(共47张PPT)
5.2 等差数列
5.2.2 等差数列的前项和
第1课时 等差数列的前 项和公式
探究点一 与等差数列的前项和公式相关
的基本量计算
探究点二 等差数列的前项和公式的应用
探究点三 等差数列的前项和的最值
【学习目标】
1.掌握等差数列的前 项和公式及其获取思路；
2.应用等差数列的前项和公式和性质解决一些简单的与前 项
和有关的问题.
知识点一 等差数列的前 项和公式
若等差数列的公差为,其前项和为 ，则
公式1：_____________.（推导方法：倒序相加法）
公式2：__________________.（推导方法：将 代
入 即可得到）
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）等差数列的前 项的和
. ( )
√
[解析] 代入公式可知 .
（2）在等差数列中，若， ，则其前20项和
.
( )
√
[解析] .
（3）等差数列的前项和为，若， ，则数列
的公差 .
( )
×
[解析] 由解得
2.等差数列前 项和的两个公式的适用条件分别是什么
解：已知首项、末项和项数用公式 求和,已知首项、公
差和项数用公式 求和.
3.高斯曾用
迅速求出了 的值，你能用这种方法求出数列1，
2，3， ，, 的前项和 吗
解：由 ,得
,
两式相加得,所以 .
知识点二 等差数列的前 项和公式与二次函数的关系
1.公式可化成关于的解析式：
________________.当 时,是一个常数项为零的二次函数,即点
在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前 项和是
关于 的二次函数.这便给出了一种判断数列是否为等差数列的方法.
2.一般地,求等差数列的前项和 最值的主要方法有两种：
一是利用的符号：当,时,前 项和有______值,可由
且,求得取最大值时的值;当,时,前 项
和有______值,可由且,求得取最小值时 的值.
二是利用，若 ，则从二次函数的角度看：
当时，有______值；当时，有______值．当 取最接
近对称轴的正整数时， 取到最值．
等差数列的前 项和公式不仅给出了一种判断数列是否为等差数列的
方法,同时也告诉我们可以借助于二次函数的图象和性质（主要指单
调性和最值）来研究与等差数列前 项和有关的问题.
最大
最小
最小
最大
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列为等差数列，，，则的最大值在
为8或9时取到.
( )
√
[解析] 由可得， ，
所以.又，所以的公差，
当时， ，当时，，
所以的最大值在 为8或9时取到.
（2）若等差数列满足， ，则当
的前项和最大时， .
( )
√
[解析] 因为等差数列满足 ，
，所以，，
即等差数列 的前10项均为正数，从11项开始为负数，故当的
前 项和最大时， .
（3）在数列中，若，，则的前 项和
取得最大值时 的值有两个.
( )
√
[解析] 因为，所以数列是公差为 的等差数列，
又，所以.
令，解得 ，
所以当或时， 取得最大值.
2.等差数列前 项和的最值问题的求解与二次函数的最值问题的求解
有什么区别
解：等差数列前项和的最值问题是在 的条件下求解的,二次函
数的最值问题的求解一般是在实数集范围内进行的.
探究点一 与等差数列的前 项和公式相关的基本量计算
例1 已知等差数列的公差为,前项和为 .
（1）若,，，求及 ；
解：由，整理得 ，
解得或（舍去），则 .
（2）若,,，求 .
解：由,解得 .
由，得，解得 .
变式（1） 已知为等差数列，为其前项和.若 ，
，则 ( )
A.55 B.81 C.90 D.100
[解析] 设等差数列的公差为，
， ，
解得
.故选D.
√
（2）已知为等差数列的前项和，且 ，则
( )
A.6 B.12 C.24 D.48
[解析] 由 ，得
,即，解得 .
设等差数列的公差为 ，则
.故选B.
√
［素养小结］
解决与等差数列的前 项和公式相关的基本量计算问题，意在考查逻
辑推理、数学运算的核心素养，求解的关键是需用好“方程”思想，
等差数列的5个基本量,,,, ，一般可以“知三求二”，通过等差
数列的通项公式与前 项和的公式，列出方程（组），即可以求出所
要求的量.
探究点二 等差数列的前 项和公式的应用
例2 已知等差数列的前三项依次为,4,，记其前项和为 .
（1）求 的值；
解：设数列的公差为，由已知得，， ，
因为，所以，解得 .
（2）若，求 的值；
解：由（1）得， ，
又，所以 ，
即，解得或 （舍去），
故 .
（3）设，,求 .
