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6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第1课时 利用导数判断函数的单调性
探究点一 函数图象与导函数图象的应用
探究点二 利用导数求解函数的单调区间
【学习目标】
1.通过导函数的符号特征体会单调性与导数的关系;
2.会结合函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；
3.能利用导数研究含参函数的单调性.
知识点一 函数的单调性与导数的关系
1.如果在区间内，___0，则曲线在区间 对应
的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈______状态，因此
在 上是____函数.
上升
增
2.如果在区间内，___0,则曲线在区间 对应的
那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈______状态，因此
在 上是____函数.
下降
减
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在某个区间内，如果，那么函数 在这
个区间内单调递增.( )
√
（2）在某个区间内，如果，那么函数 在这
个区间内单调递减.( )
√
（3）如果在某个区间内存在 ，那么在这个区间内，函数
是常数函数.( )
×
[解析] 如果在某个区间内恒有 ，那么在这个区间内，函数
是常数函数.
（4）若存在,使得,则函数在 上不单调. ( )
×
[解析] 不一定,例如函数, ，其在定义域上为增函数.
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
（1）确定函数 的定义域;
（2）求导函数 ;
（3）解不等式__________,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
（4）解不等式__________,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 在其定义域内是增函数. ( )
√
[解析] 函数的定义域为,在定义域内 恒成立,
所以 在其定义域内是增函数.
（2）当时,函数的增长速度比 的增长速度慢.
( )
√
[解析] 因为,,当时, ,所以说法正确.
（3）函数的单调递减区间为 . ( )
√
[解析] 函数的定义域为 ，
，
由解得 ，
则函数的单调递减区间为 .
探究点一 函数图象与导函数图象的应用
［提问］ 对于定义在区间内的可导函数,若在 的
任意子区间内都不恒等于0,则 为________,
为________.
增函数
减函数
考向一 根据原函数图象确定导函数图象
例1 [2024·吉林一中高二期中]已知函数在定义域内可导，
的大致图象如图所示，则其导函数 的图象可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 由图可知， 在定义域上先递减后递增再递减，最后再递增，
所以 的符号为先负、后正、再负、最后再正.故选B.
√
变式 设函数在定义域内可导， 的图象如图所示，则其
导函数 的图象可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由图可知，函数在 上单调递减，
所以在上恒成立，排除选项B和D；
函数 在上先递减后递增再递减，
所以在 上的符号应为先负、后正、再负，排除选项A.
故选C.
考向二 根据导函数图象确定原函数图象
例2 若函数的图象如图所示，则 的图象可能是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由的图象可得，在上，在
上.
根据原函数图象与导函数图象的关系可得 在上为
增函数，在 上为减函数，可排除A，D.
又在处，，所以在处，函数 的图象的
切线的斜率为0，可排除B.故选C.
变式 [2023·哈尔滨三中高二月考] 已知 为
的导数，的图象如图所示，且 ，
则 的图象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设的零点为,，且.
由 的图象可得，
当时，，函数在 上单调递增；
当时，，函数在 上单调递减；
当时，，函数在 上单调递增.
符合以上信息的选项只有A，故选A.
［素养小结］
研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，注意抓住各
自的关键要素.对原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在
哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区
间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单
调区间是否一致.
探究点二 利用导数求解函数的单调区间
［提问］ 利用导数求函数的单调区间时，能否忽视定义域？
解：不能，因为函数的单调区间是定义域的子集.
考向一 求不含参数的函数的单调区间
例3 求下列函数的单调区间.
（1） ;
解：函数的定义域为 ,
.令,得或 ；
令,得 .
所以的单调递增区间是, ，
的单调递减区间是 .
（2） ;
解：函数的定义域为 .
,令,得 ;
令,得.
所以的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
（3） .
解：由得 .
令得，令得且 ，
所以函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是
.
变式 利用导数判断下列函数的单调性.
（1）, ;
解：由题意知,.
令,得 ,即 ，
因为,所以或 ；
令,得 .
所以函数在和上单调递增,在 上单调递减.
