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6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.2 导数与函数的极值、最值
第2课时 利用导数研究函数的最值
探究点一 利用导数求函数的最值
探究点二 求解含参数的函数最值问题
探究点三 已知函数的最值求参数的值或
取值范围
【学习目标】
1.感知最大值和最小值的差异,以及函数极值与最值之间的联系
与区别，会求函数的最值;
2.体会导数在研究函数性质（单调性、最值和图象）中的工具性
作用.
知识点一 函数在 上的最值
假设函数在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，
则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值一定
在极值点或区间端点取得.由于可导函数在区间 内的极值只可能
在使 的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使
的点的值作比较，最大的就是函数在 上的最大值，最
小的就是最小值.
【诊断分析】 函数的极值与最值有何区别与联系
解：区别：最值是在区间 上的所有函数值相比较最大（小）的
值,是区间内的整体概念；
极值是在区间上的某一个数值 附近相比较最大（小）的函数值,
是一个局部性的概念.
联系：最值在区间端点或极值点处取得,确定最值需比较极值与端点
的函数值的大小.
知识点二 求可导函数在 上的最值的步骤
函数在上连续，在上可导，求函数在 上的最
大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在 内的所有______;
（2）计算函数 在______和______处的函数值；
（3）将函数的各极值和， 进行比较，其中______的一
个为最大值,______的一个为最小值.
极值
最大
最小
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若在上有极大值，则极大值一定是 上的最大值.
( )
×
（2）若在上有极小值，则极小值一定是 上的最小值.
( )
×
（3）若在上有极大值，则最小值一定是在或 处
取得.
( )
×
（4）若在上连续，则在 上存在最大值和最小值.
( )
√
[解析] 函数在 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，
最值不一定会在端点处取得，而在 上一定存在最大值和最小值.
知识点三 可导函数在 上的最值
函数在 上连续且可导.
（1）函数 不一定有最大值与最小值;
（2）若函数在 上只有一个极值,且是极大（小）值,则这个
极大（小）值就是函数在 上的______________.
最大（小）值
探究点一 利用导数求函数的最值
［提问］ 函数 的图象的最高点和最低点对应的横坐标分别
为函数的最大值点和最小值点.如果函数 存在最大值,那么其
最大值是否唯一 最大值点是否唯一
解：最大值唯一,最大值点不一定唯一.
例1 求函数, 的最值.
解：, ,
令,解得, .
当变化时,, 的变化情况如下表所示:
- 0 0 -
极小 值 极大 值
由上表知,为极大值点, 为极小值点,
, ,
, .
通过比较知,, .
变式 [2024·上海南洋中学高二期末] 函数 在
上的最大值为____，最小值为___.
7
[解析] 由题可得 ，
当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以在上的最大值为 ，
又，，且,
所以在 上的最小值为 .
［素养小结］
（1）求函数在区间 上的最值的步骤：
①求导函数，不要忘记函数 的定义域；
②求方程 的根；
③判断在方程的根的左右两侧的符号，确定函数 的极值;
④求函数 在区间端点处的函数值，将区间端点处的函数值与极
值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值.
（2）若函数在闭区间 上连续且单调，则最大值、最小值在端点
处取得.
探究点二 求解含参数的函数最值问题
例2 [2023·合肥一中高二期中] 已知函数 ，当
时，有极大值，且 .
（1）求函数 的解析式；
解：因为 ，
所以 ，
因为当时， 有极大值,
所以，即，解得 .
当时， .
令，得；令，得或 .
所以在上单调递增，在上单调递减，在
上单调递增，
故在 处取得极大值，符合题目条件.
又，所以 ，
所以 .
（2）求函数在 上的最大值.
解：由（1）知，在上单调递增，在 上单调
递减，在 上单调递增.
①当时，函数在 上单调递增，
；
②当时，函数在上单调递增，在 上
单调递减，所以 ；
③当时，在上单调递增，在 上单调递
减，在上单调递增，
又 ，所以 ；
④当时，函数在上单调递增，在 上单调递
减，在上单调递增，且 ，
所以 .
综上所述，当或时， ；
当时， .
变式 已知函数，求函数在 上的最
小值.
