(共43张PPT)
5.2 等差数列
5.2.2 等差数列的前项和
第2课时 等差数列的前 项和的性质及其应用
探究点一 等差数列前项和的性质及其应用
探究点二 等差数列前项和公式的应用
探究点三 裂项相消法在等差数列求和中的应用
【学习目标】
1.掌握等差数列前 项和的性质及其应用；
2.掌握裂项相消法在等差数列求和中的应用；
3.能在具体的问题情境中,发现等差数列的前 项和的模型,并解
决相应的问题.
知识点 等差数列的前 项和的性质
1.若数列是等差数列,是其前项和, ,那么___,_________,
__________成等差数列,如图所示.
2.若,分别为两个等差数列和的前项和,则 .
3.设数列是公差为的等差数列,是前项中奇数项的和, 是前
项中偶数项的和,则数列的前项和 ,当等差数列的
项数为奇数时,中间一项记为,当 时，有如下性质：
（1）当为偶数时, ____;
（2）当为奇数时,____,_______,_______,
____, ___.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若是等差数列,则,, 也是等差数列. ( )
√
[解析] 设数列的公差为,则 ,
,
所以,即 ,
, 也是等差数列.
（2）设等差数列，的前项和分别为，，若 ，
则 .( )
√
[解析] .
探究点一 等差数列前 项和的性质及其应用
例1（1） 已知数列满足， 则
的前40项之和为______.
1980
[解析] 由题得，又, ，
所以 ，即，
所以数列 的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列.
同理，由知，数列 的偶数项是以3为首项，5为
公差的等差数列.
所以 的前40项和
.
（2）一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与奇数项
之和的比为,求该数列的公差 的值.
解：设该等差数列前12项中偶数项之和为,奇数项之和为 ,
则解得
由，得 .
（3）设等差数列的前项和为,若,,求 的值.
解：方法一：设等差数列的公差为 ,
由题意可得解得
所以 .
方法二：由题知,,,, 成等差数列,
设其公差为 .
, ,
又, ,
.
（4）已知,均为等差数列,其前项和分别为, ,且
,求 .
解： .
变式（1） 已知某等差数列共有 项，且其中所有奇
数项之和为132，所有偶数项之和为120，则 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 由题意，设该等差数列的前项之和为 ，
其中所有奇数项之和为,所有偶数项之和为 ，
，
，
， ，
解得 .故选C.
√
（2）已知等差数列的前项和为，若， ，则
( )
A.63 B.71 C.99 D.117
[解析] 由题得，， 也成等差数列，即
，
又，，所以 ，
故 .故选C.
√
（3）[2023·山东菏泽三桐中学高二月考]已知两个等差数列 和
的前项和分别为，，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
［素养小结］
（1）在等差数列中，设其前项和为,则， ，
也构成等差数列.
（2）若与均为等差数列，且前项和分别为与 ，则
.
（3）若等差数列的前项和为，则数列 是等差数列，且首
项为，公差为 .
（4）项的个数的“奇偶”性质.为等差数列，公差为 .
①若共有项，则，， ；
②若共有项，则， ，
.
探究点二 等差数列前 项和公式的应用
例2 我国古代《九章算术》一书中记载有一道“竹九节”问题：“今有
竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容，各
多少？”其意思是：今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升.问使
中间两节也均匀变化，每节容量是多少 在这个问题中，最下面1节
的容量是___升，9节总容量是____升.
[解析] 设由下而上9节容量分别为,, ,，则,, , 成等
差数列，设其公差为，
则由题意得 ，
，
解得， ，所以 .
变式 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石
板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外
每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向
外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板
（不含天心石） 块，则上层有扇面形石板_____块.
[解析] 记由内到外每环扇面形石板的块数构成等差数列 ，且公
差，.
设每层有环，则， ，
所以，即 ，
即，解得或（舍去），所以 ，
则 ，
即上层有扇面形石板405块.
［素养小结］
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，
解题时要注意以下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.
（2）深入分析题意，确定是求通项公式，还是求前项和 或者
求 .
探究点三 裂项相消法在等差数列求和中的应用
［提问］ 什么是裂项相消法？
解：裂项相消法是指把数列的通项公式拆成两项之差，求和时正负
项相消，只剩下首末若干项（剩的项前后位置是对称的），达到化
简求和的方法.
把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互
抵消，从而求得前 项和.
裂项时常用的五种变形:
（1） ;
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）若数列是等差数列，且公差 ，则
.
例3 设等差数列的前项和为，且， .
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 ，
则解得
所以数列的通项公式为 .
