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5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
探究点一 等差数列的判断与证明
探究点二 等差数列的基本量计算
【学习目标】
1.理解等差数列的概念及其性质，了解通项公式的推导过程；
2.掌握等差数列的通项公式；
3.学会利用一次函数的性质解决等差数列的问题,加深对等差数
列本质的认识；
4.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
知识点一 等差数列的定义
一般地,如果数列 从第2项起,每一项与它的________之差都等于
_____________,即______________恒成立，则称 为等差数列,其
中 称为等差数列的公差.
前一项
同一个常数
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一座楼房第一层的每级台阶距离地面的高度（单位： ）依次
为16,32,48,64,80,96,112,128， ，320，这组数据可以构成等差数列.
( )
√
[解析] 该数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是16，是等差数列.
（2）若数列的前4项分别为1,2,3,4，则 一定是等差
数列．
( )
×
（3）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是常数,则这
个数列一定是等差数列.
( )
×
[解析] 当一个数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是同一个常
数时,这个数列才是等差数列.
2.定义中的“同一个常数”应如何理解
解：定义中的“同一个常数”可理解为：从第2项起，每一项与其前一
项的差是常数,且是唯一的常数,否则这个数列不能称为等差数列.
例如,其中的差 的值会随着两个相邻项的变化而变化,
则满足这种条件的数列就不是等差数列.
知识点二 等差数列的通项公式
1.如果等差数列的首项是,公差是 ,那么该等差数列的通项公式
为 _____________.
2.在等差数列中,________或 _______
，其第项也可以表示为 .
【诊断分析】 若已知等差数列的任意两项 和
,可以求其通项公式吗
解：可以.首先利用求出公差,再利用
求出,当确定了首项及公差后便可求出数列 的通项公式.
知识点三 从函数角度认识等差数列
1.若数列是等差数列,首项为,公差为 ,则
,如果记 ，则
,由此可看出：
（1）当公差时，是常数函数，此时数列 是____数列
（即公差为0的等差数列是____数列）.
常
常
（2）当公差时,是______函数，而且 的增减性依赖于
公差的符号，因此，当时，是______数列；当 时，
是______数列.
一次
递增
递减
（3）点 落在直线__________________上，这些点的横坐标每
增加1,函数值增加___.
2.若一个数列的通项公式是关于 的一次函数形式,则可以证明这个数
列是等差数列,即是等差数列的充要条件是 _______,其中公
差为,首项为 .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若点落在直线上，则数列 是等差数列.
( )
√
[解析] 若点落在直线上，则 ,
所以，所以数列 是等差数列.
（2）在等差数列中,若,则点 所在直线的斜率
是3.
( )
√
[解析] 若,则点所在直线的方程为 ，
此直线的斜率为3.
2.是不是所有等差数列的通项公式都可以写成形如 的形
式 等差数列的通项公式对应的函数一定是一次函数吗
解：所有等差数列的通项公式都可以写成形如 的形式,但
是只有当公差不为零时,通项公式对应的函数才是一次函数.
而当公差为零时，通项公式对应的函数是常数函数.
3.已知一个等差数列的通项公式,设该数列的第项和第 项分别
为和,则公差 ,请你说出其几何意义.
解：其几何意义是“直线的斜率等于公差 ”，所以当用直角坐标系中
的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上.
探究点一 等差数列的判断与证明
例1 已知数列的通项公式为,为常数 .
（1）当,满足什么条件时, 是等差数列
解：, ,
当为等差数列时,是一个与 无关的常数,
,即, 为任意常数.
（2）求证： 是等差数列.
证明：由（1）得 ,
则当时, ,
两式相减得 ,
故 是等差数列.
变式 [2024·黑龙江牡丹江高二期中] 已知数列 满足
.求证： 是等差数列.
证明：由题得 ，
则 ，
故是首项为 ,公差为4的等差数列.
［素养小结］
判断和证明一个数列是等差数列意在考查逻辑推理、数学运算的核
心素养.求解的方法有：
（1）定义法：利用判断数列 是否为等差
数列.