（2） ;
解：因为,所以函数的定义域为 ,
.
由,可得;
由 ,可得或.
综上可知，函数在 上单调递增，
在, 上单调递减.
（3） .
解：由题知，的定义域为，.
当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减.
［素养小结］
应用导数求解函数的单调区间的步骤：
考向二 求含参数的函数的单调区间
例4 已知函数，求 的单调区间．
解：的定义域为， ．
若，则，所以在 上单调递增．
若，则当时，；
当 时， ．
所以在上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当时，函数在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在 上单调递增．
变式 [2024·黑龙江哈尔滨实验中学高二期中] 已知函数
，,讨论函数 的单调性.
解：函数的定义域为 ，
.
当时， 恒成立.
令，解得；令，解得 .
故在上单调递增，在 上单调递减.
当时，令，解得或 .
当，即时，令，解得或 ；
令，解得 .
故在,上单调递增，在 上单调递减.
当，即时，在 上恒成立，
故在 上单调递增.
当，即时，令，解得或 ；
令，解得 .
故在,上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在 上单调
递增；
当时，在,上单调递增，在 上单调递减；
当时，在 上单调递增；
当时，在,上单调递增，在 上单调递减.
［素养小结］
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问
题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注
意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
1.[2024·河北唐山高二期中]函数 的单调递减区间是
( )
A. B.
C., D.,
[解析] 由题得,.
令 ，解得，
所以的单调递减区间是 .故选A.
√
2.函数 在定义域内( )
A.是减函数 B.是增函数 C.有增有减 D.是常函数
[解析] 因为函数的定义域为,且在 上恒成立,
所以函数 在定义域内是增函数,故选B.
√
3.如果函数的图象如图所示,那么其导函数 的图象可能是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由的图象可知的单调性从左向右依次为增 减 增 减,
由函数 的单调性可以得到其导函数的正负情况从左向右依次是
正 负 正 负,故选A.
√
4.[2024·云南玉溪一中高二期中]已知函数，若 在
上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由,可得，
因为在 上单调递增，
所以当时，，即 ，
当时，，所以 ，故选B.
√
5.[2024· 福建莆田十五中高二期中] 函数 的单调递增区
间为______.
[解析] 函数的定义域为,
由，得 ，
令，得，
所以的单调递增区间为 .
1.在区间内,是在 内单调递增的充分不必要条
件.例如：,, ,
而函数在 上单调递增.
学生易误认为只要存在，使得,则在 上是
常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在
这个区间内恒有,函数 在这个区间上才为常函数.
2.函数在区间 内单调递增或递减的判定可依据单调性定义
也可利用导数,应根据问题的具体条件适当选用方法,有时需将区间
划分成若干小区间,在每个小区间上分别判定单调性.
3.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题.
（1）定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨
论导数的符号来判断函数的单调区间.
（2）注意“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导
数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.
（3）单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单
调区间之间不能用“ ”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
1.一般情况下,函数在它的定义区间上不是单调的,对可导函数而言,它
的单调递减和单调递增的区间分界点应是其导数符号正负交替的分
界点,即在分界点处 ,为此,我们可以用使函数导数为0的点来
划分函数的单调区间.
例1 已知函数，则 的单调
递减区间为_______.
[解析] 因为 ，
所以，故 ， ，
所以，解得 ，
故，的定义域为 ，
令，得,
当时，，当 时， ，
故的单调递减区间为 .
2.证明可导函数在 内的单调性的步骤：
（1）求导函数 ;
（2）判断在 内的符号;
（3）得出结论：时，为增函数,时， 为
减函数.
例2（1） 证明：函数在区间 上是增函数；
证明： ，
当时，，所以 ，
即函数在区间 上是增函数.
（2）判断函数在 上的单调性.
解： ，
当时，，
所以，当且仅当 时等号成立，
故在 上是增函数.
3.导数背景下函数单调性充要条件的探究
“函数在 内单调递增（减）”的充要条件是“
在内恒成立，且在 的任意子区
间内都不恒等于0”.这就是说，在区间内的个别点处有 不影
响函数 在区间内的单调性.