解： ,
令,解得, .
①当时,在上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
②当时,,在 上单调递增,
所以 .
③当时,在上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
综上所述,当时,的最小值为 ;
当时, 的最小值为0;
当时,的最小值为 .
［素养小结］
对于含参函数的最值问题,由于参数的取值不同会导致函数在所给区
间上的单调性发生变化,从而导致最值发生变化,故解决此类问题时可
通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进
行参数分界的确定.
探究点三 已知函数的最值求参数的值或取值范围
例3 已知函数,是否存在实数,,使在
上取得最大值3,最小值 若存在,求出, 的值;若不存在,请说明理由.
解：存在.显然,,
令 ,且,解得, （舍去）.
①若,则当在上变化时,, 的变化情况如下表所示:
0
0 -
极大值
当时,取得极大值,同时也是最大值, .
又,,,
当 时,取得最小值,即,解得 .
②若,则当在上变化时,, 的变化情况如下表所示:
0
- 0
极小值
当时,取得极小值,同时也是最小值, .
又,,,
当 时,取得最大值,即,解得 .
综上所述,,或, .
变式 已知函数的最小值为1，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题可知，函数的定义域为 ，
.
当时，在上恒成立，
所以函数在 上单调递增,此时 无最小值，不符合题意.
√
当时，令，可得，令，可得 ，
所以函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以当时， 取得最小值，
所以，解得 .
故选D.
［素养小结］
已知函数的最值求参数的值或取值范围的关键：一是求导，判断函
数的单调性；二是利用已知函数的最值得到与参数有关的方程（组）
或不等式（组）；三是解方程（组）或不等式（组），即可求出参
数的值或取值范围.
拓展 已知函数 的值域与
函数的值域相同，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的定义域为, .
当时,,当时,,
所以在 上单调递增,在上单调递减,
故,即 的值域为.
令,则 ,
要使的值域为,则,解得 ,
故实数的取值范围是 .故选D.
1.函数 ( )
A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值
[解析] ， ,
当时，，
所以 单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
√
2.函数 有( )
A.最大值1 B.最小值1 C.最大值 D.最小值
[解析] ，
当时， ，当时，，
在上单调递增，在 上单调递减，
有最大值，最大值为 .故选A.
√
3.函数在 上的最大值为( )
A. B. C. D.0
[解析] 由，得 .
当时，，函数单调递增；
当 时，，函数单调递减.
所以当时，函数 取得最大值，最大值为 .
故选D.
√
4.已知函数在处取得极小值，则 在
上的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
由题意可得，解得，则 ，
，令，可得或.
当 在内变化时，, 的变化情况如下表：
√
1 2
0 - 0
极大值 极小值
函数的极大值为，极小值为 ，
又， ，
，
即，在上的最大值为 .故选B.
5.若函数在上的最大值为10,则
在 上的最小值为_____
[解析] .
由,得 或
,, ,,
,解得 ,
.
1.函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数 在闭
区间 上必有一个最大值和一个最小值,最值点可以不唯一，但在
开区间 上不一定有最大值和最小值.
2.函数在区间 上的最值情况
在区间上函数 的图象是一条连续不断的曲线时，常见的有
以下几种情况：
图①中的函数在 上有最大值而无最小值；
图②中的函数在 上有最小值而无最大值；
图③中的函数在 上既无最大值又无最小值；
图④中的函数在 上既有最大值又有最小值.
3.（1）给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 内连续的函数
不一定有最大值与最小值.如函数在 内连续,但没
有最大值与最小值;
（2）在闭区间上的每一点必须连续,即函数图象没有间断,函数有最
大值和最小值;
（3）函数在闭区间上连续,是在闭区间 上有最大
值与最小值的充分条件而非必要条件.
1.分类讨论思想在求最值（范围）中的应用
例1 已知函数,，若存在 ,
使得，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以当时， ，
所以在上单调递增，又，
当 时， ，
所以当时，的取值范围为 .
因为，所以 .
当时， ，不符合题意.
当时，在上，所以在 上单调递增，
所以当时，的取值范围为 ，符合题意.
当时，若，则,则 单调递增，
若，则,则 单调递减，
又，且当时， ，
所以当时，的取值范围为 ，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为 .