（2）定义变形法：验证数列是否满足
，若满足，则数列 为等差数列.
（3）通项公式法：利用,为常数判断数列 是否
为等差数列.
注意：通项公式法只能在小题判断中应用，不能作为大题的证明方法.
拓展 [2023·江苏南通海安中学高二月考] 在数列中， ，
.
（1）证明：数列 为等差数列；
证明：由 ，
得，即 ，
所以，又 ，
所以数列是首项为，公差为 的等差数列.
（2）求数列 的通项公式.
解：由（1）知数列 的通项公式为
，
所以 .
探究点二 等差数列的基本量计算
［提问］ 等差数列的通项公式的主要作用有哪些
解：（1）求解等差数列的公差；（2）根据通项公式求解数列中的
某一项；（3）求解数列中的某一项的项数.
考向一 求解数列的通项公式
例2（1） 已知等差数列满足，，求 的通
项公式；
解：设等差数列的公差为，由， ，得
，解得 ，
故的通项公式为
（2）已知数列满足， ，求证：
数列是等差数列，并求出 的通项公式.
解：依题意，，由，得 ，
所以数列是首项为 ，公差为1的等差数列，
则 ，
所以的通项公式为 .
变式 求下列等差数列 的通项公式.
（1）已知， ．
解：，， 公差 ，
．
（2）已知，且 ．
解：设等差数列的公差为 ，
由得
解得所以 .
（3）已知等差数列的前三项和为 ，前三项积为8.
解：设等差数列的公差为 ，由题意得
解得或
所以数列 的通项公式为 或
．
［素养小结］
当已知数列中任意两项时，可将其用首项及公差 进行表示，构建
方程组，以求解首项及公差，再利用 进行求解.
考向二 求等差数列的公差
例3 已知等差数列的公差为,,,则
( )
A.2 B.3 C.6 D.9
[解析] 由题意得
由 得,解得 .故选A.
√
变式（1） 若等差数列满足 ,
,则等差数列的公差 ( )
A. B.1 C.0 D.
[解析] ,
解得 .故选A.
√
（2）[2024·西安高二期中]在1和31之间插入14个数，使它们与1，31
构成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为( )
A. B.30 C. D.2
[解析] 设这16个数对应公差为的等差数列 的前16项，
则由题意可知， ，
故，解得 .故选D.
√
［素养小结］
已知等差数列中任意两项求等差数列的公差的方法:
（1）利用等差数列的通项公式,得到关于公差的方程（组）,解方程
（组）即可求出公差；
（2）利用 可直接求出公差.
考向三 根据通项公式求解数列的项或项数
例4（1） 已知数列满足，其中，则
( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 由，得,则 是等差数列，
设的公差为,则,故 .故选C.
√
（2）已知数列是等差数列,且, .
①求数列 的通项公式;
解：设数列的公差为 ,
由题意可知解得
所以 .
②若,求 的值.
解：由,得,解得 .
变式 若数列是等差数列，其公差，且 ，则
( )
A.18 B. C. D.12
[解析] 由等差数列的定义可知
，
所以，所以数列为等差数列，且公差为 ，
所以 .故选C.
√
［素养小结］
等差数列的通项公式是解决等差数列问题的重要工具,在本节中其应
用主要有三个方面：一是用来求解等差数列的通项,二是可以求公差,
三是用来求解数列中的项和项数，列方程判断某项是否为等差数列
中的项.
拓展 已知等差数列的公差为,且, .
（1）求 的值.
解：由题意得解得
所以 .
（2）判断该数列从第几项开始为正数
解：由（1）知 ，
令,得,解得 ,
所以该数列从第25项开始为正数.
1.若等差数列满足，，则 ( )
A.24 B.23 C.17 D.16
[解析] 设等差数列的公差为，因为， ，
所以解得 故选A.
√
2.在等差数列中，，公差，则 ( )
A.25 B.12 C.16 D.8
[解析] 由等差数列的通项公式可得，则 ,
所以,所以 .故选B.
