数)
(2)求y关于x的非线性回归方程.(系数保留两位小数)
参考数据:≈12.07,e1.17≈3.22,e2.16≈8.67.
这9组测试数据的一些相关量见下表:
xi yi ωi (xi-)2 (yi-)2 (ωi-)2
45 12.21 1.55 60 4.38 2.43
(xi-)(yi-) (xi-)(ωi-)
-15.55 -11.98
17.(15分)某中学选拔出20名学生组成体育竞赛集训队,其中高一学生有8名,高二学生有7名,高三学生有5名.
(1)若从体育竞赛集训队中随机抽取3人参加一项体育竞赛,求抽取的3名学生中恰有2名学生来自高一的概率.
(2)现学校欲对体育竞赛集训队成员进行考核,考核规则如下:考核共4道题,前2道题答对每道题计1分,答错计0分,后2道题答对每道题计2分,答错计0分,累积计分不低于5分的学生为优秀学员.已知张同学前2道题每道题答对的概率均为,后2道题每道题答对的概率均为,是否正确回答每道题之间互不影响.记张同学在本次考核中累积计分为X,求X的分布列和数学期望,并求张同学在本次考核中为优秀学员的概率.
18.(17分)从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表).
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,为监管该产品的生产质量,每天抽取10个产品进行检测,若出现了质量指标值在[μ-3σ,μ+3σ]之外的产品,就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①假设生产状态正常,用X表示一天内抽取的10个产品中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的产品数,求P(X≥1);
②请说明上述监管生产过程方法的合理性.
附:0.99710≈0.970 4,若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈99.7%.
19.(17分)为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果,科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机抽样的样本数据,得到如下列联表:
未患病 患病 总计
未服用药物M 30 15 45
服用药物M 45 10 55
总计 75 25 100
(1)判断是否有90%的把握认为服用药物M对预防疾病A有效果.
(2)用频率估计概率,现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只,用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下:对未服用过药物M的动物治愈率为,对服用过药物M的动物治愈率为.若共选取3次,每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