说明：函数单调性的充分必要条件是导数研究的热点，原因就是能
够与恒成立问题（方程恒有解、不等式恒成立）相结合，能充分考
查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及转化与化归思
想的应用.
例3 “”是“函数在 上为单调函数”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若函数在 上为单调函数，
则在上恒成立或在 上
恒成立，即或.
因为，所以 ，所以或.
所以“”是“函数在 上为单调函数”的
充分不必要条件，故选A.
√
例4 已知函数, ，讨论
函数 的单调性.
解：由题得 ，
则 .
①当时，令，解得 .
当时，，单调递增；
当时， ， 单调递减.
所以在上单调递减，在 上单调递增.
②当时，令，解得或 .
当，即时，令，得或 ；
令，得 .
所以在上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
当，即时，恒成立，所以在 上单
调递增.
当，即时，令，得或 ；
令，得 .
所以在上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在 上单
调递增；
当时，在 上单调递增，
在上单调递减，在 上单调递增；
当时，在 上单调递增；
当时，在上单调递增，在 上单调递
减，在 上单调递增.6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第1课时 利用导数判断函数的单调性
【课前预习】
知识点一
1.> 上升 增 2.< 下降 减
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)× [解析] (3)如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么在这个区间内,函数y=f(x)是常数函数.
(4)不一定,例如函数f(x)=x3,f'(0)=0,其在定义域上为增函数.
知识点二
(3)f'(x)>0 (4)f'(x)<0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ [解析] (1)函数f(x)的定义域为R,在定义域内f'(x)=1+ex>0恒成立,所以f(x)=x+ex在其定义域内是增函数.
(2)因为f'(x)=2,g'(x)=2x,当x>2时,g'(x)>f'(x),所以说法正确.
(3)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-==,由解得0
【课中探究】
探究点一
提问 增函数 减函数
例1 B [解析] 由图可知,f(x)在定义域上先递减后递增再递减,最后再递增,所以f'(x)的符号为先负、后正、再负、最后再正.故选B.
变式 C [解析] 由图可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以y=f'(x)<0在(-∞,0)上恒成立,排除选项B和D;函数f(x)在(0,+∞)上先递减后递增再递减,所以y=f'(x)在(0,+∞)上的符号应为先负、后正、再负,排除选项A.故选C.
例2 C [解析] 由y=f'(x)的图象可得,在(-∞,b)上f'(x)≥0,在(b,+∞)上f'(x)<0.根据原函数图象与导函数图象的关系可得y=f(x)在(-∞,b)上为增函数,在(b,+∞)上为减函数,可排除A,D.又在x=0处,f'(x)=0,所以在x=0处,函数y=f(x)的图象的切线的斜率为0,可排除B.故选C.
变式 A [解析] 设f'(x)的零点为x1,x2,且x1<00,函数f(x)在(-∞,x1)上单调递增;
当x1当x>x2时,f'(x)>0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递增.
符合以上信息的选项只有A,故选A.
探究点二
提问 解:不能,因为函数的单调区间是定义域的子集.
例3 解:(1)函数f(x)=x3-3x+1的定义域为R,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f'(x)>0,得x<-1或x>1;
令f'(x)<0,得-1所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),
f(x)的单调递减区间是[-1,1].
(2)函数f(x)=2x-ln x的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2-,令2->0,得x>;
令2-<0,得0(3)由f(x)=(x≠-1)得f'(x)=(x≠-1).
令f'(x)>0得x>0,令f'(x)<0得x<0且x≠-1,
所以函数f(x)的单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,-1),(-1,0].
变式 解:(1)由题意知,f'(x)=+cos x.令f'(x)>0,得+cos x>0,即cos x>-,
因为x∈(0,2π),所以0令f'(x)<0,得所以函数f(x)在和上单调递增,在上单调递减.
(2)因为f(x)=,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=-.由f'(x)>0,可得-10.综上可知,函数f(x)在[-1,0)上单调递增,在(-∞,-1],(0,+∞)上单调递减.