√
3.（多选题）在等差数列中，，，则数列
的公差 的值可能为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由已知可得，整理可得 ，
解得.故选 .
√
√
4.等差数列40，37，34， 中的第一个负数项是第____项.
15
[解析] 设此数列为，则，公差 ，
所以 .
令，解得，
又因为，所以 ，所以等差数列40，37，34， 中的第
一个负数项是第15项.
5.已知数列,的通项公式分别为, ，设
由这两个数列的公共项从小到大排列构成的数列为，则数列
的通项公式为____________.
[解析] 由题知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列
是首项为1，公差为3的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的数列 是首项为1，
公差为6的等差数列，
故 .
1.等差数列定义的注意点
（1）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均
与其前面一项作差,如若不然,从第1项起，首项没有“前一项”；从第3
项（或第4项 ）起作差,则势必遗漏前若干项.
（2）定义中“每一项与它前一项的差”,它的含义有两个,其一是强调
作差的顺序,即后面的项减前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
（3）定义中的“公差”就是相邻两项的差值,是同一个具体常数,可据
此求解公差.
（4）判断一个数列是否为等差数列，只需看对于任意的正整数 ，
是不是等于同一个常数，切记不可通过计算 ,
, 等几个有限的式子的值后，根据它们都是同一个常数，
就得出该数列为等差数列的结论，因为由特殊到一般得出的结论不
一定正确.
2.等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式 ，可得
，当 时，等差数列通项公式中等号右边是
关于自变量 的一次整式，一次项系数就是等差数列的公差.
因此，从图象上看，表示数列 的各点均匀分布在一条直线上.
当时， ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行
于轴的直线（或 轴）上的均匀分布的一群孤立的点.
总之，等差数列的图象是直线 上的均匀分布的一
群孤立的点.
（1）当 时,等差数列的图象为
（2）当 时,等差数列的图象为
（3）当 时,等差数列的图象为
1.判断一个数列是否为等差数列的常见方法
（1）定义法：（常数） 为等差数列;
（2）定义变形法： 为等差
数列；
（3）通项法：为的一次函数或常函数 为等差数列.
例1（1） 已知数列中，, ,且
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,
，
数列是等差数列，又, ,
, ,
等差数列的公差为 ，
,
故 .故选A.
（2）已知数列满足，，则
( )
A. B.3 C. D.1
[解析] ，
，
数列是公差为 的等差数列，
由 ，得 .故选D.
√
2.等差数列的通项公式是关于,,, 之间的运算,称为基本量的运
算,这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识.求解时,先
根据两个独立的条件解出两个量和,进而再写出 的表达式.
例2 已知等差数列中,, ,试判断153是不是这个
数列中的项？如果是,是第几项？
解：设等差数列的公差为,则 .
, ,
解得
.
令,则,解得 ,
故153是数列 中的项，且是第45项.5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
【课前预习】
知识点一
前一项 同一个常数d an+1-an=d
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)该数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是16,是等差数列.
(3)当一个数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列.
2.解:定义中的“同一个常数”可理解为:从第2项起,每一项与其前一项的差是常数,且是唯一的常数,否则这个数列不能称为等差数列.例如an-an-1=n,其中的差n的值会随着两个相邻项的变化而变化,则满足这种条件的数列就不是等差数列.
知识点二
1.a1+(n-1)d 2.(n-m)
诊断分析
解:可以.首先利用d= 求出公差d,再利用an=a1+(n-1)d求出a1,当确定了首项及公差后便可求出数列{an}的通项公式.
知识点三
1.(1)常 常 (2)一次 递增 递减
(3)f(x)=dx+a1-d d
2.kn+b
诊断分析
1.(1)√ (2)√ [解析] (1)若点(n,an)(n∈N+)落在直线y=x上,则an=n,所以an+1-an=1,所以数列{an}是等差数列.
(2)若an=3n+2,则点(n,an)所在直线的方程为y=3x+2,此直线的斜率为3.
2.解:所有等差数列的通项公式都可以写成形如an=kn+b的形式,但是只有当公差不为零时,通项公式对应的函数才是一次函数.而当公差为零时,通项公式对应的函数是常数函数.
