(共46张PPT)
5.1 数列基础
5.1.2 数列中的递推
探究点一 求数列的递推关系和指定项
探究点二 由递推关系写出数列的通项公式
探究点三 已知求通项公式
【学习目标】
1.理解数列的递推关系,会利用递推关系求指定项；
2.掌握数列前 项和的表示.
知识点一 数列的递推关系
1.如果已知数列的首项（或前几项）,且数列的相邻两项或两项以上
的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的______关
系（也称为______公式或______公式）.
递推
递推
递归
2.根据数列的首项（或前几项）以及数列的__________，可以求出这
个数列中的每一项.
递推关系
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数列2，，，， 可以写出递推公式． ( )
×
[解析] 数列2，，，， 的前4项没有规律，故此数列
不能写出递推公式.
（2）1，3，5，7，9， 为正奇数组成的数列，其递推公式可以写
成, ．
( )
√
[解析] 1，3，5，7，9，为正奇数组成的数列，则 ,
.
（3）已知，则数列 是递减数列. ( )
×
[解析] 由题知，故数列 是递增数列.
（4）已知数列满足，，则 . ( )
√
[解析] 由条件可得， ，
.
2.只给出数列的递推关系,不给出数列的第一项或前几项,能确定这个
数列吗
解：离开了数列的第一项（或前几项）作为基础,递推关系不能递推,
故不能确定数列.
3.数列 的通项公式与递推公式有何区别与联系？
解：
递推公式 通项公式
区别
联系 （1）都是表示数列的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 知识点二 数列的前 项和
1.一般地，给定数列，称 _____________________为数列
的前 项和.
2.如果数列的前项和为，那么当 时，有
,
,
所以 .
因此
___,
__________, ,
探究点一 求数列的递推关系和指定项
例1（1） 若是正整数，则
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,
，
.
故选C.
（2）[2023·安徽淮北师大附中高二月考]在数列中， ，
，则 ( )
A. B. C. D.3
[解析] ，，， ，
， ．故选A.
√
（3）数列满足，，则 ____.
[解析] 因为，所以 .
因为，所以， ，
，
所以 是一个周期数列，且周期为3，
故 .
变式（1） 数列满足,若 ,
,则 ( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] 由题意得 ,
,,， ，
.故选B.
√
（2）数列1，3，6，10，15， 的递推公式可以是( )
A.，
B.，，
C.,
D.，，
[解析] 设数列1，3，6，10，15， 为，则 ，
，，， .
由此可得数列 的递推公式可以是,, .
故选B.
√
（3）（多选题）意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这
样的一列数：1，1，2，3，5，8，13， ,即从第三项开始，每一项
都是它前两项的和,后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数
列.下面关于斐波那契数列 的说法正确的是( )
A.
B. 是奇数
C.
D.
√
√
[解析] 由已知得数列满足递推关系 .
选项A中， ，故A正确；
选项B中，观察数列可知，数列 中每三项都是奇、奇、偶重复循环，，恰好能被3整除，且为偶数，所以 也为偶数，故B错误；
选项C中，假设选项C正确，则， , ，
依次类推，可得 ，显然与已知矛盾，故C错误；
选项D中，，
所以
，
故D正确.故选 .
［素养小结］
由递推公式写出数列的项的方法：
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分
的关系，依次代入计算即可．
（2）若知道的是末项，则通常将所给公式整理成用后面的项表示前
面的项的形式，如 ．
（3）若知道的是首项，则通常将所给公式整理成用前面的项表示后
面的项的形式，如 ．
（4）若,则数列 是周期数列,此时求指定项问
题常通过周期数列的特征转化为求前几项的值的问题.
探究点二 由递推关系写出数列的通项公式
例2 在数列中,,,求数列 的通项
公式.
解：方法一：因为 ,
所以,又因为 ，
所以,,, ,
据此可知,数列的通项公式为 .
方法二：因为，,所以 ，
，， , ，
以上各式累加得 ,
所以 .
当时,,满足 .
综上,数列的通项公式为 .
变式 在数列中,, ,求数列
的通项公式.
解：方法一：由条件可得,, ,
, ,归纳可得 .
当时，,满足 .
综上，数列的通项公式为 .
方法二：因为 ,
所以,所以,,, ,
,
上述所有式子累乘可得 ,
所以 .