(3)由题知,f(x)=ex-x的定义域为R,f'(x)=ex-1.当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减.
例4 解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a]上单调递减,在[ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a]上单调递减,在[ln a,+∞)上单调递增.
变式 解:函数f(x)=aln x+x2-(a+3)x的定义域为(0,+∞),f'(x)=+3x-(a+3)=.
当a≤0时,3x-a>0恒成立.
令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得0故f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(0,1]上单调递减.
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=或x=1.
当>1,即a>3时,令f'(x)>0,解得x>或0故f(x)在(0,1],上单调递增,在上单调递减.
当=1,即a=3时,f'(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当0<<1,即00,解得x>1或0故f(x)在,[1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;
当a>3时,f(x)在(0,1],上单调递增,在上单调递减;
当a=3时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0【课堂评价】
1.A [解析] 由题得f'(x)=2x-=,x>0.令f'(x)<0,解得02.B [解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,所以函数f(x)在定义域内是增函数,故选B.
3.A [解析] 由f(x)的图象可知f(x)的单调性从左向右依次为增→减→增→减,由函数f(x)的单调性可以得到其导函数的正负情况从左向右依次是正→负→正→负,故选A.
4.B [解析] 由f(x)=x2+,可得f'(x)=2x-,因为f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以当x∈[2,+∞)时,f'(x)=2x-≥0,即m≤2x3,当x∈[2,+∞)时,2x3≥16,所以m≤16,故选B.
5.(0,1] [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=,得f'(x)=,令f'(x)=>0,得06.2.1 导数与函数的单调性
第1课时 利用导数判断函数的单调性
【学习目标】
1.通过导函数的符号特征体会单调性与导数的关系;
2.会结合函数的图象了解函数的单调性与导数的关系;
3.能利用导数研究含参函数的单调性.
◆ 知识点一 函数的单调性与导数的关系
1.如果在区间(a,b)内,f'(x) 0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数.
2.如果在区间(a,b)内,f'(x) 0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ( )
(2)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. ( )
(3)如果在某个区间内存在f'(x)=0,那么在这个区间内,函数y=f(x)是常数函数. ( )
(4)若存在x∈(a,b),使得f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)上不单调. ( )
◆ 知识点二 利用导数判断函数的单调性的
一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导函数f'(x);
(3)解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=x+ex在其定义域内是增函数. ( )
(2)当x>2时,函数f(x)=2x的增长速度比g(x)=x2的增长速度慢. ( )
(3)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间为(0,1].( )
◆ 探究点一 函数图象与导函数图象的应用
[提问] 对于定义在区间(a,b)内的可导函数f(x),若f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f'(x)≥0 f(x)为 ,f'(x)≤0 f(x)为 .
考向一 根据原函数图象确定导函数图象
例1 [2024·吉林一中高二期中] 已知函数f(x)在定义域内可导,f(x)的大致图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能为 ( )
A B C D
变式 设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能为 ( )
考向二 根据导函数图象确定原函数图象
例2 若函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是 ( )
变式 [2023·哈尔滨三中高二月考] 已知f'(x)为f(x)的导数,f'(x)的图象如图所示,且f(0)=0,则f(x)的图象是 ( )
ABCD
[素养小结]
研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
◆ 探究点二 利用导数求解函数的单调区间
[提问] 利用导数求函数的单调区间时,能否忽视定义域
考向一 求不含参数的函数的单调区间
例3 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x3-3x+1;
(2)f(x)=2x-ln x;
(3)f(x)=.
变式 利用导数判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=ex-x.
[素养小结]
应用导数求解函数的单调区间的步骤:
考向二 求含参数的函数的单调区间
例4 已知函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
变式 [2024·黑龙江哈尔滨实验中学高二期中] 已知函数f(x)=aln x+x2-(a+3)x,a∈R,讨论函数f(x)的单调性.
[素养小结]
讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论,但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
1.[2024·河北唐山高二期中] 函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是 ( )
A.
B.