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）知， ，
所以 .
变式 已知数列的前项和
（1）求 的通项公式；
解：当时， ，
当 时，
，
而 不满足上式，
故
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）知， ，
则当时， ，
当时， ，
则 ，
当时， 满足上式，
故 .
［素养小结］
利用裂项相消法求数列的前 项和的关键:一是“裂项”,若数列的通项
公式可表达为等差数列中某两项乘积的倒数的形式,则需把数列的通
项公式分裂成两项差的形式,如数列是公差为 的等差数列,则
;二是会“相消”,即在求数列的前 项
和的相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和.
拓展 [2024·河北沧州高二期末] 已知数列满足 ,
.
（1）证明：数列为等差数列，并求 的通项公式；
解：由，得 ，
所以 ，
所以数列是以为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 .
（2）令，求数列的前项和 .
解：因为 ，
所以 .
1.设是等差数列的前项和，若，则 ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] .故选A.
√
2.已知等差数列的公差， ，则数列
的前100项和 ( )
A.80 B.120 C.135 D.160
[解析] 在等差数列中，公差， ，
所以 ,
所以 .
故选C.
√
3.在和 之间插入10个数，使之成为等差数列，则插入的10个数的
和为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知,该数列一共有12项，设该等差数列为 ，
则，, ，
故插入的10个数的和为 .故选D.
√
4.已知等差数列中，为其前项和，若 ，
，则 ___.
5
[解析] 因为数列是等差数列，所以,, 成等差数列，
又，，所以 ，
故 .
5.数列的前10项和 ____.
[解析] ，
故数列 的前10项和
.
等差数列的前 项和的性质
（1） ，
,且 .
特别地，若，则；若 ，
，则 .
（2）由公式得 ，因
此数列是等差数列，其首项为，公差为等差数列 的公差的
一半.
由等差数列的函数特性知，点 在同一条直线上，从
而， ，
,,且 .
等差数列前 项和公式的实际应用：建立等差数列的模型时,要根据
题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
例 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥
部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现
有的参战军民连续奋战外,还需调用20辆同型号翻斗车,平均每辆车工
作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有1辆投入使用,每
隔20分钟能有1辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否
构筑成第二道防线
[解析] 从第1辆翻斗车投入工作算起,设各辆翻斗车工作的时间
（单位：小时）依次为,, , .
由题意可知,此数列为等差数列,且,公差 ,25辆翻斗车在
24小时内完成的总工作时长为
（小时）,
而构筑第二道防线需要完成的工作时长为 （小时）.
, 在24小时内能构筑成第二道防线.第2课时 等差数列的前n项和的性质及其应用
【课前预习】
知识点
1.Sk S2k-Sk S3k-S2k
3.(1)d (2)a中 a中 a中 n
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)设数列{an}的公差为d,则a3+a4=(a1+a2)+4d,a5+a6=(a3+a4)+4d,所以(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d,即a1+a2,a3+a4,a5+a6也是等差数列.
(2)===.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)1980 [解析] 由题得a2=a1+2=3,又a2n=a2n-1+2,a2n+1=a2n+3,所以a2n+1=a2n+3=a2n-1+2+3,
即a2n+1-a2n-1=5,所以数列{an}的奇数项是以1为首项,5为公差的等差数列.
同理,由a2n+2-a2n=5知,数列{an}的偶数项是以3为首项,5为公差的等差数列.
所以{an}的前40项和S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=20×1+×5+20×3+×5=1980.
(2)解:设该等差数列前12项中偶数项之和为S偶,奇数项之和为S奇,则解得由S偶-S奇=,得d=5.
(3)解:方法一:设等差数列{an}的公差为d,由题意可得解得所以S20=20×+×=-25.
方法二:由题知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,设其公差为D.
∵S4+S8-S4+S12-S8=S12,∴3S4+×D=9,
又S4=11,∴D=-8,∴S20=5S4+×D=5×11+10×(-8)=-25.
(4)解:=====.
变式 (1)C (2)C (3)A [解析] (1)由题意,设该等差数列的前(2n+1)项之和为S2n+1,其中所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132,S偶=a2+a4+…+a2n=120,∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12,∴S2n+1=S奇+S偶=132+120=252==(2n+1)an+1=12(2n+1),解得n=10.故选C.
(2)由题得S3,S6-S3,S9-S6也成等差数列,即2(S6-S3)=S3+S9-S6,又S3=9,S6=63,所以S9=162,故a7+a8+a9=S9-S6=162-63=99.故选C.
(3)=====.故选A.
