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5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
探究点一 等比数列的判断或证明
探究点二 等比数列的通项公式及其应用
探究点三 等比数列的实际应用
探究点四 构造等比数列求数列的通项公式
【学习目标】
1.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式；
2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并能用有关的知
识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
知识点一 等比数列的定义
一般地,如果数列 从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于
_____________,即_________恒成立，则称 为等比数列，其中
称为等比数列的______.（数列至少应该有3项）
同一个常数
公比
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足,那么 是等比数列. ( )
×
[解析] 不一定.当 时,按所给递推关系式,该数列为常数列,且常
数为0,此时 不是等比数列.
（2）常数列一定为等比数列. ( )
×
[解析] 当常数列各项均为0时,不是等比数列.
知识点二 等比数列的通项公式
1.一般地,如果等比数列的首项是,公比是 ，那么根据等比数列
的定义可知，等比数列的通项公式是_________________________.
等比数列的通项公式说明，只要确定了等比数列的首项与公比，就
可以写出等比数列中的每一项.
2.等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项,
是等比数列的第项,且,公比为 ,则有______________.
3.在等比数列中,______或 ________.
4.数列是等比数列的充要条件是 .
知识点三 等比数列与指数函数的关系
一般地,在等比数列中,可改写成 ________.当
且时,是一个______函数,故等比数列 的图象是
函数 的图象上一些孤立的点（即散点图）.运用函数的
思想方法解决等比数列的有关问题是一种解题捷径.等比数列的单调
性为：
指数
（1）当公比时,是常数函数，此时数列 是____数列.
常
（2）当公比时，是与的乘积，此时 的增减性既
与有关，也与 有关.
当,时,等比数列 是______数列;
当,时,等比数列 是______数列;
当,时,等比数列 是______数列;
当,时,等比数列 是______数列;
当时,等比数列 是______数列.
递增
递增
递减
递减
摆动
【诊断分析】 （多选题）已知数列 为递增数列,且为等比数列，
为的公比.关于数列 ，下列说法正确的是( )
A.当时， B.当时，
C.当时， D.
[解析] 当时，因为数列为递增数列，所以 ,故A正确,
B错误；
当时，因为数列为递增数列，所以 ，故C正确；
若为递增数列，则，若，则 ，
若，则，故D错误.故选 .
√
√
探究点一 等比数列的判断或证明
例1 在各项均为负数的数列中,已知,且 .
（1）试说明 是等比数列,并求出其通项公式.
解：由,得,则数列是公比 的等比数列.
由,得,即 .
又数列的各项均为负数,所以,所以数列 的通项公式
为
（2）是数列 中的项吗 如果是,指明是第几项;如果不是,请说
明理由.
解：由,得,因此是数列 中的项,且是第6项.
变式 已知数列的前项和为， ．
（1）求， ；
解：由，得，解得 .
由，即，可得 .
（2）求证：数列 是等比数列．
证明：当 时，
，
整理得 ，
所以是首项为，公比为 的等比数列．
［素养小结］
判断一个数列是否是等比数列，首先要验证数列中是否有0这一项，
若有0这一项，则一定不是等比数列，然后再判断数列中任意连续两
项的比是否为一个定值，或任意连续两项的比值与该两项在数列中
的位置无关.
探究点二 等比数列的通项公式及其应用
［提问］ 等比数列的通项公式常用的有哪些形式 适用条件分别是
什么
解：常用的有两种形式：
（1） ,适用于知道首项和公比求通项公式;
（2） ,适用于知道某一项和公比求通项公式.
例2 在等比数列 中.
（1）若，，求 ；
解：因为所以
由得 ，
所以 .
（2）若，，，求 ；
解：因为，所以 ，
由，得 ，
由，得,解得 .
（3）若，，求 的通项公式.
解：显然等比数列的公比 ，
因为，，所以，
解得 或 .
当时，，所以 ；
当时，，所以 .
综上，或 .
变式（1） 在等比数列中，，公比，则
( )
A.1 B. C.3 D.
[解析] 由数列是等比数列，得，则 ，
又，所以 .故选B.