C.,
D.,
2.函数f(x)=x+sin x在定义域内 ( )
A.是减函数 B.是增函数
C.有增有减 D.是常函数
3.如果函数f(x)的图象如图所示,那么其导函数f'(x)的图象可能是 ( )
4.[2024·云南玉溪一中高二期中] 已知函数f(x)=x2+,若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,8)
B.(-∞,16]
C.(-∞,-8)∪(8,+∞)
D.(-∞,-16]∪[16,+∞)
5.[2024·福建莆田十五中高二期中] 函数f(x)=的单调递增区间为 . 6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第1课时 利用导数判断函数的单调性
1.C [解析] 因为y=3x-x3,所以y'=3-3x2,令y'>0,即3-3x2>0,解得-12.B [解析] 若f'(x)>0,则f(x)单调递增,由题图可得f(x)的单调递增区间为,.故选B.
3.A [解析] 由4x2-1>0,可得x<-或x>,所以函数f(x)=ln(4x2-1)的定义域为∪.f'(x)=,当f'(x)>0时,x>0,由函数f(x)的定义域可知x>,所以函数f(x)=ln(4x2-1)的单调递增区间是.故选A.
【易错点】 在求解函数的单调区间时,只考虑了导函数的正负而忽略了函数的定义域致误.
4.A [解析] 因为f'(x)==.当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,故f(a)>f(b).
5.C [解析] ∵y=xcos x-sin x,∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.对于A,当x∈时,sin x>0,y'<0,函数在此区间上单调递减,故A错误;对于B,当x∈时,sin x<0,y'<0,函数在此区间上单调递减,故B错误;对于C,当x∈(π,2π)时,sin x<0,y'>0,函数在此区间上单调递增,故C正确;对于D,当x∈(0,π)时,sin x>0,y'<0,函数在此区间上单调递减,故D错误.故选C.
6.C [解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)===-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B;当x>0时,f(x)=,则f'(x)=,函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,所以存在x0∈(0,+∞)使得f'(x0)=0,当00,当x>x0时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上先递增后递减,排除A,D.故选C.
7.C [解析] 由f(x)=ax+sin x,得f'(x)=a+cos x,因为f(x)在上单调递增,所以a+cos x≥0在上恒成立,即-a≤cos x在上恒成立,所以-a≤0,则a≥0.故选C.
8.AC [解析] 由f(x)=x--aln x,得f'(x)=1+-,因为函数f(x)在(1,3)上单调递减,所以f'(x)≤0在(1,3)上恒成立,即1+-≤0,即a≥x+在(1,3)上恒成立,当x∈(1,3)时,函数y=x+单调递增,所以y<3+=,所以a≥.故选AC.
9.CD [解析] 由图象可以看出,f'(x)的符号是先负后正,再负再正,所以函数f(x)应有四个单调区间,故A错误;当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以f(-2)>f(-1),故B错误;当x∈[-1,1]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,所以f(-1)10.[0,4] [解析] 根据导函数f'(x)的图象可知,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,4]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间是[0,4],单调递减区间是.
11.(-∞,2],[3,+∞) [解析] 函数f(x)=x3-x2+6x-3的定义域为R,f'(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3).令f'(x)>0,即(x-2)(x-3)>0,解得x>3或x<2,所以函数f(x)=x3-x2+6x-3的单调递增区间是(-∞,2],[3,+∞).
12.(-∞,-e] [解析] 由f(x)=ax+ex,得f'(x)=a+ex,因为f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以f'(x)≤0,即a+ex≤0在(-∞,1]上恒成立,即a≤-ex在(-∞,1]上恒成立,y=-ex在(-∞,1]上的最小值为-e,所以a≤-e,所以实数a的取值范围是(-∞,-e].
13.解:(1)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得x<1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,+∞).
(2)因为f(x)=x2-2ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=,令f'(x)>0,可得x>1,令f'(x)<0,可得0(3)因为f(x)=ex-1-ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ex-1-.当01,则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,ex-1>1,0<<1,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(0,1].
14.解:(1)当a=1时,f(x)=(x-2)ex-x2+x,则f'(x)=(x-1)ex-x+1,故f'(2)=e2-1,又f(2)=0,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e2-1)(x-2),即(e2-1)x-y-2(e2-1)=0.