故选D.
2.利用函数最值证明不等式
例2 已知，证明： .
证明：令 ，
则,记 ,
则 ，
故在上单调递减，当时， ,
又，所以 ，使得,
即 .
当时，，则,当 时，,
则,所以在上单调递增，在 上单调递减,
所以
.
令，则,
所以 在 上单调递增，
又，,
所以 ，使得 ，
此时,即 ，
则 ，
所以,所以 ，
所以，故 .第2课时 利用导数研究函数的最值
【课前预习】
知识点一
诊断分析
解:区别:最值是在区间[a,b]上的所有函数值相比较最大(小)的值,是区间内的整体概念;极值是在区间(a,b)上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的函数值,是一个局部性的概念.
联系:最值在区间端点或极值点处取得,确定最值需比较极值与端点的函数值的大小.
知识点二
(1)极值 (2)x=a x=b (3)最大 最小
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,最值不一定会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
知识点三
最大(小)值
【课中探究】
探究点一
提问 解:最大值唯一,最大值点不一定唯一.
例1 解:f'(x)=2cos x-1,x∈,
令f'(x)=0,解得x1=,x2=-.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x - -
f'(x) -1 - 0 + 0 - -1
f(x) -2+ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 2-
由上表知,x=为极大值点,x=-为极小值点,
f=-,f=-+,
f=2-,f=-2+.
通过比较知,f(x)max=-,f(x)min=-+.
变式 3e 7 [解析] 由题可得f'(x)=(2x-5)ex+(x2-5x+7)ex=(x-1)(x-2)ex,
当x∈[0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,2)时,f'(x)<0,
所以f(x)在[0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
所以f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)=3e,
又f(0)=7,f(2)=e2,且7
探究点二
例2 解:(1)因为f(x)=x3+ax+b,
所以f'(x)=x2+a,
因为当x=-2时,f(x)有极大值,
所以f'(-2)=0,即4+a=0,解得a=-4.
当a=-4时,f'(x)=x2-4.
令f'(x)<0,得-20,得x<-2或x>2.
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=-2处取得极大值,符合题目条件.
又f(4)=×43-16+b=,所以b=4,所以f(x)=x3-4x+4.
(2)由(1)知,y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
①当-4②当-2≤m≤2时,函数f(x)在[-4,-2)上单调递增,在(-2,m)上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=;
③当2所以f(x)max=f(-2)=;
④当m>4时,函数f(x)在[-4,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,m]上单调递增,且f(-2)综上所述,当-44时,f(x)max=m3-4m+4;当-2≤m≤4时,f(x)max=.
变式 解:f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,解得x1=-,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=a3.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为a3.
探究点三
例3 解:存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,且x∈[-1,2],解得x1=0,x2=4(舍去).
①若a>0,则当x在[-1,2]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
∴当x=0时,f(x)取得极大值,同时也是最大值,∴b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,∴f(-1)>f(2),∴当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.
②若a<0,则当x在[-1,2]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴当x=0时,f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
变式 D [解析] 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=.
当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无最小值,不符合题意.
当a>0时,令f'(x)>0,可得x>a,令f'(x)<0,可得0所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以当x=a时,f(x)取得最小值,
所以f(x)min=f(a)=ln a+1=1,解得a=1.
故选D.
拓展 D [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ax+a-1=.当x>1时,f'(x)<0,当00,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)max=f(1)=a-1,即f(x)的值域为.令f(x)=t,则y=f[f(x)]=f(t),要使y=f(t)的值域为,则a-1≥1,解得a≥,故实数a的取值范围是.故选D.
【课堂评价】
1.C [解析] f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),-1当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以f(x)单调递减,无最大值和最小值,也无极值.
2.A [解析] f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)有最大值,最大值为f(0)=1.故选A.
3.D [解析] 由f(x)=eln x-x,得f'(x)=-1=(x>0).当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,2e]时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以当x=e时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(e)=eln e-e=0.故选D.