√
（2）已知数列是等比数列，且，，则
( )
A.1984 B.1920 C.992 D.960
[解析] 因为数列是等比数列，且， ，
所以数列的公比，
所以 是首项为2，公比为4 的等比数列，
所以 ，
所以 .故选A.
√
（3）设是等比数列，且, ，
则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 设的公比为，则 ，
所以，故 .故选B.
√
［素养小结］
等比数列的通项公式可以用来求解通项,也可以用来求解数列中的某
一项,一般情况下,利用首项和公比求解通项公式是首选方法,也可以利
用某一项和公比求解,但要注意公比符号的选择.
探究点三 等比数列的实际应用
例3 某企业投资一工厂，第一年年初投入5000万元作为初始资金，
工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长 .每年年底，
工厂向集团上缴 万元，并将剩余资金全部作为下一年的初
始资金，设第年的初始资金为 万元.
（1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由.
解：依题意知， ，
，
，
即 .
当，即时， 不是等比数列.
当且时，数列是一个以 为公比，
为首项的等比数列.
（2）若该工厂某年的资金不足需上缴集团的费用，则工厂在这一年
转型升级，设 ，则该工厂在第几年转型升级？
解：当时，由（1）知数列是一个以 为首
项， 为公比的等比数列，
则，即 .
设第年转型升级，则，则 ，
易知数列是递增数列，, ，
又，所以 的最小值为9，
所以该工厂在第9年转型升级.
变式 一张报纸的厚度为，面积为 ，现将此报纸对折（沿对边中点
连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为( )
A.， B.， C.， D.，
[解析] 每次对折后，报纸的厚度构成公比为2的等比数列，面积构成
公比为的等比数列，
因此对折7次后，报纸的厚度为 ，报纸的面积为
.故选C.
√
［素养小结］
判断一个问题是否可以用等比数列模型求解的关键是判断“平均变化
率”是否为同一个常数.
探究点四 构造等比数列求数列的通项公式
例4 [2024·福建福州高二期中] 已知数列满足 ,
，则___， 的通项公式为
___________________________________________________________.
7
[解析] 令得，由得；
令 得，由得 .
方法一：因为 ，
所以 ，
又，所以，所以数列是以 为
首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 .
方法二：由得 ，
得 .
由得，当 为奇数时，
；
由得，当 为偶数时，
.
故
变式 已知数列的首项为6，且满足 ，则数列
的通项公式为_____________.
[解析] ， ，
.
又， 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列,
， ．
［素养小结］
构造等比数列求数列的通项公式的问题，意在考查逻辑推理、数学
运算的核心素养.破解递推关系为 型的
数列 的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造
；二是活用等比数列的定义，即可判断数列
为等比数列；三是利用等比数列的通项公式，求出数列
的通项公式，从而得数列 的通项公式.
1.在各项均为正数的等比数列中，，，则
( )
A.3 B.9 C. D.
[解析] 由是各项均为正数的等比数列，且， ，
得且，所以 .故选A.
√
2.公比的等比数列满足，则 ( )
A.8 B.10 C.12 D.16
[解析] 因为数列为等比数列,公比，所以 ,
，所以 .
故选A.
√
3.设是等比数列，则“”是“数列 是递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 设等比数列的公比为，当且 时，
，,此时数列不是递增数列；
若数列 为递增数列，则必有.
所以“”是“数列 为递增数列”的必要不充分条件．故选B.
√
4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成
是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不
仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深
刻的科学方法论意义.如图所示，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔
宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的
三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对
其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①中三角形的面积
为 ，则图 中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意得, 每一个图形的面积都是前一个图形面积的 ，
即面积是首项为，公比为 的等比数列，故图 中阴影部分的面积为
.故选D.
5.（多选题）无穷等比数列的首项为，公比为 ，下列条件能
使 既有最大值又有最小值的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
[解析] 当，时，等比数列为递减数列，故
只有最大值 ，没有最小值；
当，时，等比数列为摆动数列，此时 为最
大值， 为最小值；
当，时， 的奇数项都相等且小于零，偶数项都相
等且大于零，所以等比数列 有最大值，也有最小值；
当，时，因为，所以无最大值， 的奇
数项为负数，无最小值，偶数项为正数，无最大值.故选 .
