(共58张PPT)
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
探究点一 已知数列的前几项写出数列的一个通项公式
探究点二 根据数列的通项公式判断数列中的项
探究点三 判断数列的单调性问题
探究点四 数列中的最值问题
【学习目标】
1.根据数列与集合之间的区别与联系,理解数列的概念及其表示法；
2.通过观察具体数列,分析、归纳数列的项的变化规律,认识数列的通
项公式；
3.用函数的观点来解释数列的有关问题,加深对数列本质的认识.
知识点一 数列的概念及一般形式
1.
一定次序
每一个数
项数
2.根据项的个数分类:
类别 含义
有穷数列 项数______的数列,最后一项称为这个数列的末项
无穷数列 项数______的数列
有限
无限
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）李萍从6岁到18岁每年生日那天测量体重，所测得的体重依次
排成一列数，可以构成数列.
( )
√
[解析] 这一列数是有确定顺序的,所以可以构成数列.
（2）所有自然数能构成数列. ( )
√
[解析] 可以将所有自然数按从小到大的顺序排列.
（3）同一个数在数列中可能重复出现. ( )
√
[解析] 数列中的数可以重复出现.
（4）数列1,2,3,4， ， 是无穷数列. ( )
×
[解析] 数列1,2,3,4， ，共有 项，是有穷数列.而数列1,2,3,4,
,， 是无穷数列.
2.数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1是同一个数列吗
解：不是同一个数列.虽然这两个数列都是由相同的6个数组成的,
但是6个数的排列顺序不一样,故不是同一个数列.
3.与 的含义是否相同
解：与的含义是不同的.表示数列,,, ,, ,
而 是数列的第 项.
知识点二 数列的通项公式
1.定义：如果数列的第___项____与___之间的关系可以用
来表示,其中是关于 的不含其他未知数的表达式，则称这个关
系式为这个数列的一个通项公式.
2.数列的通项公式的作用：（1）求数列中的任意一项;（2）检验某
数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式具有双重身份,它既表示了数列的第___项,又是这个
数列中各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的______
关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数 就可求出数
列的_______.
函数
第项
【诊断分析】
1.所有数列都有通项公式吗
解：并不是所有数列都有通项公式.例如的近似值，精确到1, ,
, 所构成的数列1,,,, 就没有通项公式.
2.如果一个数列有通项公式,那么通项公式唯一吗
解：不一定唯一.有些数列的通项公式可以用不同的形式表示，
如数列,1,,1, 的通项公式可以写成 ,也可以写成
还可以写成 等.
知识点三 数列与函数的关系
1.函数与数列的关系
函数 数列
定义域 ________________
解析式
值域 自变量从小到大依次取________
值时对应的函数值
表示方法 解析式法、列表 法、图象法 通项公式（解析式法）、列表法
（列举法）、图象法
正整数集的子集
正整数
2.按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
摆动数列 一个数列，若至少有3项且从第2项起，有些项大于它
的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列就称
为摆动数列
大于
小于
相等
【诊断分析】
1.函数和通项公式 有什么本质区别？
解：变量的取值不同，函数中的 ，通项公式
中的 .
2.给出下列两个数列的通项公式,判断它们是递增数列还是递减数列.
（1） ;
解：是递增数列.因为 ,
所以,故 是递增数列.
（2） .
解：是递减数列.因为,且,所以 ,
故 是递减数列.
探究点一 已知数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下面各数列 的一个通项公式,使它的前几项分别是下列
各数：
（1）,,,, , _____;
[解析] 注意前四项中有两项的分子为4,不妨把各项的分子统一为4,
即为,,,, ,可以发现相邻两项的分母相差3,所以 .
（2），,,, ， ________；
[解析] 数列中每一项的分母依次为从1开始的奇数，可用 表示，
分子的前一部分依次是从2开始的自然数的平方，可用 表示，
分子的后一部分依次是从1开始的自然数的相反数，可用 表示.
综上，该数列的一个通项公式为 .
（3）,7,,19, ， ______________；
[解析] 各项的符号可通过 表示,从第2项起，每一项的绝对值比
它前一项的绝对值大6，
故该数列的一个通项公式为 .