(2)函数f(x)=(x-2)ex-ax2+ax的定义域为R,f'(x)=(x-1)ex-ax+a=(x-1)(ex-a).
当a≤0时,令f'(x)<0,得x<1,令f'(x)>0,得x>1,所以f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
当a>0时,由f'(x)=0,得x=ln a或x=1.
①当ln a=1,即a=e时,f'(x)≥0,则f(x)在R上单调递增;
②当ln a<1,即00,得x1,令f'(x)<0,得ln a所以f(x)在(-∞,ln a],[1,+∞)上单调递增,在[ln a,1]上单调递减;
③当ln a>1,即a>e时,
令f'(x)>0,得x<1或x>ln a,令f'(x)<0,得1所以f(x)在(-∞,1],[ln a,+∞)上单调递增,在[1,ln a]上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;
当0当a=e时,f(x)在R上单调递增;
当a>e时,f(x)在(-∞,1],[ln a,+∞)上单调递增,在[1,ln a]上单调递减.
15.[0,+∞) [解析] 由题得函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=ex-,设g(x)=ex-,则g'(x)=ex+>0,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递增,又g(0)=0,所以当x>0时,f'(x)>0;当-1【点拨】 在利用函数的二阶导函数求解问题时,遵循以下讨论顺序:二阶导函数的正负性→一阶导函数的增减性及零点→一阶导函数的正负性→原函数的增减性.
16.解:(1)f'(x)=+x-k(x>0),∵曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y=2平行,∴f'(1)=-1,即2-k=-1,故k=3.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当k≤2时,f'(x)=+x-k≥2-k=2-k≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当k>2时,f'(x)=+x-k=,令f'(x)=0,得x2-kx+1=0.∵Δ=k2-4>0,∴方程f'(x)=0有两个不等的实根x1=,x2=.
∵x1+x2=k>0,x1x2=1>0,∴x2>x1>0.
令f'(x)>0,得0x2;令f'(x)<0,得x1故f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上所述,当k≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当k>2时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第1课时 利用导数判断函数的单调性
一、选择题
1.函数y=3x-x3的单调递增区间为 ( )
A.[0,+∞) B.(-∞,-1]
C.[-1,1] D.[1,+∞)
2.[2024·成都高二期中] 已知函数f(x)在定义域内可导,f(x)的导函数为f'(x),y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为 ( )
A.,(1,2)
B.,
C.,
D.,,
★3.[2023·湖北部分学校高二期中] 函数f(x)=ln(4x2-1)的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.(0,+∞)
4.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
5.下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递增的是 ( )
A. B.
C.(π,2π) D.(0,π)
6.[2024·广东广州协和学校高二期中] 函数f(x)=的图象大致是 ( )
A B
C D
7.[2024·河南创新发展联盟高二期末] 已知函数f(x)=ax+sin x在上单调递增,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
8.(多选题)[2024·宁夏吴忠中学高二期中] 若函数f(x)=x--aln x在(1,3)上单调递减,则实数a的值可能为 ( )
A.5 B.-2 C.4 D.1
9.(多选题)如图是y=f(x)的导函数f'(x)的图象,给出下列四个说法,其中正确的是 ( )
A.f(x)有三个单调区间
B.f(-2)C.f(-1)D.f(x)在[-1,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减
二、填空题
10.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
11.[2024·北京铁路二中高二期中] 函数f(x)=x3-x2+6x-3的单调递增区间是 .
12.[2024·吉林长春八中高二月考] 若函数f(x)=ax+ex在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=ex-ex-1;
(2)f(x)=x2-2ln x;
(3)f(x)=ex-1-ln x.
14.[2024·吉林延吉延边二中高二期中] 已知函数f(x)=(x-2)ex-ax2+ax(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
★15.函数f(x)=ex-ln(1+x)的单调递增区间为 .
16.已知函数f(x)=ln x+-kx,其中k∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y=2平行,求实数k的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.