解：由，得 ，
所以,所以, ,
即数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以,,, ,仍是等差数列，且共有 项，
所以 .
变式 [2024·广东潮州高二期中] 已知数列的前 项和
,则其通项公式为________;若数列的第 项满
足,则 ___.
8
[解析] 当时,;
当 时, .
当时,也成立,所以数列 的通项公式为
.
由,得,解得 ,又,所以 .
［素养小结］
已知等差数列的前 项和，求首项、公差或项数的关键是利用方程
（组）的思想，即根据等差数列的前 项和公式与通项公式，得到关
于首项、公差或项数的方程（组），解方程（组），即可求出相应
量的值.
拓展 [2024·江苏淮安高二期中] 已知是等差数列的前 项和，
且， .
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 .
由题得解得
所以 .
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）得 .
由,可得 ，
所以当时， ，
当时，
故
探究点三 等差数列的前 项和的最值
［提问］ 等差数列的前 项和都有最大值与最小值吗
解：若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最小值,没有最大值;
若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最大值,没有最小值.
所以等差数列的前 项和不是都有最大值与最小值.
例3（1） 设等差数列的前项和为,已知, ,当
时， 的最小值是( )
A.15 B.16 C.17 D.18
[解析] 由，得 ,
根据等差数列的性质可得,所以,所以.
因为 ，所以,所以数列的公差,所以,
所以 ，
故当时， 的最小值是15.故选A.
√
（2）设为等差数列的前项和,若,,则使
成立的最小正整数 的值为___.
8
[解析] 由题意知,, ,
所以，
故使成立的最小正整数 的值为8.
（3）已知是数列的前项和，且 ，则
_____， 的最小值为_____.
[解析] ，
，
当或6时，取得最小值 .
变式 （多选题） [2024·河南濮阳高二期中] 设等差数列的前
项和为,公差为,若，, ，则下列结论正确的是
( )
A.
B.当时， 取得最大值
C.
D.使得成立的最大整数 的值是17
√
√
√
[解析] 对于A，因为等差数列 中，
，，所以 ，则
，故A正确；
对于B，显然当时， 取得最大值，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，， ，故使得
成立的最大整数，故D错误.故选 .
［素养小结］
求等差数列的前 项和的最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学
运算的核心素养，常用的两种方法如下：
（1）将 配方，转化为求二次
函数的最值问题，借助函数单调性来解决.
（2）邻项变号法：
当，时，满足的项数使 取得最大值；
当，时，满足的项数使 取得最小值.
1.[2024·石家庄高二期末]已知等差数列的前项和为, ,
，则 ( )
A.25 B.27 C.30 D.35
[解析] 设等差数列的公差为 ，则
，
又，所以，解得 ，
则 .
故选A.
√
2.已知等差数列的前项和为,若,公差, ,则
( )
A.33 B.34 C.35 D.36
[解析] ,,
解得 （舍去）或 .故选D.
√
3.已知数列为等差数列，是其前项和，若， ，
则 ( )
A.96 B.72 C.48 D.60
[解析] 方法一：由题意得解得
所以 .故选C.
方法二： .故选C.
√
4.（多选题）[2024·山东临沂高二期中] 设公差为的等差数列 的
前项和为，若, ，则( )
A. B.
C.中最大 D.
√
√
[解析] 由，得 ，
由，得，则 ，
所以，故A错误，B错误；
因为，， ，所以数列 是递减数列，
其前6项均为正数，从第7项起均为负数，故最大，故C正确；
因为， ，所以,，，
所以，故D正确.故选 .
5.已知数列是等差数列，且 ，设数列
的前项和为，则 ____.
39
[解析] 设数列的公差为， ，
，
整理得， .
1.等差数列的前 项和公式的推导方法
（1）倒序相加法.
（2）除（1）之外,对于等差数列求和公式的推导,还可以有其他的推
导途径.例如：
.
这两个公式是可以相互转化的,把 代入
中,就可以得到 .
2.等差数列前 项和公式的图形理解
我们可以根据梯形面积公式的两种推导方法“补形”“分割”理解等差
数列的两个前 项和公式，如图所示.
3.等差数列前 项和公式的选用
分析和 两个公式可得，它们的
共同点是需要知道和，不同点是公式还需要知道 ，
公式还需要知道 ，解题时需根据已知条件决定选
用哪个公式.
当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便；
当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便.
在运用公式 时，注意结合等差数列的性质.