1.等比数列定义的注意点
（1）定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
（2）每一项与它的前一项的比必须是同一个常数（这一点体现了等
比数列的基本特征）.
（3）公比 是每一项（从第2项起）与它的前一项的比,不要把分子
与分母弄颠倒.
（4）等比数列中的任何一项均不为零.
（5）等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
2.等比数列通项公式的特点
（1）不要把数列的通项公式错误地写成 ;
（2）隐含：任一项且 ,即首项和公比均不为0;
（3）当时,数列 为常数列.
3.等比数列的通项公式与指数型函数有何关系
①当且时,等比数列的第项 是指数型函数
当时的函数值,即 .
②任意指数型函数,是常数,,且 ,则
,, ,, 构成一个等比数列 ,
其首项为,公比为 .
1.证明数列是等比数列的常用方法
（1）定义法:为常数且或为常数且 ,
为等比数列.
（2）通项公式法:其中,为非零常数, 为等
比数列.
（3）构造法：在条件中出现递推公式 时，往往构造
数列，方法是把与对照，求出
即可得等比数列 .
例1 已知数列的通项公式为,证明：数列 是等比
数列.
证明:当时,, ，
故数列 是首项为6，公比为3的等比数列.
2.等比数列的通项公式中有四个量,,, ,已知其中三
个量可求得第四个,简称“知三求一”.
例2 已知递增的等比数列满足,且是, 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
解：设的公比为,由题意得 ，
又，所以
解得或 .
当时，数列 为递减数列,不符合题意，
所以,可求得 ，
所以 ，
即 .
（2）若,是数列的前项和，求 的值.
解：由（1）可得 ，
则 ，
所以数列 为等差数列，其首项为2，公差为1，
所以 .5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
【课前预习】
知识点一
同一个常数q =q 公比
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)不一定.当a1=0时,按所给递推关系式,该数列为常数列,且常数为0,此时{an}不是等比数列.
(2)当常数列各项均为0时,不是等比数列.
知识点二
1.an=a1(a1≠0,q≠0) 2.an=am
3.qm-n anqm-n
知识点三
×qn 指数 (1)常 (2)递增 递增 递减 递减 摆动
诊断分析
AC [解析] 当a1>0时,因为数列{an}为递增数列,所以q>1,故A正确,B错误;当a1<0时,因为数列{an}为递增数列,所以0
0,则<1,若an+1<0,则>1,故D错误.故选AC.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由2an=3an+1,得=,则数列{an}是公比q=的等比数列.
由a2·a5=,得a1q·a1q4=,即×=.
又数列{an}的各项均为负数,所以a1=-,所以数列{an}的通项公式为an=-×=-.
(2)由-=-,得n=6,因此-是数列{an}中的项,且是第6项.
变式 解:(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),解得a1=-.
由S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),可得a2=.
(2)证明:当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理得=-(n≥2),
所以{an}是首项为-,公比为-的等比数列.
探究点二
提问 解:常用的有两种形式:
(1)an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),适用于知道首项和公比求通项公式;
(2)an=am,适用于知道某一项和公比求通项公式.
例2 解:(1)因为所以
由得q3=4,所以a10= a7·q3=32.
(2)因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=,
由a2+a5=a1q+a1q4=18,得a1=32,
由am=a1qm-1=1,得32×=1,解得m=6.
(3)显然等比数列{an}的公比q≠0,
因为a2==,a4=a3q=2q,所以+2q=,解得q=或q=3.
当q=时,a1=18,所以an=18×=2×33-n;
当q=3时,a1=,所以an=×3n-1=2×3n-3.
综上,an=2×33-n或an=2×3n-3.
变式 (1)B (2)A (3)B [解析] (1)由数列{an}是等比数列,得an=a1qn-1,则a4=a1q3=27,又q=-3,所以a1=-1.故选B.
