模块素养测评卷(一)
1.D [解析] 由题意可知+a+=1,可得a=,所以E(X)=-2×+(-1)×+1×=-,所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×-1=-2.故选D.
2.B [解析] ∵=,∴x+2x-4=14或x=2x-4,∴x=6或x=4,故选B.
3.A [解析] 从5名同学中选取3名同学负责教室内的地面卫生,共有=10(种)不同的安排方式.故选A.
4.D [解析] 二项式的展开式的通项为Tk+1=x6-k=(-1)kx6-2k,则含x2的项的系数为1·(-1)2-1·(-1)3=35.故选D.
5.C [解析] 由E(X)≤4得0<12p≤4,解得0
6.D [解析] 若没有限制,则5列火车有种不同的停靠方法.若火车A停在第3条轨道上,则5列火车有种不同的停靠方法.若火车B停在第1条轨道上,则5列火车有种不同的停靠方法.若火车A停在第3条轨道上,且火车B停在第1条轨道上,则5列火车有种不同的停靠方法.故符合要求的5列火车不同的停靠方法有-2+=120-48+6=78(种).故选D.
7.A [解析] 设事件A为“小唐同学周一去味园”,事件B为“小唐同学周二去味园”,则事件AB为“小唐同学周一、周二都去味园”.由题意可知P(A)=,P(B)=,且P(B|)=2P(B|A),则P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A),即=P(B|A)+P(B|A),解得P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.故选A.
8.C [解析] X1=2表示取出的1个球为黑球,P(X1=2)==,X1=3表示取出的1个球为白球,P(X1=3)==,则E(X1)=2×+3×=;X2=2表示取出的2个球均为黑球,P(X2=2)==,X2=3表示取出的2个球为一黑一白,P(X2=3)==,X2=4表示取出的2个球均为白球,P(X2=4)==,则E(X2)=2×+3×+4×=.故P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)9.ABD [解析] 若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-1,故A,B中的说法错误;|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强,故C中的说法正确,D中的说法错误.故选ABD.
10.ABD [解析] 对于A,某学生从中选三类,共有=56(种)选法,故A正确;对于B,先排除“X”“T”之外的六类课程,有种排法,再把“X”“T”插入前边六类课程形成的7个空中,有种排法,所以共有·种排法,故B正确;对于C,先排“S”“C”“T”这三类课程,有2种排列方法,将这三类课程看作一个整体与剩余课程再进行全排列,则有种排列方法,所以共有2=1440(种)排法,故C错误;对于D,分成两类,若“G”排在第一天,则有种排法,若“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天,有种方法,则共有+种排法,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] 对于A,所有可能的情况有=35(种),其中既有男志愿者,也有女志愿者的情况有+=30(种),故P(C)==,故A正确;对于B,P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)===,故B正确;对于C,易知X的取值范围为{0,1,2,3},则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=,故C错误;对于D,易知Y的取值范围为{0,1,2,3},则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,P(Y=3)==,所以E(Y2)=0×+1×+4×+9×=,E(Y)=0×+1×+2×+3×=,所以D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=-=,故D正确.故选ABD.
12.17 [解析] 当千位为3或4时,组成的四位数都比2134大,共有2=12(个)四位数;当千位为2时,百位为3或4的四位数都比2134大,共有2=4(个)四位数;当千位为2,百位为1时,只有2143比2134大,共有1个四位数.故组成的四位数比2134大的共有12+4+1=17(个).
13.1355 [解析] 根据题意可知μ=100,σ=10,所以P(90≤X≤110)≈0.683,P(80≤X≤120)≈0.954,所以P(11014. [解析] 由题意得n1,n2∈{1,2,3,4,5,6},则n1+n2∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次,共有6×6=36(个)样本点.因为二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大,所以n1+n2=4.当n1+n2=4时,满足要求的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,故甲胜的概率为=.
15.解:(1)由题得X的取值范围为{0,1,2,3,4},
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,
P(X=4)==,故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(2)依题意,三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率为
==.
16.解:(1)设在上午的该时段甲、乙、丙使用电脑的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
因为各位教师是否使用电脑是相互独立的,
所以甲、乙、丙3位教师中恰有2位教师使用电脑的概率P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
(2)电脑无法满足需求,即有4位或5位教师同时需要使用电脑,
记“有4位教师同时需要使用电脑”为事件M,“有5位教师同时需要使用电脑”为事件N,则P(M)=××=,P(N)==,故所求概率P(M∪N)=P(M)+P(N)=+=.