4.等差数列前 项和的最值
设等差数列的首项为，公差为 ，则
（1）当，时，有最大值 ，无最小值；
（2）当，时，数列 只有前面的有限项为非负数，从
某项开始其余所有项均为负数，所以 有最大值，无最小值；
（3）当，时，数列 只有前面的有限项为负数，从某
项开始其余所有项均为非负数，所以 有最小值，无最大值；
（4）当，时，有最小值 ，无最大值；
（5）当时，数列 为常数列.
5.数列的前项和公式为
（1）当时,,用这种已知数列的来确定 的方
法对于任何数列都是可行的,但要注意 不一定满足由
求出的通项公式,所以最后要验证首项是否满足.
（2）当时,数列是一个以为首项, 为公差的等差数列;
当时,数列不是等差数列,但是从第二项起构成了以 为
首项,以 为公差的等差数列.
基本量法：在解决等差数列问题时,若已知,,,, 中的任意三个,
则可求其余两个,这种问题在数学上常被称为“知三求二”型,这是求解
等差数列问题的基本方法.
例 已知数列是等差数列,其前项和为,若,,求 .
解：方法一：设数列的公差为,, ,
解得
.
方法二：设数列的公差为, ,
,即 ，
解得,则 ，
故 .5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
【课前预习】
知识点一
Sn= Sn=na1+
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× [解析] (1)代入公式可知Sn-1=(n-1)a1+.
(2)S20=20×2+=420.
(3)由解得
2.解:已知首项、末项和项数用公式Sn=求和,已知首项、公差和项数用公式Sn=na1+求和.
3.解:由Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,得Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,两式相加得2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+…+[(n-1)+2]+(n+1)=n(n+1),所以Sn=.
知识点二
1.n2+n 2.最大 最小 最小 最大
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ [解析] (1)由S6=S11可得,a7+a8+a9+a10+a11=5a9=0,所以a9=0.又a1>0,所以{an}的公差d<0,当1≤n≤8时,an>0,当n≥10时,an<0,所以Sn的最大值在n为8或9时取到.
(2)因为等差数列{an}满足a9+a10+a11=3a10>0,a8+a13=a10+a11<0,所以a10>0,a11<0,即等差数列{an}的前10项均为正数,从11项开始为负数,故当{an}的前n项和最大时,n=10.
(3)因为-an=-4,所以数列{an}是公差为-4的等差数列,又a1=32,所以an=-4n+36.令an=-4n+36≥0,解得n≤9,所以当n=8或n=9时,Sn取得最大值.
2.解:等差数列前n项和的最值问题是在n∈N*的条件下求解的,二次函数的最值问题的求解一般是在实数集范围内进行的.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由Sn=n×+×=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),则a12=+(12-1)×=-4.
(2)由Sn===-1022,解得n=4.
由an=a1+(n-1)d,得-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
变式 (1)D (2)B [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a9=18,a4=7,∴解得∴S10=10a1+d=10×1+45×2=100.故选D.
(2)由+4a4=30,得×+4a4=×+4a4=30,即5a4=30,解得a4=6.设等差数列{an}的公差为d,则3a5-a7=3(a1+4d)-(a1+6d)=2a1+6d=2(a1+3d)=2a4=12.故选B.
探究点二
例2 解:(1)设数列{an}的公差为d,由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,因为2a2=a1+a3,所以8=a-1+2a,解得a=3.
(2)由(1)得a1=2,d=a2-a1=2,
又Sk=ka1+,所以2k+=2550,
即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),
故k=50.
(3)由Sn=na1+,得Sn=2n+=n2+n,所以bn==n+1,所以b1=2,bn+1-bn=n+2-n-1=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
所以b3,b7,b11,…,b4n-1仍是等差数列,且共有n项,
所以Tn=b3+b7+b11+…+b4n-1===2n2+2n.
变式 2n-10 8 [解析] 当n=1时,a1=S1=1-9=-8;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.当n=1时,an=2n-10也成立,所以数列{an}的通项公式为an=2n-10.由5
拓展 解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题得解得
所以an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
(2)由(1)得Sn===10n-n2.
由an=-2n+11≥0,可得n≤5,
所以当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2,
当n>5时,Tn=-Sn+2S5=n2-10n+2×25=n2-10n+50.
故Tn=
探究点三
提问 解:若等差数列的公差d>0,则该数列的前n项和有最小值,没有最大值;若等差数列的公差d<0,则该数列的前n项和有最大值,没有最小值.所以等差数列的前n项和不是都有最大值与最小值.