（4）7,77,777, , ___________;
[解析] 把各项除以7,得1,11,111, ,再乘9,得9,99,999, ,
所以 .
（5）0,3,8,15,24, , _______;
[解析] 因为，，， ，
，所以 .
（6）1，，，， ， _____.
[解析] 因为数列1，，，， 可表示为，， ，
， ，
所以该数列的一个通项公式为 .
变式（1） [2023·安徽淮北师大附中高二月考]数列，3， ，1
5， 的一个通项公式可以是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
[解析] 各项的符号可以通过表示，
因为 ，，，， ，
所以该数列的一个通项公式为， .故选A.
√
（2）（多选题）[2023·湖南衡阳高二期
末] 已知数列 的前5项可以用下图表
示，则 的通项公式可能为( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A，， ，
， ，
，满足题意，故A正确；
对于B，， ，
，， ，
满足题意，故B正确；
对于C，， ，
， ，
，满足题意，故C正确；
对于D， ，不满足题意，
故D错误.
故选 .
［素养小结］
根据数列的前几项写通项公式的具体思路：
（1）先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
（2）分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律
与对应序号间的关系.
（3）对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用 或
处理符号.
（4）对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
探究点二 根据数列的通项公式判断数列中的项
［提问］ 如何求数列中的指定项 以及判断某数是否为该数列
中的项？
解：求出数列的通项公式，令，即可求出指定项 .
假设某数是该数列中的项，代入通项公式中，解关于的方程，
若求出的 的值为正整数，则说明该数为该数列中的项，
否则该数不是该数列中的项.
例2 [2023·广西钦州高二期末] 在数列 中，
（1）试写出这个数列的第3项和第4项．
解：由已知得， .
（2）判断和 是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项;若
不是,说明理由.
解：当为奇数时，；
当 为偶数时， .
令，解得，又5为奇数，所以 是该数列的第5项；
令，则无解，故 不是该数列中的项.
变式（1） 如图所示是一系列有机物的结构简图，图中的黑点表示
原子，两黑点间的短线表示化学键，按图中结构第100个图的化学键
和原子的个数之和为_____.
903
[解析] 图①中有6个化学键和6个原子，图②中有11个化学键和10个
原子，图③中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第100个图有 （个）化学键和 （个）
原子，所以第100个图的化学键和原子的个数之和为 .
（2）[2024·黑龙江牡丹江高二期末] 某种细胞分裂时，由 1 个分裂
成 2 个，2个分裂成 4 个， ，这样一个细胞分裂___次以后，得
到的细胞个数是128．
7
[解析] 由题知经过次分裂后，得到的细胞个数是 ，
令，解得 .
［素养小结］
（1）数列的通项公式给出了第项与它的序号 之间的关系，只
要用序号代替公式中的 ，就可以求出数列的相应项.
（2）判断某数是否为该数列中的项，需先假定它是该数列中的项，
列方程求解.若方程的解为正整数，则该数是该数列中的项；若方程
无解或解不是正整数，则该数不是该数列中的项.
探究点三 判断数列的单调性问题
［提问］ 如何判断一个数列的单调性 你有哪些方法
解：一种方法是用定义进行判断,比较任意相邻两项之间的大小关系,
而大小关系的确定可以采用差值比较法,也可以采用商值比较法；
另一种方法是画出数列的图象,观察其单调性.
例3（1） 已知数列的通项公式是,那么数列 是
( )
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
[解析] 由,可得 ,
所以 是递增数列，故选A.
√
（2）[2023·安徽淮北师大附中高二月考]已知数列 满足
，且数列 是递增数列，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为数列是递增数列，所以， ，
，解得 .故选C.
√
变式 下列数列是递减数列的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A，，显然 为递增数列；
对于选项B，，显然 为递减数列；
对于选项C，，，
则 不是递减数列；
对于选项D，，,则 不是递减数列.故选B.
√
［素养小结］
（1）数列的单调性常通过比较数列中任意相邻两项的大小来判断，
常用方法是定义法、作差法和作商法.
（2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，先是把数列的单调性
转化为相邻两项的大小关系，如数列 是递增（递减）数列转化
为 恒成立，再把不等式恒成立问题转化为最值
问题来解决，或由数列的函数特征，通过构造变量的不等关系，解
不等式（组）来确定变量的取值范围.