3.解:其几何意义是“直线的斜率等于公差d”,所以当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵an=pn2+qn,∴an+1=p(n+1)2+q(n+1),
当{an}为等差数列时,an+1-an=2pn+p+q是一个与n无关的常数,∴2p=0,即p=0,q为任意常数.
(2)证明:由(1)得an+1-an=2pn+p+q,
则当n≥2时,an-an-1=2p(n-1)+p+q,
两式相减得(an+1-an)-(an-an-1)=2p,
故{an+1-an}是等差数列.
变式 证明:由题得an+1+an-1=2an+4(n≥2),
则an+1-an=an-an-1+4(n≥2),
故{an+1-an}是首项为a2-a1,公差为4的等差数列.
拓展 解:(1)证明:由an+1=2an+3×2n-1(n∈N*),得=+(n∈N*),即=+(n∈N*),
所以-=(n∈N*),又=,
所以数列是首项为,公差为的等差数列.
(2)由(1)知数列的通项公式为=+(n-1)×=(3n-1),
所以an=(3n-1)·2n-2(n∈N*).
探究点二
提问 解:(1)求解等差数列的公差;(2)根据通项公式求解数列中的某一项;(3)求解数列中的某一项的项数.
例2 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2+a4=10,a5=9,得(a5-3d)+(a5-d)=10,解得d=2,
故{an}的通项公式为an=a5+(n-5)d=9+2(n-5)=2n-1.
(2)依题意,bn≠0,由bn-bn+1=bnbn+1,得-=1,
所以数列是首项为=1,公差为1的等差数列,则=1+(n-1)×1=n,
所以{bn}的通项公式为bn=.
变式 解:(1)∵a1=3,a7=15,∴公差d==2,∴an=3+(n-1)×2=2n+1(n∈N*).
(2)设等差数列{an}的公差为d,
由得
解得所以an=4n(n∈N*).
(3)设等差数列{an}的公差为d,由题意得解得或所以数列{an}的通项公式为an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
例3 A [解析] 由题意得
由②-①得10d=20,解得d=2.故选A.
变式 (1)A (2)D [解析] (1)(a11+a12+…+a20)-(a1+a2+…+a10)= (a11-a1)+(a12-a2)+…+(a20-a10)=10d×10=100d=-200,解得d=-2.故选A.
(2)设这16个数对应公差为d(d>0)的等差数列{an}的前16项,则由题意可知a1=1,a16=31,故a16-a1=a1+15d-a1=15d=30,解得d=2.故选D.
例4 (1)C [解析] 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,则{an}是等差数列,设{an}的公差为d,则d=,故a3=a8-5d=-5×=2.故选C.
(2)解:①设数列{an}的公差为d,
由题意可知解得
所以an=-2+3(n-1)=3n-5.
②由an=13,得3n-5=13,解得n=6.
变式 C [解析] 由等差数列的定义可知1=d=(2an+1+1)-(2an+1)=2(an+1-an),所以an+1-an=,所以数列{an}为等差数列,且公差为,所以a12=a3+9×=5+=.故选C.
拓展 解:(1)由题意得解得
所以a14=-46+13×2=-20.
(2)由(1)知an=-46+2(n-1)=2n-48,
令an>0,得2n-48>0,解得n>24,
所以该数列从第25项开始为正数.
【课堂评价】
1.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2=20,a5=8,所以解得故选A.
2.B [解析] 由等差数列的通项公式可得a2=a1+d,则a1+4=0,所以a1=-4,所以a5=a1+4d=-4+4×4=12.故选B.
3.BD [解析] 由已知可得1+2d=(1+d)2-4,整理可得d2=4,解得d=±2.故选BD.
4.15 [解析] 设此数列为{an},则a1=40,公差d=37-40=-3,所以an=a1+(n-1)d=40-3(n-1)=-3n+43.令an=-3n+43<0,解得n>,又因为n∈N*,所以n≥15,所以等差数列40,37,34,…中的第一个负数项是第15项.