例3 (1)A (2)8 (3)-10 -30 [解析] (1)由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质可得a7+a8=0,所以a1+ a14=0,所以S14=0.因为a1>0,所以a14<0,所以数列{an}的公差d<0,所以a15<0,所以S15<0,故当Sn<0时,n的最小值是15.故选A.
(2)由题意知,S7=7a4<0,a4+a5>0,所以S8==4(a4+a5)>0,故使Sn>0成立的最小正整数n的值为8.
(3)∵Sn=n2-11n(n∈N*),∴a1=S1=12-11×1=-10.∵Sn=n2-11n=-,∴当n=5或6时,Sn取得最小值-30.
变式 ABC [解析] 对于A,因为等差数列{an}中,S16==8(a8+a9)>0,a9<0,所以a8>0,则d=a9-a8<0,故A正确;对于B,显然当n=8时,Sn取得最大值,故B正确;对于C,a4+a5+a18=3a1+24d=3(a1+8d)=3a9<0,故C正确;对于D,S16=8(a8+a9)>0,S17==17a9<0,故使得Sn>0成立的最大整数n=16,故D错误.故选ABC.
【课堂评价】
1.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则=6(a1+4d)+27,
又a1=1,所以(1+4d)×9=6(1+4d)+27,解得d=2,
则S5==25.
故选A.
2.D [解析] ∵Sn=na1+,∴0=35n+,解得n=0(舍去)或n=36.故选D.
3.C [解析] 方法一:由题意得解得所以S12=12×+×=48.故选C.
方法二:S12====48.故选C.
4.CD [解析] 由S11=(a1+a11)=11a6>0,得a6>0,
由S12=(a1+a12)=6(a6+a7)<0,得a6+a7<0,则a7<0,所以d<0,故A错误,B错误;因为a6>0,a7<0,d<0,所以数列{an}是递减数列,其前6项均为正数,从第7项起均为负数,故S6最大,故C正确;因为a6+a7=a4+a9<0,a4>a9,所以a4>0,a9<0,a4<-a9,所以|a4|<|a9|,故D正确.故选CD.
5.39 [解析] 设数列{an}的公差为d,∵a2+a6+a7+2a10=15,∴a1+d+a1+5d+a1+6d+2(a1+9d)=15,整理得a1+6d=3,∴S13=(a1+a13)=13(a1+6d)=13×3=39.5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
【学习目标】
1.掌握等差数列的前n项和公式及其获取思路;
2.应用等差数列的前n项和公式和性质解决一些简单的与前n项和有关的问题.
◆ 知识点一 等差数列的前n项和公式
若等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn,则
公式1: .(推导方法:倒序相加法)
公式2: .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的前n-1(n≥2,n∈N*)项的和Sn-1=(n-1)a1+. ( )
(2)在等差数列{an}中,若a1=2,d=2,则其前20项和S20=420. ( )
(3)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则数列{an}的公差d=2. ( )
2.等差数列前n项和的两个公式的适用条件分别是什么
3.高斯曾用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了1+2+3+…+100的值,你能用这种方法求出数列1,2,3,…,n,…的前n项和Sn吗
◆ 知识点二 等差数列的前n项和公式与二次
函数的关系
1.公式Sn=na1+可化成关于n的解析式:Sn= .当d≠0时,是一个常数项为零的二次函数,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和是关于n的二次函数.这便给出了一种判断数列是否为等差数列的方法.
2.一般地,求等差数列{an}的前n项和Sn最值的主要方法有两种:
一是利用an的符号:当a1>0,d<0时,前n项和有 值,可由an≥0且an+1≤0,求得Sn取最大值时n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有 值,可由an≤0且an+1≥0,求得Sn取最小值时n的值.
二是利用Sn=n2+n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有 值;当d<0时,Sn有 值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.