（3）对于通项公式较复杂的数列问题，采用“特值探路”，再利用数
列的单调性求解.
探究点四 数列中的最值问题
［提问］ 求解数列中的最值,有哪些常见的方法
解：（1）利用数列的单调性;（2）利用图象法.
例4 已知数列的通项公式为 .试问该数列有
没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
解： .
当时, ;
当时, ;
当时, .
故数列的第8项和第9项为最大项,且 .
变式 [2023·浙江绍兴高二期末] 数列 ( )
A.既有最大项，又有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.既无最大项，又无最小项
[解析] ，，根据指数函数 的单调性可知，
数列在， 时为递减数列且各项均为负数，
在, 时为递减数列且各项均为正数，
故该数列的最小项为第10项，最大项为第11项．故选A.
√
［素养小结］
求数列中的最值问题意在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的核
心素养，求解的关键：
（1）利用数列的单调性确定数列的最值，当数列 不单调时，还
需解不等式（或 ）来确定数列递增
（递减）的范围，也可解不等式（或 ）来确定数列
递增（递减）的范围，此时一定要注意 的取值符号.
（2）利用解不等式组来确定数列的最值，即设数列的第
（）项是最大（小）项，则
（），求出 的正整数解即得最大（小）项.
1.下列说法正确的是( )
A.数列的第项为
B.数列0,2,4,6,8, 可记为
C.数列1,0,,与数列, ,0,1是相同的数列
D.数列1,3,5,7可表示为
√
[解析] 数列的第项为,故A正确；
数列0,2,4,6,8, 中的第1项无法用 表示，故B错误；
数列中各项之间是有序的，所以数列1,0,,与数列， ，0，1
是不同的数列，故C错误；
，3，5， 表示的是一个集合，而非数列，故D错误.故选A.
2.数列,,,,…的通项公式可能为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，，, ，
所以其通项公式可能为 .故选D.
√
3.已知数列的通项公式为 ，则72是这个数列的( )
A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项
[解析] 令，整理得,
解得 或 （舍去），所以72是这个数列的第8项.故选A.
√
4.数列的通项公式为，若 是
递减数列，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一： 数列是递减数列，对任意
恒成立，
对任意 恒成立，
可得对任意恒成立.
数列是递增数列，
当时，取得最小值6， .故选C.
方法二：因为函数 的图象开口向下，对称轴的方
程是，
所以若数列是递减数列，只需，解得 .故选C.
5.[2023·湖南株洲高二期末] 已知数列1，2，3，5，8， ，则89是
该数列的第____项.
10
[解析] 由题意可得，该数列从第3项起，每一项等于前两项的和，
所以这个数列为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， ，
所以89是该数列的第10项.
1.数列的函数背景
（1）数列的有关概念、性质只是函数的相应概念、性质在自变量
下的体现;
（2）分段函数思想在数列中的表示;
（3）在数列的问题中,应重视函数思想的渗透,把函数概念、图象、
性质有机地融入到数列中.
2.数列的简单表示
（1）数列的列举表示,例如数列4,5,6, ;
（2）数列的通项公式表示,例如数列1，3，5， 可用
表示数列的第 项.
3.数列的图象
在直角坐标系中,数列的图象由孤立有序的点组成.
例如,数列：,5,6,7,8,9,10, ;,,, ,…的图象如图.
4.常见数列的通项公式
①数列1,2,3,4, 的一个通项公式为 ；
②数列1,3,5,7, 的一个通项公式为 ；
③数列2,4,6,8, 的一个通项公式为 ；
④数列1,2,4,8, 的一个通项公式为 ；
⑤数列1,4,9,16, 的一个通项公式为 ；
⑥数列1,,,,…的一个通项公式为 ；
⑦数列1,11,111,1111, 的一个通项公式为 .
1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,解决本类问题的关键
是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同时,要善于利用我们熟
知的一些基本数列,通过合理地联想、转化，从而使问题得到解决.
例1 数列,,, ,…的一个通项公式是
_______________________.
[解析] 观察发现该数列的奇数项为负，偶数项为正，
将其各项调整为,,,, ,
则该数列的一个通项公式是 .