(2)因为数列{an+2n}是等比数列,且a1=0,a2=4,所以数列{an+2n}的公比q===4,所以{an+2n}是首项为2,公比为4 的等比数列,所以a6+26=2×q5=2×45=211=2048,所以a6=2048-26=1984.故选A.
(3)设{an}的公比为q,则==8,所以q=2,故====.故选B.
探究点三
例3 解:(1)依题意知,a1=5000,
a2=a1(1+50%)-m=7500-m,
an+1=an(1+50%)-m=an-m,
即an+1-2m=(an-2m).
当m=2500,即a1-2m=0时,{an-2m}不是等比数列.
当m>0且m≠2500时,数列{an-2m}是一个以为公比,5000-2m为首项的等比数列.
(2)当m=2600时,由(1)知数列{an-2m}是一个以-200为首项,为公比的等比数列,
则an-5200=-200×,即an=5200-200×.
设第n年转型升级,则an+1=5200-200×<0,则>26,
易知数列是递增数列,=<26,=>26,又n∈N*,所以n的最小值为9,
所以该工厂在第9年转型升级.
变式 C [解析] 每次对折后,报纸的厚度构成公比为2的等比数列,面积构成公比为的等比数列,因此对折7次后,报纸的厚度为a×27=128a,报纸的面积为b×=b.故选C.
探究点四
例4 7 an= [解析] 令n=1得a2+a1=6,由a1=1得a2=5;令n=2得a3+a2=12,由a2=5得a3=7.
方法一:因为an+1+an=6n,所以an+1-3(n+1)+=-,
又a1=1,所以a1-3+=-,所以数列是以-为首项,-1为公比的等比数列,
所以an-3n+=-×(-1)n-1=×(-1)n,所以an=×(-1)n+3n-=3n-=3n-.
方法二:由an+1+an=6n①得an+2+an+1=6(n+1)②,
②-①得an+2-an=6.
由a1=1得,当n为奇数时,an=a1+×6=1+3(n+1)-6=3n-2;
由a2=5得,当n为偶数时,an=a2+×6=5+3n-6=3n-1.
故an=
变式 an=4n+2n [解析] ∵an+1=4an-2n+1,∴=2·-1,∴-1=2.
又-1=2,∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,∴-1=2×2n-1=2n,∴an=4n+2n.
【课堂评价】
1.A [解析] 由{an}是各项均为正数的等比数列,且a2=3,a4=27,得q>0且=q2=9,所以q=3.故选A.
2.A [解析] 因为数列{an}为等比数列,公比q=2,所以a4=a3·q,a6=a5·q,所以a4+a6=a3·q+a5·q=q·(a3+a5)=2×4=8.故选A.
3.B [解析] 设等比数列{an}的公比为q,当a1<0且q<0时,a1<04.D [解析] 根据题意得,每一个图形的面积都是前一个图形面积的,即面积是首项为,公比为的等比数列,故图n○中阴影部分的面积为·=·.故选D.
5.BC [解析] 当a1>0,0当a1>0,-1当a1<0,q=-1时,{an}的奇数项都相等且小于零,偶数项都相等且大于零,所以等比数列{an}有最大值,也有最小值;
当a1<0,q<-1时,因为|q|>1,所以{|an|}无最大值,{an}的奇数项为负数,{an}无最小值,偶数项为正数,{an}无最大值.故选BC.5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
【学习目标】
1.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式;
2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并能用有关的知识解决相应的问题;
3.体会等比数列与指数函数的关系.
◆ 知识点一 等比数列的定义
一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 ,即 恒成立,则称{an}为等比数列,其中q(q≠0)称为等比数列的 .(数列至少应该有3项)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列. ( )
(2)常数列一定为等比数列. ( )
◆ 知识点二 等比数列的通项公式
1.一般地,如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么根据等比数列的定义可知,等比数列的通项公式是 .
等比数列的通项公式说明,只要确定了等比数列的首项与公比,就可以写出等比数列中的每一项.
2.等比数列任意两项间的关系:如果an是等比数列{an}的第n项,am是等比数列{an}的第m项,且m≤n,公比为q,则有 .
3.在等比数列{an}中,= 或am= .
4.数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn(k≠0,q≠0).