等差数列的前n项和公式不仅给出了一种判断数列是否为等差数列的方法,同时也告诉我们可以借助于二次函数的图象和性质(主要指单调性和最值)来研究与等差数列前n项和有关的问题.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等差数列,a1>0,S6=S11,则Sn的最大值在n为8或9时取到. ( )
(2)若等差数列{an}满足a9+a10+a11>0,a8+a13<0,则当{an}的前n项和最大时,n=10. ( )
(3)在数列{an}中,若a1=32,=an-4,则{an}的前n项和Sn取得最大值时n的值有两个. ( )
2.等差数列前n项和的最值问题的求解与二次函数的最值问题的求解有什么区别
◆ 探究点一 与等差数列的前n项和公式相关的基本量计算
例1 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
(1)若a1=,d=-,Sn=-15,求n及an;
(2)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
变式 (1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1+a9=18,a4=7,则S10= ( )
A.55 B.81
C.90 D.100
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且+4a4=30,则3a5-a7= ( )
A.6 B.12
C.24 D.48
[素养小结]
解决与等差数列的前n项和公式相关的基本量计算问题,意在考查逻辑推理、数学运算的核心素养,求解的关键是需用好“方程”思想,等差数列的5个基本量a1,d,an,n,Sn,一般可以“知三求二”,通过等差数列的通项公式与前n项和的公式,列出方程(组),即可以求出所要求的量.
◆ 探究点二 等差数列的前n项和公式的应用
例2 已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,4,2a,记其前n项和为Sn.
(1)求a的值;
(2)若Sk=2550,求k的值;
(3)设bn=,Tn=b3+b7+b11+…+b4n-1,求Tn.
变式 [2024·广东潮州高二期中] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式为an= ;若数列{an}的第k项满足5[素养小结]
已知等差数列的前n项和,求首项、公差或项数的关键是利用方程(组)的思想,即根据等差数列的前n项和公式与通项公式,得到关于首项、公差或项数的方程(组),解方程(组),即可求出相应量的值.
拓展 [2024·江苏淮安高二期中] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且a7=-3,S9=3a4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
◆ 探究点三 等差数列的前n项和的最值
[提问] 等差数列的前n项和都有最大值与最小值吗
例3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn<0时,n的最小值是( )
A.15 B.16
C.17 D.18
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n的值为 .
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2-11n(n∈N*),则a1= ,Sn的最小值为 .
变式 (多选题) [2024·河南濮阳高二期中] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a1>0,S16>0,a9<0,则下列结论正确的是 ( )
A.d<0
B.当n=8时,Sn取得最大值
C.a4+a5+a18<0
D.使得Sn>0成立的最大整数n的值是17
[素养小结]
求等差数列的前n项和的最值,意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养,常用的两种方法如下:
(1)将Sn=na1+=n2+n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.
(2)邻项变号法:
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取得最大值;
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取得最小值.
1.[2024·石家庄高二期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S9=6a5+27,则S5=( )
A.25 B.27
C.30 D.35
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=35,公差d=-2,Sn=0,则n= ( )
A.33 B.34
C.35 D.36
3.已知数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,若a4=3,a9=5,则S12= ( )
A.96 B.72
C.48 D.60
4.(多选题)[2024·山东临沂高二期中] 设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11>0,S12<0,则 ( )
A.d>0 B.a7>0
C.{Sn}中S6最大 D.|a4|<|a9|
5.已知数列{an}是等差数列,且a2+a6+a7+2a10=15,设数列{an}的前n项和为Sn,则S13= . 5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
1.C [解析] 依题意知a1=a2-d=0,所以S10=10a1+d=45×2=90.故选C.
2.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,依题意可得S3=3×2+×3×2d=12,解得d=2,所以a6=2+(6-1)×2=12.故选C.
3.D [解析] 由S7=a1+a2+…+a7=7a4=21,得a4=3,则d==-1.故选D.
4.B [解析] 等差数列的前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn(a,b为常数),不含常数项,而题中Sn=n2+2n+1+λ,所以λ=-1.故选B.
【点拨】 等差数列的前n项和Sn对应的函数f(x)是一个二次函数,但此函数中不含有常数项.
5.C [解析] 由题知am=Sm-Sm-1=2(m≥2),am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列{an}的公差d=am+1-am=1.由Sm==0,得a1=-2,所以am=-2+(m-1)×1=2,解得m=5.故选C.
6.B [解析] ∵等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,
∴Sn=n+=n2.由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=2(2n+2)=36,解得n=8.故选B.
7.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,∵a3=-3,S7=-7,∴a1+2d=-3,7a1+21d=-7,可得a1=-7,d=2,∴an=-7+2(n-1)=2n-9.令an≤0,解得n≤,则Sn的最小值为S4=-7-5-3-1=-16.故选C.