2.判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求 的值,若
求出的 的值为正整数,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列
中的项.
例2 已知数列的通项公式为 .
（1）判断是不是数列 中的项；
解：由题得 .
令，解得 ，
又因为，所以不是数列 中的项.
（2）试判断数列中的项是否都在区间 内.
解：由（1）得 ，
因为，所以，所以 ，
所以 ，
所以数列中的项都在区间 内.
例3 已知数列的通项公式是，求 的最大项.
解： .
因为函数在上单调递增，在 上
单调递减，
所以当时， 取得最大值13，
所以数列的最大项为 .
3.数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识
解决数列问题，但要注意函数的定义域.5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
【课前预习】
知识点一
1.一定次序 每一个数 项数 an {an}
2.有限 无限
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)这一列数是有确定顺序的,所以可以构成数列.
(2)可以将所有自然数按从小到大的顺序排列.
(3)数列中的数可以重复出现.
(4)数列1,2,3,4,…,2n共有2n项,是有穷数列.而数列1,2,3,4,…,2n,…是无穷数列.
2.解:不是同一个数列.虽然这两个数列都是由相同的6个数组成的,但是6个数的排列顺序不一样,故不是同一个数列.
3.解:{an}与an的含义是不同的.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an是数列{an}的第n项.
知识点二
1.n an n 3.n 函数 第n项
诊断分析
1.解:并不是所有数列都有通项公式.例如的近似值,精确到1,0.1,0.01,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,…就没有通项公式.
2.解:不一定唯一.有些数列的通项公式可以用不同的形式表示,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=还可以写成an=cos nπ(n∈N+)等.
知识点三
1.正整数集的子集 正整数 2.大于 小于 相等
诊断分析
1.解:变量的取值不同,函数f(x)=-12x+52中的x∈R,通项公式an=-12n+52中的n∈N+.
2.解:(1)是递增数列.因为an+1-an=2(n+1)+3-2n-3=2>0,所以an+1>an,故{an}是递增数列.
(2)是递减数列.因为an=>0,且=<1,所以an+1
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2) (3)(-1)n(6n-5)
(4)(10n-1) (5)n2-1 (6) [解析] (1)注意前四项中有两项的分子为4,不妨把各项的分子统一为4,即为,,,,…,可以发现相邻两项的分母相差3,所以an=.
(2)数列中每一项的分母依次为从1开始的奇数,可用2n-1表示,分子的前一部分依次是从2开始的自然数的平方,可用(n+1)2表示,分子的后一部分依次是从1开始的自然数的相反数,可用-n表示.综上,该数列的一个通项公式为an=.
(3)各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(4)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘9,得9,99,999,…,所以an=(10n-1).
(5)因为0=12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,所以an=n2-1.
(6)因为数列1,,,,…可表示为,,,,…,所以该数列的一个通项公式为an=.
变式 (1)A (2)ABC [解析] (1)各项的符号可以通过(-1)n表示,因为1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·(2n-1),n∈N*.故选A.
(2)对于A,a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0,a5=sin=1,满足题意,故A正确;
对于B,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确;
对于C,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确;
对于D,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误.
故选ABC.
探究点二
提问 解:求出数列的通项公式an,令n=k,即可求出指定项ak.假设某数是该数列中的项,代入通项公式中,解关于n的方程,若求出的n的值为正整数,则说明该数为该数列中的项,否则该数不是该数列中的项.
例2 解:(1)由已知得a3==,a4==-.
(2)当n为奇数时,an=>0;当n为偶数时,an=<0.
令=,解得n=5,又5为奇数,所以是该数列的第5项;令=-,则n无解,故-不是该数列中的项.
变式 (1)903 (2)7 [解析] (1)图①中有6个化学键和6个原子,图②中有11个化学键和10个原子,图③中有16个化学键和14个原子,观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子,则第100个图有6+5×99=501(个)化学键和6+4×99=402(个)原子,所以第100个图的化学键和原子的个数之和为501+402=903.
(2)由题知经过n(n∈N*)次分裂后,得到的细胞个数是2n,
令2n=128,解得n=7.
探究点三
提问 解:一种方法是用定义进行判断,比较任意相邻两项之间的大小关系,而大小关系的确定可以采用差值比较法,也可以采用商值比较法;另一种方法是画出数列的图象,观察其单调性.