当时，,满足 .
综上，数列的通项公式为 .
［素养小结］
解决已知数列的递推关系求通项公式的问题，意在培养逻辑推理、
数学运算、数学抽象的核心素养，求解的关键：
（1）归纳法：根据数列的某项和递推关系，求出数列的前几项，观
察它们的规律，归纳出其通项公式.这种方法一般只适用于选择题和
填空题,解决解答题不严密,容易犯“以偏概全”的错误.
（2）累加法：形如为常数 或
是可以求和的，常用累加法求数列 的通
项公式.
（3）累乘法：形如为常数或
是可以求积的，常用累乘法求数列 的通项公式.
拓展 已知数列 的首项为1，且各项均为正数，若
,求数列 的通项公式.
解：由 ,
整理得 .
数列的各项均为正数, ,
,即 ，
，
.
探究点三 已知 求通项公式
［提问］ 在数列中，若已知其前项和为，则
正确吗？
解：不正确.当时，有；当时， .
例3（1） 已知数列的前项和，则数列 的
通项公式为_ __________________.
[解析] 当时，；
当 时，
.
故数列的通项公式为
（2）[2023·河北邯郸大名一中高二月考] 设数列的前项和为 ，
点均在函数的图象上，则数列 的通项
公式为 _______________．
[解析] 依题意得，即.
当 时，；
当时，.
又 符合上式，
所以的通项公式为 .
变式 已知数列的前项和为，且， ，
求数列 的通项公式.
解：当时,由，得 ，
两式相减得，整理得 ，
所以 .
又满足，所以 .
［素养小结］
解决与数列的前 项和相关的题目，需掌握以下几点：
（1）利用递推关系，求出数列相应各项的值，从而可求出前 项的和；
（2）若已知数列的前项和，则只需利用
求出数列的通项公式，注意检验 是否满足
所确定的 ，若满足，则直接合并为一种形
式表示，否则，用分段形式表示.
1.已知数列的前项和,则 ( )
A.15 B.16 C.49 D.64
[解析] .故选A.
√
2.在数列中，，，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为，，
所以，， ，
所以 是周期为3的周期数列，
所以 .故选D.
√
3.已知数列满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
，，， .
故选A.
√
4.[2024·四川成都高二期中] 定义为个正数 ，
， ，的“均倒数”.若数列的前项的“均倒数”为 ，则数
列的通项公式为 _______.
[解析] 由题意知，，所以 ，
所以 ，
则，
当 时，，
又因为 ，所以，满足上式，
所以 .
5.若数列的前项和,则 ______.
[解析] 因为数列的前项和,
所以当 时，
.
当 时，,符合上式，所以 .
1.已知仅含有的递推关系或既含有又含有 的递推关系，一般
利用公式 实施消元法，将递推关系转化为仅
含的关系式或仅含 的关系式，即“二者消元留一项”.
2.消去留，还是消去留 ？这取决于消元后的代数式经过恒
等变形后能否得到简单可求的数列关系，即“何知去留谁更好，变形
易把关系找”.
3.值得一提的是：数列的通项公式 求出后，还需要验证数列的首
项 是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，
这一步学生容易忘记，切记！
1.形如 的数列的递推关系常用累加法求通项
公式： .
例1 已知数列满足， ，
求数列 的一个通项公式.
解：因为 ，
所以 ,
所以 ，
故 .
2.一般地，形如 的数列的递推关系常用累乘
法求通项公式： .
例2 已知数列满足，，写出数列 的前5项，
并求数列 的一个通项公式.
解：由， ，
得 ，
，
，
.
由题可知 ,
则 ,
又满足上式，故数列的一个通项公式为 .
3.对于数列，我们常考虑其周期性和单调性.所谓周期性，就是指存
在正整数，使得对任意的恒成立.数列 为递增
数列，是指对任意的，总有；数列 为递减数列，
是指对任意的,总有 .
例3 已知数列满足，,数列的前项和为 ，
求 .
解：， ，
，，，， ，
, ，
又 ，
.
4.已知与 的递推关系求通项公式.
例4 已知数列中，，其前项和为 ，且满足
，求数列 的通项公式.
解： ，
，
，
即， ，
，
.5.1.2 数列中的递推
【课前预习】
知识点一
1.递推 递推 递归
2.递推关系
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)数列2,2.1,2.17,2.178,…的前4项没有规律,故此数列不能写出递推公式.