探究点二
例2 [解析] 设由下而上9节容量分别为a1,a2,…,a9,则a1,a2,…,a9成等差数列,设其公差为d,则由题意得a1+a2+a3=3a1+3d=4,a6+a7+a8+a9=4a1+26d=3,解得a1=,d=-,所以S9=9a1+d=.
变式 405 [解析] 记由内到外每环扇面形石板的块数构成等差数列{an},且公差d=9,a1=9.设每层有k环,则n=3k,Sn=3402,所以Sn=na1+=3402,即9n+=3402,即n2+n-756=0,解得n=27或n=-28(舍去),所以k=9,则S9=9a1+=9×9+=405,即上层有扇面形石板405块.
探究点三
提问 解:裂项相消法是指把数列的通项公式拆成两项之差,求和时正负项相消,只剩下首末若干项(剩的项前后位置是对称的),达到化简求和的方法.
把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和.
裂项时常用的五种变形:
(1)=(k≠0);
(2)=;
(3)=(-)(k≠0);
(4)=;
(5)若数列{an}是等差数列,且公差d≠0,则=.
例3 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=2+n-1=n+1.
(2)由(1)知,bn===×,所以Tn=b1+b2+…+bn=×+×+…+×=×=×=.
变式 解:(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n+1-[(n-1)2-(n-1)+1]=2n-2,而a1=1不满足上式,
故an=
(2)由(1)知a1=1,a2=2×2-2=2,
则当n=1时,=,
当n≥2时,==×,
则Tn=+×=+×=(n≥2),
当n=1时,T1==满足上式,故Tn=.
拓展 解:(1)由2an+1-anan+1=1,得an+1=,
所以-=-=-==-1,
所以数列是以=-2为首项,-1为公差的等差数列,
所以=-2+(-1)(n-1)=-n-1,所以an=.
(2)因为bn==-=-=-,
所以Tn=1-+-+-+…+-=1-=.
【课堂评价】
1.A [解析] ===×=1.故选A.
2.C [解析] 在等差数列{an}中,公差d=,a2+a4+…+a100=80,所以a1+a3+…+a99=a2+a4+…+a100-50d=80-50×=55,所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=80+55=135.故选C.
3.D [解析] 由题可知,该数列一共有12项,设该等差数列为{an},则a1=a,a12=b,a1+a12=a2+a11=…=a6+a7=a+b,故插入的10个数的和为a2+a3+…+a11=5(a+b).故选D.
4.5 [解析] 因为数列{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,又S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,所以(S9-S6)+9=2×7,故S9-S6=5.
5. [解析] =,故数列的前10项和S10=×=.第2课时 等差数列的前n项和的性质及其应用
【学习目标】
1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用;
2.掌握裂项相消法在等差数列求和中的应用;
3.能在具体的问题情境中,发现等差数列的前n项和的模型,并解决相应的问题.
◆ 知识点 等差数列的前n项和的性质
1.若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,k∈N*,那么 , , 成等差数列,如图所示.
2.若Sn,Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和,则=.
3.设数列{an}是公差为d的等差数列,S奇是前n项中奇数项的和,S偶是前n项中偶数项的和,则数列{an}的前n项和Sn=S奇+S偶,当等差数列的项数n为奇数时,中间一项记为a中,当n≥2时,有如下性质:
(1)当n为偶数时,S偶-S奇= ;
(2)当n为奇数时,S奇-S偶= ,S奇= ,S偶= ,= ,== .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若{an}是等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也是等差数列. ( )
(2)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=. ( )
◆ 探究点一 等差数列前n项和的性质及其应用
例1 (1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=则{an}的前40项之和为 .
(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求该数列的公差d的值.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=11,S12=9,求S20的值.
(4)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,求.
变式 (1)已知某等差数列共有(2n+1)(n∈N*)项,且其中所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n= ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=63,则a7+a8+a9= ( )
A.63 B.71 C.99 D.117
(3)[2023·山东菏泽三桐中学高二月考] 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=( )
A. B. C. D.
[素养小结]
(1)在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.
(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,则=.
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.
(4)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=;
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1,S偶-S奇=-an+1,=.
◆ 探究点二 等差数列前n项和公式的应用
例2 我国古代《九章算术》一书中记载有一道“竹九节”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少 ”其意思是:今有竹9节,下3节容量4升,上4节容量3升.问使中间两节也均匀变化,每节容量是多少 在这个问题中,最下面1节的容量是 升,9节总容量是 升.
变式 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石) 3402块,则上层有扇面形石板 块.