8.ABC [解析] 对于A,因为an=2n-25,所以a1=-23,所以Sn==n2-24n=(n-12)2-144,所以当n=12时,Sn取得最小值,故A正确;对于B,因为an=-3n+27,所以a1=24,所以Sn==-n2+n=-,所以当n=8或n=9时,Sn取得最大值,最大值为S8=-×64+×8=108,故B正确;对于C,若S13=S17,则S17-S13=a17+a16+a15+a14=0,又a17+a14=a16+a15,所以a16+a15=0,所以S30===0,故C正确;对于D,若a1>0,S6=S12,则S12-S6=a12+a11+a10+a9+a8+a7=0,则a12+a7=a11+a8=a10+a9=0,所以{an}的公差d=-a1<0,所以等差数列{an}为递减数列,所以a1>a2>…>a9>0>a10>a11>…,所以Sn取最大值时n的值为9,故D错误.故选ABC.
9.BCD [解析] S17==,∵S17<0,
∴a9<0,故B正确;又a8>0,∴无法判断a8+a9的正负,故A错误;∵a8>a9,∴数列{an}为递减数列,故C正确;当n=8时,Sn取得最大值,即Sn≤S8,故D正确.故选BCD.
10.10 130 [解析] ∵a2+a7+a12=3a7=30,∴a7=10,
∴S13==13a7=13×10=130.
11.29 [解析] 设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由S30=5(a5+3a10+2ak),得30a1+=5[a1+4d+3(a1+9d)+2a1+2(k-1)d],即6a1+87d=6a1+(2k+29)d,解得k=29.
12.2n-17 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则a1=a2-d=-13-d,d为整数,所以Sn=a1n+d=(-13-d)n+d=n2-n.由Sn≥S8,结合二次函数的图象与性质可得d>0,≤-≤,解得≤d≤,所以d=2,所以a1=a2-d=-15,所以an=a1+(n-1)d=-15+2(n-1)=2n-17.
13.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.
(2)由(1)知Sn==n(n+2),则bn==n+2,则bn+1-bn=1,b1=3,
所以数列{bn}是以3为首项,1为公差的等差数列,所以Tn=3n+×1=.
14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3a10=-40,S5=-20,
得解得
所以{an}的通项公式为an=-8+2(n-1)=2n-10.
(2)由(1)知Sn=-8n+×2=n2-9n,由<1,得<1,整理得<0,
显然n>1,则由(n-5)(n-10)<0,解得515.-m-p [解析] 不妨设m>p,则Sm-Sp=ap+1+…+am=·(m-p)=p-m,所以ap+1+am=a1+am+p=-2,故Sm+p=·(m+p)=-m-p.
16.解:(1)依题意可得
即又a3=a1+2d=12,所以解得-(2)由(1)知d=-3,所以a1=a3-2d=12-2×(-3)=18,所以an=a1+(n-1)d=18-3(n-1)=21-3n.
当an≥0时,n≤7,
即a1>a2>a3>…>a7=0,所以当n=6或n=7时,Sn取得最大值.5.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
一、选择题
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,公差d=2,则S10= ( )
A.200 B.100
C.90 D.80
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6= ( )
A.8 B.10
C.12 D.14
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=21,a2=5,则{an}的公差d= ( )
A.-3 B.3
C.1 D.-1
★4.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2(m≥2),Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,且Sn+2-Sn=36,则n的值为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=-3,S7=-7,则Sn的最小值为 ( )
A.-12 B.-15
C.-16 D.-18
8.(多选题)[2024·黑龙江哈尔滨高二期末] 已知{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,则下列结论正确的是 ( )
A.若an=2n-25,则Sn取最小值时n的值为12
B.若an=-3n+27,则Sn的最大值为108
C.若S13=S17,则必有S30=0
D.若a1>0,S6=S12,则Sn取最小值时n的值为9
9.(多选题)[2023·湖北孝感高二期末] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8>0,S17<0,则下列结论正确的有 ( )
A.a8+a9<0
B.a9<0
C.数列{an}为递减数列
D.对任意n∈N*,都有Sn≤S8
二、填空题
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则a7= ,S13= .
11.[2023·河北沧州高二期中] 在公差不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项的和,若S30=5(a5+3a10+2ak),则正整数k= .
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1为整数,a2=-13,Sn≥S8,则数列{an}的通项公式为an= .
三、解答题
13.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,a1=3,a5+a6=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
14.[2024·陕西韩城高二期中] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3a10=-40,S5=-20.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使<1成立的n的取值集合.
15.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= .
16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且a3=12,S12>0,S13≤0.
(1)求d的取值范围.
(2)若d∈Z,则Sn是否存在最大值 若存在,求使得Sn取得最大值的n的值;若不存在,请说明理由.