(2)1,3,5,7,9, 为正奇数组成的数列,则a1=1,an+1-an=2.
(3)由题知-an=3>0,故数列{an}是递增数列.
(4)由条件可得a2=2a1-2=4,a3=2a2-2=6,a4=2a3-2=10.
2.解:离开了数列的第一项(或前几项)作为基础,递推关系不能递推,故不能确定数列.
3.解:
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的相邻项an-1或an+1 (或相邻几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点二
1.a1+a2+a3+…+an 2.S1 Sn-Sn-1
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)A (3)- [解析] (1)∵an=++…+,an+1=+…+++,
∴an+1=an++-=an+-.
故选C.
(2)∵a1=-2,an+1=,∴a2==-,a3==,a4==3,a5==-2.故选A.
(3)因为an+1=,所以an=1-.
因为a9=3,所以a8=1-=,a7=1-=-,a6=1+2=3,所以{an}是一个周期数列,且周期为3,故a1=a7=-.
变式 (1)B (2)B (3)AD [解析] (1)由题意得an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an,∴an+6=-an+3=an,∵a1=1,a2=2,∴a3=a2-a1=1,∴a9=a3=1.故选B.
(2)设数列1,3,6,10,15,…为{an},则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,….由此可得数列{an}的递推公式可以是an-an-1=n,n≥2,n∈N*.故选B.
(3)由已知得数列{an}满足递推关系an+2=an+1+an.
选项A中,a12=a11+a10=2a10+a9=3a9+2a8=5a8+3a7=8a7+5a6=8×13+5×8=144,故A正确;选项B中,观察数列{an}可知,数列{an}中每三项都是奇、奇、偶重复循环,2028=676×3,恰好能被3整除,且a3为偶数,所以a2028也为偶数,故B错误;选项C中,假设选项C正确,则a2021=a1+a2+…+a2019,a2020=a1+a2+…+a2018,a2019=a1+a2+…+a2017,依次类推,可得a4=a1+a2,显然与已知矛盾,故C错误;选项D中,a2028=a2027+a2026=2a2026+a2025,所以a2024+a2028=a2024+2a2026+a2025=2a2026+(a2024+a2025)=3a2026,故D正确.故选AD.
探究点二
例2 解:方法一:因为an+1-an=2(n∈N*),
所以an+1=an+2(n∈N*),又因为a1=2,
所以a2=a1+2=4,a3=a2+2=6,a4=a3+2=8,…,
据此可知,数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).
方法二:因为a1=2,an+1-an=2(n∈N*),所以a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2,n∈N*),以上各式累加得an-a1=2(n-1),
所以an=a1+2(n-1)=2n(n≥2,n∈N*).
当n=1时,a1=2,满足an=2n.
综上,数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).
变式 解:方法一:由条件可得,a2=a1==,a3=a2==,a4=a3==,…,归纳可得an=(n≥2,n∈N*).
当n=1时,a1=,满足an=.
综上,数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
方法二:因为an=·(n≥2,n∈N*),
所以=(n≥2,n∈N*),所以=,=,=,…,=(n≥2,n∈N*),
上述所有式子累乘可得=(n≥2,n∈N*),
所以an==(n≥2,n∈N*).
当n=1时,a1=,满足an=.
综上,数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
拓展 解:由(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),
整理得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0(n∈N*).
∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an+1>0,
∴(n+1)an+1-nan=0(n∈N*),即(n+1)an+1=nan,∴nan=(n-1)an-1=(n-2)an-2=…=1×a1=1,
∴an=(n∈N*).
探究点三
提问 解:不正确.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1;当n=1时,a1=S1.
例3 (1)an= (2)6n-5(n∈N*) [解析] (1)当n=1时,a1=S1=1-2+2=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-(n-1)2+2(n-1)-2=2n-3.故数列{an}的通项公式为an=
(2)依题意得=3n-2,即Sn=3n2-2n.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5(n≥2).又a1=1符合上式,所以{an}的通项公式为an=6n-5(n∈N*).
变式 解:当n≥2时,由3Sn=(n+2)an,得3Sn-1=(n+1)an-1,两式相减得3an=(n+2)an-(n+1)an-1,整理得=,
所以an=···…··a1=×××…××1=.