[素养小结]
遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列联系,建立模型,解题时要注意以下两点:
(1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型.
(2)深入分析题意,确定是求通项公式an,还是求前n项和Sn或者求n.
◆ 探究点三 裂项相消法在等差数列求和中的应用
[提问] 什么是裂项相消法
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4S2,a2n=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
变式 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
[素养小结]
利用裂项相消法求数列的前n项和的关键:一是“裂项”,若数列的通项公式可表达为等差数列中某两项乘积的倒数的形式,则需把数列的通项公式分裂成两项差的形式,如数列{an}是公差为d的等差数列,则=(m≠n);二是会“相消”,即在求数列的前n项和的相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和.
拓展 [2024·河北沧州高二期末] 已知数列{an}满足a1=,2an+1-anan+1=1(n∈N*).
(1)证明:数列为等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.
2.已知等差数列{an}的公差d=,a2+a4+…+a100=80,则数列{an}的前100项和S100=( )
A.80 B.120
C.135 D.160
3.在a和b之间插入10个数,使之成为等差数列,则插入的10个数的和为 ( )
A.12(a+b) B.10(a+b)
C.6(a+b) D.5(a+b)
4.已知等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= .
5.数列的前10项和S10= . 第2课时 等差数列的前n项和的性质及其应用
1.B [解析] 由等差数列前n项和的性质可得S12-S8,S8-S4,S4成等差数列,∴2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2×(6-2)=2+S12-6,解得S12=12.
2.B [解析] 设{an}的前n项和为Sn,∵{an}为等差数列,
∴S3,S6-S3,…,S21-S18构成等差数列,设该数列的公差为d,则S9-S6=S3+2d,∴2d=10-5,解得d=,
∴a19+a20+a21=S21-S18=S3+6d=5+6×=20.
3.A [解析] 将这5个人分到的面包个数从小到大依次记为a1,a2,a3,a4,a5,则其成等差数列,设该等差数列的公差为d.依题意可得=5a3=100,∴a3=20,又a3+a4+a5=7(a1+a2),∴60+3d=7×(40-3d),解得d=,∴a1=a3-2d=20-2×=.故选A.
4.C [解析] 设该等差数列为{an},{an}有2n+1(n≥1,n∈N*)项,其中偶数项有n项,奇数项有n+1项.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则==,∵{an}为等差数列,∴a1+a2n+1=a2+a2n,∴==,解得n=23,∴2n+1=47,∴此数列的项数是47.故选C.
5.D [解析] 不妨设Sn=n2,Tn=2n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,bn=Tn-Tn-1=4n-1,当n=1时,a1=1,b1=3,满足上式,所以=.故选D.
6.C [解析] 设电梯停在第n(2≤n≤12)层,10人的“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+2×=+157=-+157,易知当n=9时,S取得最小值,Smin==40.故选C.
【点睛】 数列具有函数的特性,当讨论数列的前n项和的最值、数列的最大(小)项、数列的单调性时可适当借助函数进行讨论,但要特别注意此时自变量的取值范围为正整数.
7.A [解析] 因为数列{an}是等差数列,所以S7==7a4.设等差数列{an}的公差为d,因为a2=2,S7=28,所以解得所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n,所以==-.设数列的前n项和为Tn,则Tn=1-+-+-+…+-=1-, 所以T2023=1-=,故选A.
8.AB [解析] 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,故选项A正确;因为S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S7=S12,故选项B正确;若d>0,则S9或S10最小,若d<0,则S9或S10最大,故选项C错误;因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,故选项D错误.故选AB.
9.ABC [解析] 对于A,由题得S3=3a2,S6-S3=a4+a5+a6=3a5,S9-S6=a7+a8+a9=3a8,又a2+a8=2a5,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,故A正确;对于B,==a2,==,==a5,因为a2+a5=a1+a6,所以+=2×,所以,,成等差数列,故B正确;对于C,若等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+),则奇数项有n+1项,偶数项有n项,则S奇==(n+1)an+1,S偶==n·an+1,所以S奇-S偶=an+1,故C正确;对于D,若S9-S6=0,则a7+a8+a9=0,则a8=0,又d>0,所以a1<0且{an}为递增数列,所以a1
10.充要 [解析] 当n≤2023时,若Sn=S4047-n,则0=an+1+an+2+…+a4047-n=(4047-2n)=(4047-2n)a2024,所以a2024=0;
反之,若a2024=0,则S4047-n-Sn=an+1+an+2+…+a4047-n=(4047-2n)=(4047-2n)a2024=0,即Sn=S4047-n.