4.B [解析] ∵f(x)=2ln x+ax2-3x,∴f'(x)=+2ax-3,由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,则f(x)=2ln x+x2-3x,∴f'(x)=+x-3=,令f'(x)=0,可得x=1或x=2.当x在内变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x 1 (1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)的极大值为f(1)=-,极小值为f(2)=2ln 2-4,又f=-2ln 2-,f(3)=2ln 3-,f(3)-f(1)=2ln 3-+=2ln 3-2=2(ln 3-1)>0,即f(1)5.-71 [解析] f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x)=0,得x=3或x=-1.∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,∴f(x)max=k+5=10,解得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.第2课时 利用导数研究函数的最值
【学习目标】
1.感知最大值和最小值的差异,以及函数极值与最值之间的联系与区别,会求函数的最值;
2.体会导数在研究函数性质(单调性、最值和图象)中的工具性作用.
◆ 知识点一 函数f(x)在[a,b]上的最值
假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值一定在极值点或区间端点取得.由于可导函数在区间(a,b)内的极值只可能在使f'(x)=0的点取得,因此把函数在区间端点的值与区间内使f'(x)=0的点的值作比较,最大的就是函数在[a,b]上的最大值,最小的就是最小值.
【诊断分析】 函数的极值与最值有何区别与联系
◆ 知识点二 求可导函数在[a,b]上的最值的步骤
函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的所有 ;
(2)计算函数f(x)在 和 处的函数值;
(3)将函数f(x)的各极值和f(a),f(b)进行比较,其中 的一个为最大值, 的一个为最小值.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值. ( )
(2)若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值. ( )
(3)若f(x)在[a,b]上有极大值,则最小值一定是在x=a或x=b处取得. ( )
(4)若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值. ( )
◆ 知识点三 可导函数在(a,b)上的最值
函数f(x)在(a,b)上连续且可导.
(1)函数f(x)不一定有最大值与最小值;
(2)若函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在(a,b)上的 .
◆ 探究点一 利用导数求函数的最值
[提问] 函数y=f(x)的图象的最高点和最低点对应的横坐标分别为函数f(x)的最大值点和最小值点.如果函数f(x)存在最大值,那么其最大值是否唯一 最大值点是否唯一
例1 求函数f(x)=2sin x-x,x∈的最值.
变式 [2024·上海南洋中学高二期末] 函数f(x)=(x2-5x+7)ex在[0,2]上的最大值为 ,最小值为 .
[素养小结]
(1)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤:
①求导函数f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域;
②求方程f'(x)=0的根;
③判断在方程的根的左右两侧f'(x)的符号,确定函数f(x)的极值;
④求函数f(x)在区间端点处的函数值,将区间端点处的函数值与极值比较,取最大的为最大值,最小的为最小值.
(2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大值、最小值在端点处取得.
◆ 探究点二 求解含参数的函数最值问题
例2 [2023·合肥一中高二期中] 已知函数f(x)=x3+ax+b,当x=-2时,f(x)有极大值,且f(4)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-4,m]上的最大值.
变式 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
[素养小结]
对于含参函数的最值问题,由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性发生变化,从而导致最值发生变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定.
◆ 探究点三 已知函数的最值求参数的值或取值范围
例3 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
变式 已知函数f(x)=ln x+(a∈R)的最小值为1,则a= ( )
A. B.e
C. D.1
[素养小结]
已知函数的最值求参数的值或取值范围的关键:一是求导,判断函数的单调性;二是利用已知函数的最值得到与参数有关的方程(组)或不等式(组);三是解方程(组)或不等式(组),即可求出参数的值或取值范围.
拓展 已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-1)x+a(a>0)的值域与函数y=f[f(x)]的值域相同,则a的取值范围为 ( )
A.(0,1] B.(1,+∞)
C. D.
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )
A.有最值,但无极值
B.有最值,也有极值
C.既无最值,也无极值
D.无最值,但有极值
2.函数f(x)=(1-x)ex有 ( )
A.最大值1 B.最小值1
C.最大值e D.最小值e
3.函数f(x)=eln x-x在(0,2e]上的最大值为 ( )
A.1-e B.-1
C.-e D.0
4.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在上的最大值为( )
A.- B.2ln 3-
C.-1 D.2ln 2-4
5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在[-4,4]上的最大值为10,则f(x)在[-4,4]上的最小值为 . 第2课时 利用导数研究函数的最值
1.A [解析] 由f(x)=ex-x+1,可得f'(x)=ex-1,
当-2≤x<0时,f'(x)<0,所以f(x)在[-2,0)上单调递减,当00,所以f(x)在(0,2]上单调递增,
又f(-2)=e-2+3,f(0)=2,f(2)=e2-1,
所以函数f(x)在[-2,2]上的取值范围为[2,e2-1].