◆ 知识点三 等比数列与指数函数的关系
一般地,在等比数列{an}中,an=a1qn-1可改写成an= .当q>0且q≠1时,y=qx是一个 函数,故等比数列{an}的图象是函数f(x)=·qx的图象上一些孤立的点(即散点图).运用函数的思想方法解决等比数列的有关问题是一种解题捷径.等比数列的单调性为:
(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是 数列.
(2)当公比q≠1时,f(x)是与qx的乘积,此时f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.
当a1>0,q>1时,等比数列{an}是 数列;
当a1<0,0当a1>0,0当a1<0,q>1时,等比数列{an}是 数列;
当q<0时,等比数列{an}是 数列.
【诊断分析】 (多选题)已知数列{an}为递增数列,且为等比数列,q为{an}的公比.关于数列{an},下列说法正确的是 ( )
A.当a1>0时,q>1
B.当a1>0时,q<0
C.当a1<0时,0D.<1
◆ 探究点一 等比数列的判断或证明
例1 在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3,且a2·a5=.
(1)试说明{an}是等比数列,并求出其通项公式.
(2)-是数列{an}中的项吗 如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.
变式 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等比数列.
[素养小结]
判断一个数列是否是等比数列,首先要验证数列中是否有0这一项,若有0这一项,则一定不是等比数列,然后再判断数列中任意连续两项的比是否为一个定值,或任意连续两项的比值与该两项在数列中的位置无关.
◆ 探究点二 等比数列的通项公式及其应用
[提问] 等比数列的通项公式常用的有哪些形式 适用条件分别是什么
例2 在等比数列{an}中.
(1)若a4=2,a7=8,求a10;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,am=1,求m;
(3)若a3=2,a2+a4=,求{an}的通项公式.
变式 (1)在等比数列{an}中,a4=27,公比q=-3,则a1= ( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
(2)已知数列{an+2n}是等比数列,且a1=0,a2=4,则a6= ( )
A.1984 B.1920
C.992 D.960
(3)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=16,则= ( )
A. B. C.1 D.2
[素养小结]
等比数列的通项公式可以用来求解通项,也可以用来求解数列中的某一项,一般情况下,利用首项和公比求解通项公式是首选方法,也可以利用某一项和公比求解,但要注意公比符号的选择.
◆ 探究点三 等比数列的实际应用
例3 某企业投资一工厂,第一年年初投入5000万元作为初始资金,工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底,工厂向集团上缴m(m>0)万元,并将剩余资金全部作为下一年的初始资金,设第n年的初始资金为an万元.
(1)判断数列{an-2m}是否为等比数列,并说明理由.
(2)若该工厂某年的资金不足需上缴集团的费用,则工厂在这一年转型升级,设m=2600,则该工厂在第几年转型升级
变式 一张报纸的厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为 ( )
A.8a,b B.64a,b
C.128a,b D.256a,b
[素养小结]
判断一个问题是否可以用等比数列模型求解的关键是判断“平均变化率”是否为同一个常数.
◆ 探究点四 构造等比数列求数列的通项公式
例4 [2024·福建福州高二期中] 已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=6n,则a3= ,{an}的通项公式为 .
变式 已知数列的首项为6,且满足an+1=4an-2n+1,则数列的通项公式为 .
[素养小结]
构造等比数列求数列的通项公式的问题,意在考查逻辑推理、数学运算的核心素养.破解递推关系为an+1=qan+p(p≠0,q≠1)型的数列{an}的通项公式的关键:一是利用待定系数法构造an+1+m=q(an+m);二是活用等比数列的定义,即可判断数列{an+m}为等比数列;三是利用等比数列的通项公式,求出数列{an+m}的通项公式,从而得数列{an}的通项公式.
1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=3,a4=27,则q= ( )
A.3 B.9
C.±3 D.±9
2.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6= ( )
A.8 B.10
C.12 D.16
3.设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图所示,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,若记图①中三角形的面积为,则图○n中阴影部分的面积为 ( )
A.· B.·
C.· D.·
5.(多选题)无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值又有最小值的是 ( )
A.a1>0,0B.a1>0,-1C.a1<0,q=-1
D.a1<0,q<-15.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
1.A [解析] 由a2=3,a4=27,得q2==9,又{an}的各项均为正数,所以q>0,所以q=3.故选A.