当2023反之,若a2024=0,则Sn-S4047-n=a4048-n+a4049-n+…+an=(2n-4047)=(2n-4047)·a2024=0,即Sn=S4047-n.
故“a2024=0”是“Sn=S4047-n(n<4047,n∈N*)”的充要条件.
11.-n2+19n-60 5 [解析] 由题意可得,第n年的支出费用为(2n+6)万元,
则前n年的总支出费用为=n2+7n,
所以f(n)=26n-(n2+7n)-60=-n2+19n-60.
令f(n)=-n2+19n-60>0,解得4又n∈N*,所以该蔬菜生产基地从第5年开始盈利.
12.61.395 [解析] 设从地面往上每节的高度(单位:尺)为a1,a2,a3,…,a30,则{an}是以a1=0.5为首项,d1=0.03为公差的等差数列,设从地面往上每圈的周长(单位:尺)为b1,b2,b3,…,b30,则{bn}是以b1=1.3为首项,以d2=-0.013为公差的等差数列,其中n∈N*,且n≤30.故所求行程是30×0.5+×0.03+30×1.3+×(-0.013)=61.395(尺).
13.解:因为n为奇数,所以==,解得n=13,
所以S13=13a7=377,所以a7=29,故{an}的中间项为29.
14.解:(1)因为an+2-an=3,所以数列a2,a4,…,a2n构成首项为2,公差为3的等差数列,
所以a2n=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由an+2-an=3,可知数列a1,a3,…,a2n-1构成首项为1,公差为3的等差数列,则a2n-1=1+(n-1)×3=3n-2.
设n=2k-1(k∈N*),
则S2k-1=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k-2)=(1+4+7+…+3k-2)+(2+5+8+…+3k-4)=+=3k2-3k+1,
又k=,所以当n为奇数时,Sn=3-3×+1=.
15.C [解析] 因为数列{an},{bn}均为等差数列,且=,所以=======-2,易知当n=1时,取得最大值,当n趋近于+∞时,趋近于-2,所以∈.因为≥λ对任意的n∈N*恒成立,
所以λ≤-2,故实数λ的最大值为-2.故选C.
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由得解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)可知,Sn=n+×2=n2,则bn==-,所以Tn=b1+b2+…+bn=×1-+-+…+-=×1-=.
假设存在正整数m,k(1m>1,所以解得1又m∈N*,所以m=2,所以k=12.
故存在m=2,k=12满足题意.第2课时 等差数列的前n项和的性质及其应用
一、选择题
1.若{an}为等差数列,其前n项和为Sn,S4=2,S8=6,则S12= ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
2.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21= ( )
A.19 B.20 C.21 D.22
3.把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍,则最小的一份面包个数为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024·广东茂名高二期末] 已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为264,所有偶数项的和为253,则此数列的项数是 ( )
A.43 B.45 C.47 D.49
5.[2024·湖北黄冈高二期中] 设Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,若=(n∈N*),则= ( )
A. B. C. D.
★6.某大楼共有12层,有11人在第1层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人.因特殊原因,电梯只能停在某1层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在 ( )
A.第7层 B.第8层
C.第9层 D.第10层
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S7=28,则数列的前2023项和为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则下列选项正确的有 ( )
A.a10=0 B.S7=S12
C.S10最小 D.S20=0
9.(多选题)[2024·广东广雅中学高二期中] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的公差d>0,则下列说法一定正确的有 ( )
A.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列
B.,,成等差数列
C.若等差数列{an}的项数为2n+1,S奇为所有奇数项的和,S偶为所有偶数项的和,则S奇-S偶=an+1
D.若S9-S6=0,则当n=7时,Sn取得最小值
二、填空题
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则“a2024=0”是“Sn=S4047-n(n<4047,n∈N*)”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)
11.某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元,每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额),则f(n)= (用n表示),该蔬菜生产基地从第 年开始盈利.
12.《张邱建算经》是我国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一个数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸①,头圈一尺三②,逐节多三分③,逐圈少分三④,一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远 ”此民谣提出的问题的答案为 尺.(注释:①第1节的高度为0.5尺;②第一圈的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)
三、解答题
13.[2023·太原师范学院附中高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项中奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6,求{an}的中间项.
14.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2-an=3.
(1)求a2n;
(2)当n为奇数时,求数列{an}的前n项和Sn.
15.已知数列{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,若≥λ对任意的n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为 ( )
A. B.0 C.-2 D.2
16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a5=12,S4=16.
(1)求{an}的通项公式.
(2)数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,是否存在正整数m,k(1