又a1=1满足an=,所以an=.
【课堂评价】
1.A [解析] a8=S8-S7=82+1-72-1=15.故选A.
2.D [解析] 因为a1=2,an=-(n≥2),所以a2=-1,a3=,a4=2,所以{an}是周期为3的周期数列,所以a2023=a674×3+1=a1=2.故选D.
3.A [解析] ∵a1=2,an=2-(n≥2),∴a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=,a5=2-=.故选A.
4.6n-4 [解析] 由题意知,=,所以=3n-1,所以a1+a2+…+an=(3n-1)n,则a1+a2+…+an-1=(3n-4)(n-1)(n≥2),当n≥2时,an=(3n-1)n-(3n-4)(n-1)=6n-4,又因为==,所以a1=2,满足上式,所以an=6n-4(n∈N*).
5.n+ [解析] 因为数列{an}的前n项和Sn=n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n+.当n=1时,a1=S1=,符合上式,所以an=n+.5.1.2 数列中的递推
【学习目标】
1.理解数列的递推关系,会利用递推关系求指定项;
2.掌握数列前n项和的表示.
◆ 知识点一 数列的递推关系
1.如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的 关系(也称为 公式或 公式).
2.根据数列的首项(或前几项)以及数列的 ,可以求出这个数列中的每一项.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列2,2.1,2.17,2.178,…可以写出递推公式. ( )
(2)1,3,5,7,9,…为正奇数组成的数列,其递推公式可以写成a1=1,an+1-an=2. ( )
(3)已知-an-3=0,则数列{an}是递减数列. ( )
(4)已知数列{an}满足a1=3,an=2an-1-2,则a4=10. ( )
2.只给出数列的递推关系,不给出数列的第一项或前几项,能确定这个数列吗
3.数列{an}的通项公式与递推公式有何区别与联系
◆ 知识点二 数列的前n项和
1.一般地,给定数列{an},称Sn= 为数列{an}的前n项和.
2.如果数列{an}的前n项和为Sn,那么当n≥2时,有
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1,
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
所以Sn=Sn-1+an.
因此an=
◆ 探究点一 求数列的递推关系和指定项
例1 (1)若an=++…+(n是正整数),则an+1=an+ ( )
A.
B.-
C.-
D.+
(2)[2023·安徽淮北师大附中高二月考] 在数列{an}中,a1=-2,an+1=,则a5= ( )
A.-2 B.- C. D.3
(3)数列{an}满足an+1=,a9=3,则a1= .
变式 (1)数列{an}满足an+1=an-an-1(n∈N*,n≥2),若a1=1,a2=2,则a9= ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
(2)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是( )
A.an+1-an=n,n∈N*
B.an-an-1=n,n≥2,n∈N*
C.an+1-an=n-1,n∈N*
D.an-an-1=n-1,n≥2,n∈N*
(3)(多选题)意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,…,即从第三项开始,每一项都是它前两项的和,后人为了纪念他,就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{an}的说法正确的是 ( )
A.a12=144
B.a2028是奇数
C.a2022=a1+a2+a3+…+a2020
D.a2024+a2028=3a2026
[素养小结]
由递推公式写出数列的项的方法:
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项,则通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.
(3)若知道的是首项,则通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
(4)若an+T=an(T∈N*),则数列{an}是周期数列,此时求指定项问题常通过周期数列的特征转化为求前几项的值的问题.
◆ 探究点二 由递推关系写出数列的通项公式
例2 在数列{an}中,a1=2,an+1-an=2(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
变式 在数列{an}中,a1=,an=·an-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.
[素养小结]
解决已知数列的递推关系求通项公式的问题,意在培养逻辑推理、数学运算、数学抽象的核心素养,求解的关键:
(1)归纳法:根据数列的某项和递推关系,求出数列的前几项,观察它们的规律,归纳出其通项公式.这种方法一般只适用于选择题和填空题,解决解答题不严密,容易犯“以偏概全”的错误.
(2)累加法:形如an+1-an=c(c为常数)或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),常用累加法求数列{an}的通项公式.
(3)累乘法:形如an+1=pan(p为常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),常用累乘法求数列{an}的通项公式.
拓展 已知数列{an}的首项为1,且各项均为正数,若-n+an+1an=0(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
◆ 探究点三 已知Sn求通项公式
[提问] 在数列{an}中,若已知其前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1正确吗
例3 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为 .