2.B [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则==q=2,∴a3===4.故选B.
3.C [解析] 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以{an}的公比q>0,又3a5,a7,2a6成等差数列,所以2×a7=2a6+3a5,则a7=2a6+3a5,即a1q6=2a1q5+3a1q4,即q2=2q+3,可得q=3,故==q2=9.故选C.
4.D [解析] 记数列a-6,1,a6,a12,a18,…为{bn},则{bn}是首项为a-6,公比为a6的等比数列,所以数列{bn}的通项公式为bn=a-6·=a6n-12.由6n-12=2028得n=340,所以a2028是这个数列的第340项.故选D.
5.B [解析] 由题图可知,每一层节点的个数构成以1为首项,2为公比的等比数列,令2n-1=512,则n=10,所以第10层有512个节点.
6.B [解析] 因为Sn=Sn-1+2(n≥2),所以Sn+1=Sn+2,所以Sn+1-Sn=Sn-Sn-1(n≥2),所以an+1=an(n≥2).因为S2=S1+2,S1=2,所以2+a2=1+2,得a2=1=a1,所以数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列,所以a8=a1×=2×2-7=2-6,所以log2a8=log22-6=-6.故选B.
7.C [解析] 当n≥2时,Sn-1+(n-1)=2an-1-1,又Sn+n=2an-1,所以两式相减得an+1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1+1(n≥2),则an+1=2(an-1+1)(n≥2),所以=2(n≥2).当n=1时,可得S1+1=2a1-1,即a1+1=2a1-1,解得a1=2,所以数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为2的等比数列,所以an+1=3×2n-1,即an=3×2n-1-1,所以a5=3×24-1=47.故选C.
8.AD [解析] 对于A,B,设等差数列{an}的公差为d,因为==2d,所以{}为等比数列,故A正确,B不正确;对于C,D,设等比数列{an}的公比为q(q>0),则an=a1·qn-1,所以lg an=(n-1)lg q+lg a1,则{lg an}是等差数列,故C不正确,D正确.故选AD.
9.AC [解析] 对于A,在数列{an}中,anan+1=3n+1,则a1a2=32,又a1=3,所以a2=3,故A正确;对于B,由anan+1=3n+1,得an+1an+2=3n+2,两式相除得=3,则a3=3a1=9,a4=3a2=9,所以a4-a3=0,故B错误;对于C,由题得数列{a2n}是以a2=3为首项,3为公比的等比数列,则a2n=3n,故C正确;对于D,数列{a2n-1}是以a1=3为首项,3为公比的等比数列,则a2n-1=3n,因此a2n-1+a2n=2·3n,故D错误.故选AC.
10.512 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则且an≠0,
即解得则a10=29=512.
11. [解析] ∵a4·a17=6,a4+a17=5,∴a4=2,a17=3或a4=3,a17=2,∵等比数列{an}为递减数列,∴a4=3,a17=2,∴q13==,∴==.
12.an=3×(-1)n-1 [解析] 由an=2Sn-3,得an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得an-an-1=2an(n≥2),∴an=-an-1(n≥2),易知a1=3,∴{an}是首项为3,公比为-1的等比数列,∴an=3×(-1)n-1.
13.解:(1)由an+1=an+2,可得an+1-an=2,即数列{an}为等差数列,公差为2,
又S2=a3,所以2a1+2=a1+4,解得a1=2,故an=2+2(n-1)=2n.
因为a1,a3,am成等比数列,且a1=2,a3=6,所以am=18,则2m=18,解得m=9.
(2)设数列{an+bn}的公比为q.因为b1=a1=2,b2=a2=4,
所以数列{an+bn}的首项为4,公比q==2,则an+bn=4×2n-1=2n+1,故bn=2n+1-an=2n+1-2n.