17.解:(1)补全2×2列联表如下.
汽车日流量 x<1500 汽车日流量 x≥1500 总计
PM2.5的平均浓度y<100 16 8 24
PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26
总计 22 28 50
由题意可知χ2=≈9.62,
查表可得P(χ2≥6.635)=0.01,因为9.62>6.635,所以有99%的把握认为“PM2.5平均浓度是否小于100”与“汽车日流量是否小于1500”有关.
(2)①因为回归直线方程为=0.12x-73.36,
所以==0.12,又因为=252,=36,
所以r==·=0.12×=0.84.因为r=0.84>0.75,所以y与x有较强的线性相关性,故该回归直线方程有价值.
②sx=252===,解得≈1528.56,又点(,)在回归直线=0.12x-73.36上,
所以≈0.12×1528.56-73.36≈110.1.
18.解:(1)设考生成绩为X,则依题意X应服从正态分布N(180,σ2),即X~N(180,σ2).令Y=,则Y~N(0,1).
由360分及其以上的高分考生有30名可得P(X≥360)=,
即P(X<360)=1-=0.985,即P=0.985.
则≈2.17,解得σ≈83.
设最低录取分数为x0,则P(X≥x0)≈P≈,
则P≈1-=0.85,所以≈1.04,
所以x0≈266.32,故最低录取分数为267分.
(2)因为286>267,所以考生甲能被录取.
P(X<286)≈P≈P(Y<1.28)≈0.90,则不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1-0.90=0.10,又2000×0.10=200,
即考生甲大约排在第200名,排在第276名之前,所以他能获得高薪职位.
19.解:(1)依题意,ξ的取值范围为{0,1,2,3},
则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)依题意,在一次游戏中,得3分的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)=.
设n次游戏中,得3分的次数为X,则X~B,
所以P(X=k)==.
若该顾客选择参与4次游戏,由3X+(4-X)≥8,得X≥2,其获奖的概率为P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=×(++)=;
若该顾客选择参与5次游戏,由3X+(5-X)≥10,得X≥,其获奖的概率为P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=×(++)=.
因为>,所以该顾客应选择完成4次游戏,才会有更大的获奖概率.模块素养测评卷(一)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.随机变量X的分布列如下表所示,则E(2X-1)= ( )
X -2 -1 1
P a
A.0 B.- C.-1 D.-2
2.能使=成立的x的值可以为 ( )
A.2或4 B.4或6 C.6或8 D.8或14
3.某值日小组共有5名同学,任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余2名同学负责教室外的走廊卫生,那么不同的安排方式的种数是 ( )
A.10 B.20 C.60 D.100
4.[2023·甘肃白银高二期末] (1-x2)的展开式中,含x2的项的系数是 ( )
A.-20 B.5 C.15 D.35
5.设随机变量X~B(12,p),p≠0,若E(X)≤4,则D(X)的最大值为 ( )
A.4 B.3 C. D.
6.有5列火车准备停在某车站并排的5条轨道上,每条轨道上停1列火车,若火车A不能停在第3条轨道上,火车B不能停在第1条轨道上,则5列火车不同的停靠方法有 ( )
A.56种 B.63种 C.72种 D.78种
7.重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明,小唐同学周一去味园的概率为,周二去味园的概率为,且小唐在周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍,则小唐同学周一、周二都去味园的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.盒中有5个小球,其中3个白球,2个黑球,从中任取i(i=1,2)个球,在取出的球中,黑球放回,白球涂黑后放回,此时盒中黑球的个数记为Xi(i=1,2),则 ( )
A.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)>E(X2)
B.P(X1=2)E(X2)
C.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)D.P(X1=2)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.为了对变量x与y的线性相关性进行检验,由样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)求得两个变量的相关系数为r,则下列说法错误的有 ( )
A.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=1
B.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-2
C.|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强
D.|r|越小,则变量x与y的线性相关性越强
10.某校以大课程观为理论基础,以关键能力和核心素养的课程为突破口,深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程,具体为学课拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P),假期里决定继续开设这八大类课程,每天开设一类且不重复,连续开设八天,则 ( )
A.某学生从中选三类,共有56种选法
B.课程“X”“T”排在不相邻的两天,共有·种排法
C.课程中“S”“C”“T”排在相邻的三天,且“C”只能排在“S”与“T”的中间,共有720种排法
D.课程“T”不排在第一天,课程“G”不排在最后一天,共有+种排法
11.某机构要从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3名志愿者作为志愿者队的队长,则下列说法正确的有 ( )
A.设事件C为“抽取的3名志愿者中既有男志愿者,也有女志愿者”,则P(C)=
B.设事件A为“抽取的3名志愿者中至少有1名男志愿者”,事件B为“抽取的3名志愿者全是男志愿者”,则P(B|A)=
C.用X表示抽取的3名志愿者中女志愿者的人数,则E(X)=
D.用Y表示抽取的3名志愿者中男志愿者的人数,则D(Y)=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数,则比2134大的四位数的个数为 .