(2)[2023·河北邯郸大名一中高二月考] 设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,则数列{an}的通项公式为an= .
变式 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,3Sn=(n+2)an,求数列{an}的通项公式.
[素养小结]
解决与数列的前n项和相关的题目,需掌握以下几点:
(1)利用递推关系,求出数列相应各项的值,从而可求出前n项的和;
(2)若已知数列的前n项和Sn,则只需利用an=求出数列{an}的通项公式,注意检验a1是否满足an=Sn-Sn-1(n≥2)所确定的an,若满足,则直接合并为一种形式表示,否则,用分段形式表示.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a8= ( )
A.15 B.16 C.49 D.64
2.在数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2023= ( )
A.-2 B.
C.-1 D.2
3.已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a5= ( )
A. B. C. D.
4.[2024·四川成都高二期中] 定义(n∈N*)为n个正数P1,P2,…,Pn的“均倒数”.若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为an= .
5.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则an= . 5.1.2 数列中的递推
1.B [解析] 因为a1=1,an+1=3-an,所以a2=3-a1=2,a3=3-a2=1,可以发现数列{an}是周期为2的周期数列,所以a10=a2=2.故选B.
2.C [解析] 由题得a4+a5=3a3+3a4=3(a3+a4)=6.
故选C.
3.C [解析] ∵数列{an}满足a1=-,an+1=,∴a2==,a3==3,a4==-=a1,
∴数列{an}是周期为3的周期数列,且前3项依次为-,,3.故选C.
4.B [解析] 由题得a10=S10-S9=(210-1)-(29-1)=512.故选B.
5.A [解析] ∵Sn=2an-2,∴当n≥2时,an=Sn-=2an-2,即an=2.故选A.
6.C [解析] 当n=1时,a2=1+3=4;当n=2时,a3=2×4+1=9;当n=3时,a4=9+3=12;当n=4时,a5=2×12+1=25;当n=5时,a6=25+3=28.故选C.
7.B [解析] 因为数列{an}满足an+1-an=4n(n∈N*),a1=8,所以a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a9-a8)=8+(4+8+…+32)=152,所以在区间[9,a9],即[9,152]内的偶数有10,12,…,152,所以Ω(a9)=-4=72.故选B.
【点拨】 利用递推公式可求得a9的值,可得出区间[9,a9],进而可求得Ω(a9)的值.
8.ABD [解析] 由a1=-,an+1=1-,得a2=1-=3,a3=1-=,故A正确;a4=1-=-=a1,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,所以S3n+3-S3n=a3n+1+a3n+2+a3n+3=a1+a2+a3=,故B正确;S19=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a16+a17+a18)+a19=×6-=,故C错误;当n≥2时,an=1-=,an+1=1-=1-=,所以an-1anan+1=an-1··=-1,故D正确.故选ABD.
9.BD [解析] ∵Sn=an,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得==1+,∵数列(n≥2)为递减数列,∴当n=2时,取得最大值2,∴的最大值为3.由=1+=2,得n=3.故选BD.
10.2+ln n [解析] ∵an+1=an+ln,∴a2-a1=ln=ln 2,a3-a2=ln=ln,a4-a3=ln=ln,…,an-an-1=ln=ln(n≥2),则an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n(n≥2).∵a1=2,∴an=2+ln n(n≥2).当n=1时,a1=2+ln 1=2也满足上式.故数列{an}的通项公式为an=2+ln n.
11. [解析] 由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,即Sn+1=Sn.又S1=a1=1,所以S2=,S3=,S4=,S5==.
12. [解析] 由an=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2),得an+1=a1+a2+a3+…+an-1+an,两式相减,得an+1-an=an(n≥2),整理得=(n≥2),又=1,a2=1,=,所以当n=1时,不满足上式,所以是从第二项起首项为的常数列,故当n≥2时,=,则an=.综上,an=
13.解:当n=1时,S1=3+5=8,即a1=8,解得a1=16.
当n=2时,S1+S2=3×2+5=11,即a1+(a1+a2)=11,将a1=16代入并整理得a2=-1,解得a2=-4.