例3 (1)A (2)C [解析] (1)由an==1-,可得an+1-an=>0,所以{an}是递增数列,故选A.
(2)因为数列{an}是递增数列,所以3-a>0,a>1,a>(3-a)×6-8,解得变式 B [解析] 对于选项A,an==1-,显然{an}为递增数列;对于选项B,an=,显然{an}为递减数列;对于选项C,an=-n2+4n=-(n-2)2+4,a1=a3,则{an}不是递减数列;对于选项D,an=|n-4|,a3=a5,则{an}不是递减数列.故选B.
探究点四
提问 解:(1)利用数列的单调性;(2)利用图象法.
例4 解:an+1-an=(n+2)-(n+1)=×=×.
当n≤7时,an+1>an;
当n=8时,an+1=an;
当n≥9时,an+1故数列{an}的第8项和第9项为最大项,且a8=a9=.
变式 A [解析] 210=1024,211=2048,根据指数函数y=2x的单调性可知,数列在1≤n≤10,n∈N*时为递减数列且各项均为负数,在n≥11,n∈N*时为递减数列且各项均为正数,故该数列的最小项为第10项,最大项为第11项.故选A.
【课堂评价】
1.A [解析] 数列的第k项为=1+,故A正确;数列0,2,4,6,8,…中的第1项无法用an=2n(n∈N*)表示,故B错误;数列中各项之间是有序的,所以数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是不同的数列,故C错误;{1,3,5,7}表示的是一个集合,而非数列,故D错误.故选A.
2.D [解析] 因为-=,=,-=,=,…,所以其通项公式可能为an=.故选D.
3.A [解析] 令n2+n=72,整理得(n+9)(n-8)=0,解得n=8或n=-9(舍去),所以72是这个数列的第8项.故选A.
4.C [解析] 方法一:∵数列{an}是递减数列,∴an>an+1对任意n∈N*恒成立,∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1)对任意n∈N*恒成立,可得λ<4n+2对任意n∈N*恒成立.∵数列{4n+2}是递增数列,∴当n=1时,4n+2取得最小值6,∴λ<6.故选C.
方法二:因为函数f(x)=-2x2+λx的图象开口向下,对称轴的方程是x=,所以若数列{an}是递减数列,只需<,解得λ<6.故选C.
5.10 [解析] 由题意可得,该数列从第3项起,每一项等于前两项的和,所以这个数列为1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,
所以89是该数列的第10项.5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
【学习目标】
1.根据数列与集合之间的区别与联系,理解数列的概念及其表示法;
2.通过观察具体数列,分析、归纳数列的项的变化规律,认识数列的通项公式;
3.用函数的观点来解释数列的有关问题,加深对数列本质的认识.
◆ 知识点一 数列的概念及一般形式
1.
2.根据项的个数分类:
类别 含义
有穷数列 项数 的数列,最后一项称为这个数列的末项
无穷数列 项数 的数列
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)李萍从6岁到18岁每年生日那天测量体重,所测得的体重依次排成一列数,可以构成数列. ( )
(2)所有自然数能构成数列. ( )
(3)同一个数在数列中可能重复出现. ( )
(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. ( )
2.数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1是同一个数列吗
3.{an}与an的含义是否相同
◆ 知识点二 数列的通项公式
1.定义:如果数列的第 项 与 之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称这个关系式为这个数列的一个通项公式.
2.数列的通项公式的作用:(1)求数列中的任意一项;(2)检验某数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式具有双重身份,它既表示了数列的第 项,又是这个数列中各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的 关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数n就可求出数列的 .
【诊断分析】 1.所有数列都有通项公式吗
2.如果一个数列有通项公式,那么通项公式唯一吗
◆ 知识点三 数列与函数的关系
1.函数与数列的关系
函数 数列
定义域 R或R的非空子集
解析式 y=f(x) an=f(n)
值域 y的取值集合 自变量从小到大依次取 值时对应的函数值
表示 方法 解析式法、列表法、图象法 通项公式(解析式法)、列表法(列举法)、图象法
2.按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
摆动数列 一个数列,若至少有3项且从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列就称为摆动数列
【诊断分析】 1.函数f(x)=-12x+52和通项公式an=-12n+52有什么本质区别
2.给出下列两个数列的通项公式,判断它们是递增数列还是递减数列.