13.[2023·哈尔滨剑桥三中高二月考] 首届国家最高科学技术奖得主,杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量,某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时,发现株高X(单位:cm)服从正态分布N(100,102),若测量10 000株水稻,则株高在(110,120]内的约有 株.
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
14. 甲、乙两位同学玩掷骰子游戏,规则如下:
(1)甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次,甲得到的点数为n1,乙得到的点数为n2;
(2)若n1+n2的值能使二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大,则甲胜,否则乙胜.
那么甲胜的概率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·长春高二期末] 四名党员教师暑假去某社区做志愿者,现将他们随机分配到A,B,C三个岗位中,每人被分配到哪个岗位相互独立.
(1)设这四名教师被分配到A岗位的人数为X,求X的分布列及数学期望;
(2)求上述三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率.
16.(15分)某办公室有5位教师,只有3台电脑供他们使用,教师是否使用电脑是相互独立的.
(1)若上午某一时段甲、乙、丙3位教师需要使用电脑的概率分别是,,,求这一时段甲、乙、丙3位教师中恰有2位教师使用电脑的概率;
(2)若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是,求这一时段办公室电脑无法满足需求的概率.
17.(15分)环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响,在某监测点统计每日过往的汽车流量x(单位:辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y(单位:μg/m3). 调研人员采集了50天的数据,制作了关于(xi,yi)(i=1,2,3,…,50)的散点图,并用直线x=1500与y=100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,落入对应区域的样本点的个数依次为6,20,16,8.
(1)完成下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“PM2.5平均浓度是否小于100”与“汽车日流量是否小于1500”有关.
汽车日流量 x<1500 汽车日流量 x≥1500 总计
PM2.5的平均 浓度y<100
PM2.5的平均 浓度y≥100
总计
(2)经计算得回归直线方程为=0.12x-73.36,且这50天的汽车日流量x的标准差sx=252,PM2.5的平均浓度y的标准差sy=36.
①求相关系数r,并判断该回归直线方程是否有价值;
②若这50天的汽车日流量x满足=1.2×108,试推算这50天的PM2.5日均浓度y的平均数.(精确到0.1)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
回归直线方程=+x中,=,=-.
相关系数r=.
若|r|≥0.75,则认为y与x有较强的线性相关性.
18.(17分)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后,考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少 自己能否被录取 能获得什么样的职位 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名员工,其中275人给予高薪职位,另25人给予普薪职位.实际报名人数为2000,考试满分为400(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是180分,360分及其以上的高分考生有30名.
(1)最低录取分数是多少 (结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位 若不能被录取,请说明理由.
附:(1)当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1).
(2)当Y~N(0,1)时,P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.90,P(Y≤1.09)≈0.862,P(Y≤1.04)≈0.85.
19.(17分)某商场为了吸引顾客,举办了一场有奖摸球游戏,该游戏的规则是:将大小相同的4个白球和4个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀,每次从箱子中随机摸出3个球,记下这3个球的颜色后放回箱子再次搅拌均匀.如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多,则该次游戏得3分,否则得1分.假设在每次游戏中,每个球被摸到的可能性都相等.
(1)设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为ξ,求ξ的分布列及其数学期望.
(2)如果顾客当天在该商场的消费满一定金额可选择参与4次或5次游戏,当完成所选择次数后的游戏的平均得分不小于2时即可获得一份奖品.若某顾客当天的消费金额满足条件,他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率 说明理由.