由题得S1+S2+…+Sn=3n+5①,
当n≥2时,S1+S2+…+Sn-1=3(n-1)+5②,
由①-②得Sn=3,即Sn=3×2n(n≥2),
当n≥3时,an=Sn-Sn-1=3×2n-3×2n-1=3×2n-1,
所以an=
14.解:(1)由题得a1=32,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1,a7=4,a8=2,a9=1,…,
则数列{an}从a4开始,每三项出现一次4,2,1循环,
故S30=(32+16+8)+9×(4+2+1)=119.
(2)因为a6=1,所以a5=2,a4=4,则a3=8或a3=1.
若a3=8,则a2=16,a1=5或a1=32,即m=5或m=32;
若a3=1,则a2=2,a1=4,即m=4.
故m的所有取值的和为5+32+4=41.
15.ACD [解析] 因为{an}为“阶梯数列”,所以由a1=a4=1,可得a2=a5,a3=a6,a4=a7,a5=a8,a6=a9,…,观察可得a1=a4=a7=…=a3n-2=…(n∈N*),a2=a5=a8=…=a3n-1=…(n∈N*),a3=a6=a9=…=a3n=…(n∈N*),即数列{an}是以3为周期的周期数列,又a5=,a8a9=2,所以a9=2,即a9=2.综上,a1=a4=a7=…=a3n-2=…=1(n∈N*),a2=a5=a8=…=a3n-1=…=(n∈N*),a3=a6=a9=…=a3n=…=2(n∈N*),故A正确,B错误;S10=(a1+a4+a7+a10)+(a2+a5+a8)+(a3+a6+a9)=4×1+3×+3×2=10+3,故C正确;a2024=a2+3×674=a2=,故D正确.故选ACD.
16.解:(1)证明:因为2Sn=anan+1-1,所以2Sn+1=an+1an+2-1,
所以2an+1=an+1(an+2-an),又an+1>0,所以an+2-an=2.
(2)当n=1时,2a=aa2-1,所以a2==2+,
则数列{an}的前3项分别为a,2+,a+2,
因为数列{an}为递增数列,所以a<2+
故a的取值范围为(1,1+).5.1.2 数列中的递推
一、选择题
1.在数列{an}中,a1=1,an+1=3-an,则a10= ( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
2.[2024·上海闽行区高二期中] 数列{an}满足an+1=3an,a3+a4=2,则a4+a5= ( )
A.2 B.3 C.6 D.8
3.已知数列{an}满足a1=-,an+1=,则下列各数不是数列{an}中的项的是 ( )
A.- B. C. D.3
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n-1,则a10= ( )
A.256 B.512
C.1024 D.2048
5.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则当n≥2时,an与的关系为( )
A.an=2 B.an=
C.an=-2an-1 D.an=-an-1
6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=则a6= ( )
A.16 B.25 C.28 D.33
★7.[2023·哈尔滨三中高二月考] 设Ω(an)表示落在区间[n,an]内的偶数个数,已知数列{an}满足an+1-an=4n(n∈N*),a1=8,则Ω(a9)=( )
A.71 B.72 C.73 D.76
8.(多选题)[2024·甘肃金昌高二期中] 已知数列{an}满足a1=-,an+1=1-(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则 ( )
A.a3=
B.S3n+3-S3n=
C.S19=19
D.an-1anan+1=-1(n≥2,n∈N*)
9.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an,则的值不可能为 ( )
A.2 B.5 C.3 D.4
二、填空题
10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则{an}的通项公式为an= .
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则S5= .
12.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2),则{an}的通项公式为an= .
三、解答题
13.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且S1+S2+…+Sn=3n+5,求a1,a2及数列{an}的通项公式.
14.[2024·浙江金华十校高二期末] 已知数列{an}满足a1=m(m∈N+),且an+1=
(1)设Sn为数列{an}的前n项和,若a1=32,求S30;
(2)若a6=1,求m的所有取值的和.
15.(多选题)在无穷数列{bn}中,若bp=bq(p,q∈N*)时,总有bp+1=bq+1,则定义{bn}为“阶梯数列”.设{an}为“阶梯数列”,其前n项和为Sn,且a1=a4=1,a5=,a8a9=2,则 ( )
A.a7=1 B.a8=2a4
C.S10=10+3 D.a2024=
16.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=anan+1-1,a1=a.
(1)求证:an+2-an是一个定值;
(2)若数列{an}是一个递增数列,求a的取值范围.