(1)an=2n+3;(2)an=.
◆ 探究点一 已知数列的前几项写出数列的一
个通项公式
例1 写出下面各数列{an}的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1),,,,…,an= ;
(2),,,,…,an= ;
(3)-1,7,-13,19,…,an= ;
(4)7,77,777,…,an= ;
(5)0,3,8,15,24,…,an= ;
(6)1,,,,…,an= .
变式 (1)[2023·安徽淮北师大附中高二月考] 数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( )
A.an=(-1)n·(2n-1),n∈N*
B.an=(-1)n·(2n-1),n∈N*
C.an=(-1)n+1·(2n-1),n∈N*
D.an=(-1)n+1·(2n-1),n∈N*
(2)(多选题)[2023·湖南衡阳高二期末] 已知数列{an}的前5项可以用下图表示,则{an}的通项公式可能为 ( )
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
[素养小结]
根据数列的前几项写通项公式的具体思路:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
◆ 探究点二 根据数列的通项公式判断数列中
的项
[提问] 如何求数列{an}中的指定项ak以及判断某数是否为该数列中的项
例2 [2023·广西钦州高二期末] 在数列{an}中,an=
(1)试写出这个数列的第3项和第4项.
(2)判断和-是否是该数列中的项 若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.
变式 (1)如图所示是一系列有机物的结构简图,图中的黑点表示原子,两黑点间的短线表示化学键,按图中结构第100个图的化学键和原子的个数之和为 .
(2)[2024·黑龙江牡丹江高二期末] 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,…,这样一个细胞分裂 次以后,得到的细胞个数是128.
[素养小结]
(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数是否为该数列中的项,需先假定它是该数列中的项,列方程求解.若方程的解为正整数,则该数是该数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则该数不是该数列中的项.
◆ 探究点三 判断数列的单调性问题
[提问] 如何判断一个数列的单调性 你有哪些方法
例3 (1)已知数列{an}的通项公式是an=,那么数列{an}是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
(2)[2023·安徽淮北师大附中高二月考] 已知数列{an}满足an=(n∈N+),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,3) B.[2,3)
C. D.[2,3]
变式 下列数列是递减数列的是 ( )
A.an= B.an=
C.an=-n2+4n D.an=|n-4|
[素养小结]
(1)数列的单调性常通过比较数列中任意相邻两项的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法.
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围,先是把数列的单调性转化为相邻两项的大小关系,如数列{an}是递增(递减)数列转化为anan+1)恒成立,再把不等式恒成立问题转化为最值问题来解决,或由数列的函数特征,通过构造变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.
(3)对于通项公式较复杂的数列问题,采用“特值探路”,再利用数列的单调性求解.
◆ 探究点四 数列中的最值问题
[提问] 求解数列中的最值,有哪些常见的方法
例4 已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
变式 [2023·浙江绍兴高二期末] 数列 ( )
A.既有最大项,又有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.既无最大项,又无最小项
[素养小结]
求数列中的最值问题意在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养,求解的关键:
(1)利用数列的单调性确定数列的最值,当数列{an}不单调时,还需解不等式an+1-an>0(或an+1-an<0)来确定数列递增(递减)的范围,也可解不等式>1来确定数列递增(递减)的范围,此时一定要注意an的取值符号.
(2)利用解不等式组来确定数列的最值,即设数列{an}的第k(k∈N*)项是最大(小)项,则(k≥2)(k≥2),求出k的正整数解即得最大(小)项.
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列的第k项为1+
B.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n}
C.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
D.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
2.数列-,,-,,…的通项公式可能为an= ( )
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n2+n,则72是这个数列的 ( )
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
4.数列{an}的通项公式为an=-2n2+λn(n∈N*,λ∈R),若{an}是递减数列,则λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.(-∞,6) D.(-∞,6]
5.[2023·湖南株洲高二期末] 已知数列1,2,3,5,8,…,则89是该数列的第 项. 5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
1.C [解析] 由题意可知a1==,a2=-=,a3==,a4=-=,因此,该数列的通项公式可能为an=.故选C.