5.cn=6n-5 [解析] 由题知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列,则这两个数列的公共项从小到大排列构成的数列{cn}是首项为1,公差为6的等差数列,故cn=1+(n-1)×6=6n-5.5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列的概念及其性质,了解通项公式的推导过程;
2.掌握等差数列的通项公式;
3.学会利用一次函数的性质解决等差数列的问题,加深对等差数列本质的认识;
4.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
◆ 知识点一 等差数列的定义
一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的 之差都等于 ,即 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一座楼房第一层的每级台阶距离地面的高度(单位:cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,这组数据可以构成等差数列. ( )
(2)若数列{an}的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. ( )
(3)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项之差都是常数,则这个数列一定是等差数列. ( )
2.定义中的“同一个常数”应如何理解
◆ 知识点二 等差数列的通项公式
1.如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么该等差数列的通项公式为an= .
2.在等差数列{an}中,an-am= d或d= (m,n∈N+,m≠n),其第n项an也可以表示为an=am+(n-m)d.
【诊断分析】 若已知等差数列{an}的任意两项an和am(m,n∈N+,m≠n),可以求其通项公式吗
◆ 知识点三 从函数角度认识等差数列
1.若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),由此可看出:
(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是 数列(即公差为0的等差数列是 数列).
(2)当公差d≠0时,f(x)是 函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是 数列;当d<0时,{an}是 数列.
(3)点(n,an)落在直线 上,这些点的横坐标每增加1,函数值增加 .
2.若一个数列的通项公式是关于n的一次函数形式,则可以证明这个数列是等差数列,即{an}是等差数列的充要条件是an= ,其中公差为k,首项为b+k.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点(n,an)(n∈N+)落在直线y=x上,则数列{an}是等差数列. ( )
(2)在等差数列{an}中,若an=3n+2,则点(n,an)所在直线的斜率是3. ( )
2.是不是所有等差数列的通项公式都可以写成形如an=kn+b的形式 等差数列的通项公式对应的函数一定是一次函数吗
3.已知一个等差数列{an}的通项公式,设该数列的第s项和第t项分别为as和at,则公差d=(s,t∈N+,s≠t),请你说出其几何意义.
◆ 探究点一 等差数列的判断与证明
例1 已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q为常数).
(1)当p,q满足什么条件时,{an}是等差数列
(2)求证:{an+1-an}是等差数列.
变式 [2024·黑龙江牡丹江高二期中] 已知数列{an}满足=an+2(n∈N*,n≥2).求证:{an+1-an}是等差数列.
[素养小结]
判断和证明一个数列是等差数列意在考查逻辑推理、数学运算的核心素养.求解的方法有:
(1)定义法:利用an+1-an=d(n∈N*)判断数列{an}是否为等差数列.
(2)定义变形法:验证数列是否满足an+2-an+1=an+1-an(n∈N*),若满足,则数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:利用an=kn+b(k,b为常数)判断数列{an}是否为等差数列.
注意:通项公式法只能在小题判断中应用,不能作为大题的证明方法.
拓展 [2023·江苏南通海安中学高二月考] 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×2n-1(n∈N*).
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
◆ 探究点二 等差数列的基本量计算
[提问] 等差数列的通项公式的主要作用有哪些
考向一 求解数列的通项公式
例2 (1)已知等差数列{an}满足a2+a4=10,a5=9,求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足b1=1,bn-bn+1=bnbn+1(n∈N*),求证:数列是等差数列,并求出{bn}的通项公式.
变式 求下列等差数列{an}的通项公式.
(1)已知a1=3,a7=15.
(2)已知a2=8,且a3+a5=4a2.
(3)已知等差数列{an}的前三项和为-3,前三项积为8.
[素养小结]
当已知数列中任意两项时,可将其用首项a1及公差d进行表示,构建方程组,以求解首项a1及公差d,再利用an=a1+(n-1)d进行求解.
