模块素养测评卷(二)
1.D [解析] 同时抛掷3枚硬币,正面向上的个数可能为0,1,2,3.故选D.
2.C [解析] ∵=·,∴n(n-1)(n-2)(n-3)=×4×3×2,解得n=-1(舍去)或n=6.故选C.
3.C [解析] 由X~N(3,σ2),P(X≤1)=0.2,得P(X≥5)=0.2,所以P(14.B [解析] 1.957=(2-0.05)7=27-×26×0.05+×25×0.052-…≈107.28≈107.故选B.
5.B [解析] 记事件E为“该家族某位成员出现A性状”,事件F为“该家族某位成员出现B性状”,则P(E)=,P(F)=,P(∩)=,则P(E∪F)=1-P(∩)=,因为P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(EF),所以P(EF)=P(E)+P(F)-P(E∪F)=,故所求概率为P(F|E)==×=.故选B.
6.C [解析] 用A1表示“乙球员担当前锋”,A2表示“乙球员担当中锋”,A3表示“乙球员担当后卫”,A4表示“乙球员担当守门员”,B表示“当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛输球”,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32,所以当乙球员参加某场比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68.故选C.
7.A [解析] 因为(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,(2-ax)(1+x)4的展开式中x3的系数为2,所以8-6a=2,解得a=1.故选A.
8.B [解析] 若将5人分为3,1,1的三组,则有=10(种)分组方法,需要将3人组安排接种工作,剩下的2个1人组安排登记、留观工作,有2种安排方法,则有10×2=20(种)安排方式;若将5人分为2,2,1的三组,则有=15(种)分组方法,需要将其中一个2人组安排接种工作,剩下两组安排登记、留观工作,有2×2=4(种)安排方法,则有15×4=60(种)安排方式.综上,共有20+60=80(种)不同的安排方式.故选B.
9.ABC [解析] 令x=0,得a0=2,故A正确;a5=2×(-2)5+(-2)4=16,故B正确;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3①,又a0=2,∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5,故C正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=243②,由①②得a1+a3+a5=-123,故D错误.故选ABC.
10.BC [解析] 对于A,如果4人中男生、女生各有2人,则男生的选法有=15(种),女生的选法有=6(种),则4人中男生、女生各有2人的不同选法有15×6=90(种),故A错误;对于B,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么在剩下的8人中再选2人即可,有=28(种)不同的选法,故B正确;对于C,在10人中任选4人,有=210(种)选法,甲、乙都不在其中的选法有=70(种),故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的不同选法有210-70=140(种),故C正确;对于D,在10人中任选4人,有=210(种)选法,只有男生的选法有=15(种),只有女生的选法有=1(种),则4人中必须既有男生又有女生的不同选法有210-15-1=194(种),故D错误.故选BC.
11.CD [解析] 对于A,每人都有3种选择,故共有34=81(种)旅游方案,故A错误.对于B,每个景点都有人去,则必有一个景点去了两人,另外两个景点各去一人,故有·=36(种)方案,故B错误.对于C,恰有两人所去景点相同,即有一个景点去了两人,另外两个景点各去一人,由B选项可知,事件A包含36个样本点.事件AB即为只有小张去甲景点,另外三人中有两人去了同一个景点,一人去了另一个景点,所以事件AB包含的样本点的个数为=6,所以P(B|A)==,故C正确.对于D,四人只去了两个景点,分为2种情况.第一种:有三人去了同一个景点,另外一人去了一个景点,有=24(种)方案;第二种:有两人去了同一个景点,另外两人去了同一个景点,则有·=18(种)方案.则四人只去了两个景点的概率为=,故D正确.故选CD.
12.17 36 [解析] 因为X~N(10,9),所以E(X)=10,D(X)=9.因为Y=2X-3,所以E(Y)=2E(X)-3=20-3=17,D(Y)=4D(X)=36.
13. [解析] 若函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点,则Δ=16-4ξ≥0,解得ξ≤4.因为变量ξ~B,所以所求概率P=1-P(ξ=5)=1-×= .
14.260 [解析] 因为A区域与C区域不相邻,所以可分成A,C同色与不同色两类情况.第一类:A,C颜色相同,则A,C有5种涂色方法,B有4种涂色方法,D有4种涂色方法,由分步乘法计数原理知,共有5×4×4=80(种)涂色方法;第二类:A,C颜色不同,则A有5种涂色方法,C有4种涂色方法,B有3种涂色方法,D有3种涂色方法,由分步乘法计数原理知,共有5×4×3×3=180(种)涂色方法.根据分类加法计数原理知,共有80+180=260(种)涂色方法.
15.解:(1)由题意,知==4,
==4.3,
(xi-)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,则r==≈≈0.99.
∵|r|接近1,∴y与x的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)∵===0.5,∴=- =4.3-0.5×4=2.3,∴y关于x的回归直线方程为=0.5x+2.3.
将x=10代入回归直线方程,得=0.5×10+2.3=7.3,
∴预测该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.
16.解:设事件A为“顾客买下该箱玻璃杯”,
事件Bi为“箱中恰有i件残次品,i=0,1,2”.
(1)α=P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8+0.1×+0.1×≈0.94.
(2)β=P(B0|A)=≈≈0.85.
17.解:(1)甲同学选出的2道题均能答对的概率为=.
(2)用Ai(i=1,2)表示“甲答对的题数为i”,Bj(j=0,1,2)表示“乙答对的题数为j”,C表示“甲、乙二人获得‘优秀小组’称号”.