2.C [解析] 由题意得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=2×10=20.
3.D [解析] 对于A,{an}显然是无穷数列,故A中说法正确;
对于B,因为an+1-an=n+1+-n-=1->0,即an+1>an,所以{an}是递增数列,故B中说法正确;对于C,因为a1=2,a2=2+=,a1≠a2,所以{an}不是常数列,故C中说法正确;对于D,由B知,{an}是递增数列,则{an}中无最大项,故D中说法错误.故选D.
4.A [解析] 由题意可得,数列{an}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,即数列{an}是以6为周期的周期数列,所以a2029=a338×6+1=a1=1.故选A.
5.C [解析] 由题图可知,a1=1=,a2=3=,a3=6=,a4=10=,…,∴an=.故选C.
6.C [解析] 设题中数列为{an},可得该数列偶数项的通项公式为a2n=2n2,则此数列的第40项为2×202=800.故选C.
7.D [解析] 根据数列1,,,,3,…,可得该数列的通项公式为an= (n∈N*),又3=,∴=,解得n=14.故选D.
8.CD [解析] an==+.当n>5(n∈N*)时,an>0,且数列{an}为递减数列;当n≤5(n∈N*)时,an<0,且数列{an}为递减数列.故a5为最小项,a6为最大项,故C,D正确,A错误.a4+a8=+=0,a6==3,则a4+a8≠2a6,故B错误.故选CD.
9.BD [解析] 对于选项A,当{an}的通项公式为an=n-时,{an}为递增数列,a2=-,a3=,则b2=-+2=,b3=-2=-,显然b2>b3,则{bn}不是递增数列,故A错误.
对于选项B,由{bn}是常数列,设bn=an-=t(t为常数),
则an+1-=t,可得an+1--an+=(an+1-an)=0,又an+1-an≠0,可得1+=0,整理得an+1=-,所以an+2=-=-=an,故B正确.
对于选项C,D,若an=1-,则bn=1--.
①当n为偶数时,an=1-∈(0,1)且{an}为递增数列,则>1>an,所以bn<0且{bn}为递增数列,此时(bn)min=b2=1--=-=-;
②当n为奇数时,an=1+>1且{an}为递减数列,则an>1>,所以bn>0且{bn}为递减数列,此时(bn)max=b1=1+-=-=.
综上所述,{bn}既有最大项,又有最小项,故C错误,D正确.
故选BD.
10.①③④ [解析] 由已知得数列2,5,8,11,14,…的一个通项公式为bn=3n-1.数阵中前6行共有1+2+3+4+5+6=21(个)数,所以数阵中第7行的数从左至右依次为65,68,71,74,77,80,83,故①正确.令bn=3n-1=101,解得n=34,前7行共有28个数,第8行有8个数,所以101是数阵中第8行从左至右第6个数,故②错误.记每一行的第1个数组成数列{an},则a1=2,a2-a1=3,a3-a2=6=3×2,a4-a3=9=3×3,…,a10-a9=3×9,所以a10-a1=3×(1+2+3+…+9)=135,所以a10=137,故③正确.数阵中第10行从左至右第4个数是137+(4-1)×3=146,故④正确.故正确结论的序号为①③④.
11.4 [解析] 设数列{an}的最大项为ak,则即解得≤k≤,又k∈N*,∴k=4,故数列{an}的最大项为第4项.
12.(-3,+∞) [解析] ∵数列{an}是递增数列,∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0对任意的正整数n恒成立,即λ>-2n-1对任意的正整数n恒成立,∴λ>(-2n-1)max(n∈N*),故实数λ的取值范围是(-3,+∞).
13.解:(1)an=2n+1.
(2)an=.
(3)该数列可改写成,,,,…,
故该数列的一个通项公式为an=.
(4)该数列可改写成,,-,,,,-,,…,观察发现各项的分母依次为1,2,3,…,而分子依次为1,0,-1,0,1,0,-1,0,…,呈周期性变化,因此,我们可以用sin 表示分子,故该数列的一个通项公式为an=.
14.解:(1)令=0.98,解得n=7(舍去负值),因为7∈N*,所以0.98是数列{an}中的项,且是数列{an}中的第7项.