考向二 求等差数列的公差
例3 已知等差数列{an}的公差为d,a2+a4=4,a6+a10=24,则d= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
变式 (1)若等差数列{an}满足a1+a2+…+a10=100,a11+a12+…+a20=-100,则等差数列{an}的公差d= ( )
A.-2 B.1 C.0 D.-1
(2)[2024·西安高二期中] 在1和31之间插入14个数,使它们与1,31构成公差大于零的等差数列,则该数列的公差为 ( )
A. B.30
C.-2 D.2
[素养小结]
已知等差数列中任意两项求等差数列的公差的方法:
(1)利用等差数列的通项公式,得到关于公差的方程(组),解方程(组)即可求出公差;
(2)利用d= 可直接求出公差.
考向三 根据通项公式求解数列的项或项数
例4 (1)已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=,则a3= ( )
A.1 B. C.2 D.
(2)已知数列{an}是等差数列,且a5=10,a12=31.
①求数列{an}的通项公式;
②若an=13,求n的值.
变式 若数列{2an+1}是等差数列,其公差d=1,且a3=5,则a12= ( )
A.18 B. C. D.12
[素养小结]
等差数列的通项公式是解决等差数列问题的重要工具,在本节中其应用主要有三个方面:一是用来求解等差数列的通项,二是可以求公差,三是用来求解数列中的项和项数,列方程判断某项是否为等差数列中的项.
拓展 已知等差数列{an}的公差为d,且a11=-26,a51=54.
(1)求a14的值.
(2)判断该数列从第几项开始为正数
1.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1= ( )
A.24 B.23
C.17 D.16
2.在等差数列{an}中,a2=0,公差d=4,则a5= ( )
A.25 B.12
C.16 D.8
3.(多选题)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-4,则数列{an}的公差d的值可能为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.等差数列40,37,34,…中的第一个负数项是第 项.
5.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n-1,bn=3n-2,设由这两个数列的公共项从小到大排列构成的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为 . 5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
1.C [解析] 由an+1=an-3,得an+1-an=-3,故数列{an}是公差为-3的等差数列,又a1=7,所以数列{an}的通项公式为an=7+(n-1)×(-3)=10-3n,所以a3=10-9=1,故选C.
2.D [解析] 由ak=1+3(k-1)=2023,得k=675.故选D.
3.A [解析] 令an=90-2n>0,解得n<45,因为n∈N*,所以这个数列中为正数的项共有44项.故选A.
4.B [解析] 由题意得an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,解得n=5.
5.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由题意知,a1+a2+a3=3a1+3d=3,a4+a5+a6=3a1+12d=21,两式相减,得9d=18,所以d=2.故选A.
6.D [解析] 由a3+a9=6,得a1+2d+a1+8d=6,则a1=3-5d.因为{an}是各项均为正数的等差数列且为无穷数列,所以所以得0≤d<,故{an}的公差d的取值范围是.故选D.
7.B [解析] 设bn=,则{bn}是等差数列,设数列{bn}的公差为d.当n=1时,b1==1,当n=3时,b3==3,又b3=b1+2d,所以d=(b3-b1)=1,所以bn=1+n-1=n,所以=n,所以an=-1,所以a2024=-1=-.故选B.
【点拨】 若数列{an}不为等差数列,则可通过对{an}的每一项进行变形,构造出一个新的数列,使新数列符合等差数列的定义,再进行求解.
8.AC [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由题意得即解得9.BD [解析] 对于A,当n≥1时,an+1-an=d,则数列{an}为等差数列,故A错误;对于B,若数列{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,符合an=kn+b的形式,若an=kn+b,则an+1-an=k(n+1)+b-kn-b=k(常数),所以数列{an}为等差数列,故B正确;对于C,由an+1=,a1=1,得=+2,=1,则是以1为首项,2为公差的等差数列,故C错误;对于D,由2an+1=an+an+2,可得an+1-an=an+2-an+1,则数列{an}为等差数列,由数列{an}为等差数列可得2an+1=an+2+an,故D正确.故选BD.
10.(3n-2)2 [解析] 由题得an+1=(+3)2>0,
∴-=3,∴数列{}是等差数列,其首项为1,公差为3.∴=1+3(n-1)=3n-2,∴an=(3n-2)2.