14.解:(1)证明:由an+2=6an+1-9an,得===3,
由a1=2,a2=8,得a2-3a1=2,所以数列{an+1-3an}是以2为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)可知an+1-3an=2×3n-1,即-=,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以=+(n-1)×,即an=(4+2n)×3n-2.
15.4 [解析] 设这种物质最初的质量是1,经过n年剩留量是an.
由题意可知,数列{an}是一个等比数列,且a1=0.84,q=0.84,所以an=0.84n,令0.84n=0.5,解得n=log0.840.5==≈≈4.故这种物质的半衰期大约为4年.
16.解:(1)由题意可知,a1=5×1.5-1.5=6,a2=6×1.5-1.5=7.5,a3=7.5×1.5-1.5=9.75.因为an+1=1.5an-1.5,所以an+1-3=1.5(an-3),又a1-3=3,所以{an-3}是首项为3,公比为1.5的等比数列.
(2)由(1)知,an-3=3×1.5n-1,所以an=3+3×1.5n-1.
令3+3×1.5n-1>21,则n-1>=≈4.42,n∈N*,
所以n>5.42,n∈N*,即n≥6,n∈N*,所以至少到2028年的年底,该企业的剩余资金会超过21千万元.5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
一、选择题
1.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=3,a4=27,则数列{an}的公比q= ( )
A.3 B.9
C.±3 D.±9
2.[2023·福州一中高二期中] 在等比数列{an}中,=2,a4=8,则a3=( )
A.16 B.4
C.2 D.1
3.[2024·四川成都蓉城高二期末] 若等比数列{an}的各项均为正数,且3a5,a7,2a6成等差数列,则= ( )
A.3 B.6
C.9 D.18
4.[2024·广东佛山禅城区高二期末] 若一数列为a-6,1,a6,a12,a18,…,其中a≠0,则a2028是这个数列的 ( )
A.不在此数列中
B.第338项
C.第339项
D.第340项
5.[2024·陕西渭南高二期末] 拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示,圆圈代表节点,每一个节点都有两个子节点,则有512个节点的是 ( )
A.第9层 B.第10层
C.第11层 D.第12层
6.[2024·四川泸州高二期末] 数列{an}的前n项和Sn满足Sn=Sn-1+2(n≥2),若S1=2,则log2a8的值是 ( )
A.-7 B.-6 C.6 D.7
7.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+n=2an-1,则a5= ( )
A.16 B.31 C.47 D.63
8.(多选题)对任意数列{an},下列说法一定正确的是 ( )
A.若数列{an}是等差数列,则数列{}是等比数列
B.若数列{an}是等差数列,则数列{}是等差数列
C.若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{lg an}是等比数列
D.若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{lg an}是等差数列
9.(多选题)[2024·江苏南京师大附中高二期中] 在数列{an}中,已知a1=3.当n∈N*时,满足anan+1=3n+1,则下列说法正确的是 ( )
A.a2=3
B.a4-a3=27
C.{a2n}是等比数列
D.a2n-1+a2n=3n+1
二、填空题
10.[2024·山东淄博高二期中] 等比数列{an}满足a1+a2=3,=2a4,则a10= .
11.已知等比数列{an}为递减数列,若a4·a17=6,a4+a17=5,则= .
12.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则{an}的通项公式是 .
三、解答题
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1=an+2,S2=a3.
(1)若a1,a3,am成等比数列,求m的值;
(2)若数列{an+bn}为等比数列,a1=b1,a2=b2,求数列{bn}的通项公式.
14.[2023·江苏连云港高二期末] 若数列{an}满足a1=2,a2=8,对任意的正整数n,都有an+2=6an+1-9an.
(1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
15.某种放射性物质不断衰变为其他物质,设每经过一年剩留的这种放射性物质是年初的84%,那么这种放射性物质的半衰期大约为 年.(精确到1年.参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 8.4≈0.924 3)
16.[2023·洛阳洛宁一中高二月考] 某企业2023年年初有资金5千万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后,剩余资金投入再生产.设从2023年的年底起,每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1,a2,a3,….
(1)写出a1,a2,a3,并证明数列{an-3}是等比数列;
(2)至少到哪一年的年底,该企业的剩余资金会超过21千万元 (注:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)