(2)由题意得an==1-,因为对任意n∈N*,an+1-an=-+=>0恒成立,
所以数列{an}是递增数列,该数列的最小项是首项a1=.
(3)cn=lg an+lg bn=lg +lg(n2+1)=lg n2=2lg n,
由2lg n>3,得n>,所以符合题意的最小正整数n的值为32.
15.[9,12] [解析] 当n≤4时,{an}的最大项为a4=15;当n≥5时,an=-n2+(a-1)n=-+,因为a5是{an}的最大项,所以解得9≤a≤12,故实数a的取值范围是[9,12].
16.解:(1)由有穷数列{an}:an=2n-1(n=1,2,3),得a1=1,a2=3,a3=5,
取i=2,j=3,则不存在ak,使得ak=a2a3=15,
所以有穷数列{an}不满足性质A.
(2)对任意i≤j,i,j∈N+,则aiaj=2i-1·2j-1=2i+j-2=2(i+j-1)-1,
可知i+j-1∈N+,则存在k=i+j-1,使得ak=aiaj,
所以无穷数列{bn}满足性质A.5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
一、选择题
1.若数列{an}的前4项依次是,-,,-,则此数列的通项公式可能为an= ( )
A. B.
C. D.
2.已知数列{an}的通项公式为an=则a2·a3= ( )
A.70 B.28 C.20 D.8
3.已知函数f(x)=x+,设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),则下列说法中错误的是( )
A.{an}是无穷数列 B.{an}是递增数列
C.{an}不是常数列 D.{an}中有最大项
4.[2024·陕西咸阳高二期中] 斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,…每项被 4 除所得的余数构成数列{an},则a2029= ( )
A.1 B.2 C.0 D.3
5.如图,各图案中星星的个数构成数列{an},则该数列的一个通项公式是 ( )
A.an=n2-n+1 B.an=
C.an= D.an=
6.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第40项为( )
A.648 B.722 C.800 D.882
7.[2024·四川乐山高二期末] 已知数列1,,,,3,…,按此规律,3是该数列的( )
A.第11项 B.第12项
C.第13项 D.第14项
8.(多选题)[2023·湖北荆州高二期末] 已知数列{an}的通项公式为an=,则 ( )
A.数列{an}为递增数列
B.a4+a8=2a6
C.a5为最小项
D.a6为最大项
9.(多选题)对于无穷数列{an},定义:bn=an-(n∈N+),称数列{bn}是{an}的“倒差数列”,则下列说法正确的有 ( )
A.若数列{an}是递增数列,则数列{bn}为递增数列
B.若数列{bn}是常数列,an+1-an≠0,则an+2=an
C.若an=1-,则数列{bn}没有最小项
D.若an=1-,则数列{bn}有最大项
二、填空题
10.如图,三角形数阵由数列2,5,8,11,14,…排列而成,按照此规律,下列结论正确的是 .(填序号)
2
5 8
11 14 17
20 23 26 29
… … … … …
①数阵中第7行从左至右第4个数是74;
②数阵中第8行从左至右第4个数是101;
③数阵中第10行的第1个数是137;
④数阵中第10行从左至右第4个数是146.
11.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的最大项为第 项.
12.在数列{an}中,对任意的正整数n,都有an=n2+λn成立.若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是 .
三、解答题
13.写出以下各数列{an}的一个通项公式.(可以不写过程)
(1)3,5,9,17,33,…;
(2),,,,…;
(3),1,,,…;
(4)1,0,-,0,,0,-,0,….
14.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=n2+1(n∈N*).
(1)0.98是不是数列{an}中的项
(2)判断数列{an}的单调性,并求该数列的最小项.
(3)若cn=lg an+lg bn(n∈N*),求满足cn>3的最小正整数n的值.
15.已知数列{an}的通项公式为an=若a5是{an}的最大项,则实数a的取值范围是 .
16.[2024·北京延庆区高二期末] 已知数列{an}具有性质A:对任意ai,aj(i≤j,i,j∈N+),都存在ak,使得ak=aiaj.分别判断以下两个数列是否满足性质A,并说明理由.
(1)有穷数列{an}:an=2n-1(n=1,2,3);
(2)无穷数列{bn}:bn=2n-1(n=1,2,3,…).