11. [解析] 由题意得-=5,=3,所以数列是首项为3,公差为5的等差数列,所以=3+(n-1)×5=5n-2,所以=5×6-2=28,所以a6=.
12.an= [解析] 因为a1=,an+1=,所以=,==+,即-=,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以=+(n-1)=,所以an=.
13.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵∴解得
∴an=a1+(n-1)d=4n-2.
(2)由(1)可得a2028=4×2028-2=8110.
14.解:(1)由已知得,S1==0=a,
所以a=0.
(2)由a1=0得Sn=,则Sn+1=,
所以2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,
即2an+1=(n+1)an+1-nan,
则(n-1)an+1=nan,又nan+2=(n+1)an+1,
所以nan+2-(n-1)an+1=(n+1)an+1-nan,
即n(an+2-an+1)=n(an+1-an),
又n是正整数,所以对任意正整数n都有an+2-an+1=an+1-an,
所以数列{an}是等差数列.
因为a1=0,a2=p,所以{an}的公差d=p,
所以{an}的通项公式是an=(n-1)p.
15.bn=3n-1 [解析] 显然2n为偶数,则a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,由bn=a2n得bn+1=bn+3,又b1=a2=a1+1=2,所以{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以 bn=3n-1.
16.解:(1)证明:当n>1,n∈N*时,因为=,
所以an-1-2an-1an=2an-1an+an,整理得an-1-an=4an-1an,
可得-=4,即bn-bn-1=4,又因为b1==5,
所以数列{bn}是以5为首项,4为公差的等差数列.
(2)由(1)可得bn=5+(n-1)×4=4n+1,所以an=,
所以a2=,又因为a1=,所以a1a2=.
令an==,解得n=11∈N*,
所以a1a2是数列{an}中的项,且是第11项.5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
一、选择题
1.[2024·北京育才学校高二期中] 已知数列{an}满足an+1=an-3且a1=7,则a3的值是 ( )
A.-3 B.4 C.1 D.-2
2.[2023·湖北十堰高二期中] 已知{an}是首项为1,公差为3的等差数列,如果ak=2023(k∈N+),则k等于 ( )
A.667 B.668 C.669 D.675
3.已知等差数列{an}的通项公式为an=90-2n,则这个数列中为正数的项共有 ( )
A.44项 B.45项
C.90项 D.无穷多项
4.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=21,则{an}的公差为 ( )
A.2 B.3 C.6 D.18
6.[2024·河南南阳高二期末] 若{an}是各项均为正数的等差数列且为无穷数列,a3+a9=6,则{an}的公差d的取值范围是 ( )
A.[1,2) B.
C. D.
★7.已知数列是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a2024= ( )
A. B.-
C. D.-
8.(多选题)已知等差数列{an}的首项为-,若数列{an}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为 ( )
A. B. C. D.
9.(多选题)“数列{an}为等差数列”的充要条件可以是 ( )
A.当n≥2时,an+1-an=d(d为常数)
B.an=kn+b(k,b为常数)
C.a1=1,an+1=
D.2an+1=an+an+2
二、填空题
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(+3)2,则数列{an}的通项公式为an= .
11.已知数列{an}的首项为,且=+5(n∈N*),则a6= .
12.[2023·河南南阳高二期末] 已知数列{an}满足a1=,an+1=,则数列{an}的通项公式为 .
三、解答题
13.在等差数列{an}中,a2+a5=24,a17=66.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2028.
14.已知数列{an}中,a1=a,a2=p(常数p>0),对任意的正整数n,Sn=a1+a2+…+an,且Sn满足Sn=.
(1)求a的值.
(2)试判断数列{an}是不是等差数列 若是,求出其通项公式;若不是,说明理由.
15.[2023·长沙雅礼中学高二月考] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=记bn=a2n,则数列{bn}的通项公式为 .
16.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=,设bn=,n∈N*.
(1)求证:数列{bn}为等差数列.
(2)a1a2是否为数列{an}中的项 如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