则P(A1)==,P(A2)==,
P(B1)=××=,P(B2)==,
所以P(C)=P(A2)P(B1)+P(A1)P(B2)+P(A2)P(B2)=×+×+×=.故甲、乙二人获得“优秀小组”称号的概率为.
18.解:(1)
评价高 评价一般 总计
男居民 30 20 50
女居民 15 35 50
总计 45 55 100
∵χ2==≈9.091>6.635,
∴有99%的把握认为体验感评价与性别有关.
(2)由(1)知评价高的居民中男、女比例为2∶1,则抽取的6人中,男居民有4人,女居民有2人,∴X的取值范围为{1,2,3}.
P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E(X)=1×+2×+3×=2.
19.解:(1)由题可知==22.76,故估计该市A类社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.76吨.
(2)根据题意,μ≈22.8,σ2=27.04,即σ=5.2,
则P(X>28)=P(X>μ+σ)≈=0.158 5.因为320×0.158 5=50.72≈51,所以估计该市A类社区中“超标”社区的个数约为51.
(3)由频数分布表知,8个“超标”社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的有4个,则垃圾量在[27.5,30.5)内的“超标”社区也有4个,则ξ的取值范围为{1,2,3,4}.P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=.模块素养测评卷(二)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.同时抛掷3枚硬币,记正面向上的个数是随机变量,则这个随机变量的取值范围为 ( )
A.{3} B.{4}
C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}
2.若=·,则正整数n= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.[2024·辽宁盘锦高二期末] 已知随机变量X~N(3,σ2),P(X≤1)=0.2,则P(1A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7
4.1.957的计算结果精确到个位的近似值为 ( )
A.106 B.107 C.108 D.109
5.[2023·长春高二期末] 已知某家族有A,B两种遗传性状,该家族某位成员出现A性状的概率为,出现B性状的概率为,A,B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下,出现B性状的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加某场比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为 ( )
A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7
7.[2023·江苏徐州高二期末] 若(2-ax)(1+x)4的展开式中x3的系数为2,则a= ( )
A.1 B.-1 C.- D.2
8.某社区疫苗接种点为了更好的服务市民,决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作,每人参加1项,接种工作至少需要2人参加,登记、留观至少需要1人参加,则不同的安排方式有 ( )
A.50种 B.80种 C.140种 D.180种
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则 ( )
A.a0的值为2
B.a5的值为16
C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5
D.a1+a3+a5的值为120
10.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一个创新大赛,则下列说法正确的有 ( )
A.如果4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法
B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法
D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
11.[2023·河南洛阳高二期末] 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游,每人只去一个景点,记事件A为“恰有两人所去景点相同”,事件B为“只有小张去甲景点”,则 ( )
A.这四人不同的旅游方案共有64种
B.每个景点都有人去的方案共有72种
C.P(B|A)=
D.四人只去了两个景点的概率是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2023·辽宁葫芦岛一中高二期末] 已知X~N(10,9),随机变量Y=2X-3,则E(Y)= ,D(Y)= .
13.设随机变量ξ~B,则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是 .
14.如图所示,用5种不同的颜料给图中四块区域(A,B,C,D)涂色,要求相邻的两块区域颜色互异,则满足要求的涂色方法共有 种.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x(单位:年)与失效费y(单位:万元)的统计数据如下表所示:
使用年限x 1 2 3 4 5 6 7
失效费y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(2)求出y关于x的回归直线方程,并预测该种机械设备使用10年的失效费.
参考数据:(xi-)(yi-)=14,(yi-)2=7.08,≈14.1.
16.(15分)玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意查看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回.试求:
(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率α;
(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中无残次品的概率β.(结果保留两位小数)
17.(15分)[2023·武汉洪山中学高二月考] 某班组织了一次“航空知识竞赛”活动,竞赛规则是:两人一组,两人分别从3道题中不放回地依次随机选出2道题回答,若两人答对题数合计不少于3题,则称这个小组为“优秀小组”.现甲、乙两位同学报名组成一组,已知3道题中甲同学能答对的题有2道,乙同学答对每道题的概率均为,并且甲、乙两人选题过程及答题结果互不影响.
(1)求甲同学选出的2道题均能答对的概率;
(2)求甲、乙两人获得“优秀小组”称号的概率.
18.(17分)[2023·广西桂林高二期末] 下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果(单位:人).
评价高 评价一般 总计
男居民 30
女居民 35
总计 45 100
(1)完善上述表格数据,试问是否有99%的把握认为体验感评价与性别有关
(2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人进行深度调查,记进行深度调查的男居民的人数为X,求X的分布列与期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.05
k 2.706 3.841 6.635 7.879
19.(17分)某市在本市人口在两万左右的A类社区(全市共320个)中随机抽取了50个进行调查,统计这50个社区某天产生的垃圾量(单位:吨),得到如下频数分布表,并将这一天产生的垃圾量超过28吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量 [12.5, 15.5) [15.5, 18.5) [18.5, 21.5) [21.5, 24.5) [24.5, 27.5) [27.5, 30.5) [30.5, 33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)估计该市A类社区这一天产生的垃圾量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若该市A类社区这一天产生的垃圾量X大致服从正态分布N(μ,27.04),其中μ近似为50个样本的平均值(精确到0.1),估计该市A类社区中“超标”社区的个数;
(3)根据原始样本数据,在抽取的50个社区中,这一天共有8个“超标”社区,市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源,设其中垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
附:若X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