故选A.
2.D [解析] 因为f(x)=2x3-6x2+m,所以f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),可得函数f(x)在[-2,0)上单调递增,在(0,2]上单调递减,所以当x=0时,f(0)=m为最大值,所以m=3,即f(x)=2x3-6x2+3,所以f(-2)=2×(-8)-6×4+3=-37,f(2)=2×8-6×4+3=-5,所以f(x)在[-2,2]上的最小值为-37.故选D.
3.C [解析] 由题意,f'(x)=(x2+2x+a)ex,因为函数f(x)有最小值,且ex>0,所以函数f(x)存在单调递减区间,即f'(x)<0有解,所以x2+2x+a=0有两个不等实根,所以函数y=f'(x)的零点个数为2.故选C.
4.C [解析] 由题得f'(x)=x2+2x,令f'(x)=0,可得x=-2或x=0.由f'(x)>0,得x<-2或x>0,由f'(x)<0,得-2【易错】 要使函数在开区间内存在最小值,不仅需要极小值点在该区间内,而且要保证端点处的函数值大于极小值.
5.D [解析] 对于A,由f(x)=,得f'(x)=,
当x<0或x>2时,f'(x)<0,当00,
所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,故A中说法正确;
对于B,当x=0时,f(x)=0,当x→+∞时,f(x)→0,
结合f(x)的单调性,可得函数f(x)的最小值为0,故B中说法正确;
对于C, f(x)的图象如图所示,
因为f(x)在[0,t]上的最大值为,且f(2)=,所以t的最小值为2, 故C中说法正确;
对于D, 由图可知f(x)只有1个零点,故D中说法不正确.
故选D.
6.A [解析] 设Q(m,m2),则|PQ|==,令f(m)=m4+m2-6m+9,则f'(m)=4m3+2m-6=2(2m3+m-3),令h(m)=2m3+m-3,显然h(m)单调递增,且h(1)=0,∴当m∈(-∞,1)时,h(m)<0,即f'(m)<0;当m∈(1,+∞)时,h(m)>0,即f'(m)>0.∴f(m)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(m)min=f(1)=1+1-6+9=5,∴|PQ|min=.
【点拨】 本题将坐标系中的距离最值问题转化为函数的最值问题,避免了对图象的讨论.
7.B [解析] 设h(x)=ex-x-1,x>0,则h'(x)=ex-1>0,
所以h(x)=ex-x-1在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0),即ex-x-1≥0,所以ex≥x+1在(0,+∞)上恒成立.原不等式可化为2a≤,则问题可转化为求(x>0)的最小值,=≥=1(当且仅当ln 2x+x=0时取等号),易知等号可以取到,所以a≤.故选B.
8.ACD [解析] 由f(x)=x3-x+1,得f'(x)=3x2-1,
令f'(x)>0,得x<-或x>,
令f'(x)<0,得-所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以f(x)有两个极值点,故A正确;
因为f=--+1=1+>0,
f=-+1=1->0,
且当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
所以f(x)仅有一个零点,故B错误;
因为f(-x)=-x3+x+1,所以f(-x)+f(x)=2,所以f(x)的图象关于点(0,1)对称,故C正确;
对于D,设切点P(x0,y0),则在点P处的切线方程为y-(-x0+1)=(3-1)(x-x0),
即y=(3-1)x-2+1,
若直线y=2x-1是其切线,则解得x0=1,此时切点为(1,1)时,故D正确.故选ACD.
9.AC [解析] 对于A,f(x)=x+(x∈R),f'(x)=1-=,由f'(x)<0得x<0,由f'(x)>0得x>0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=1,A选项正确;对于B,f(x)=(x>0),f'(x)=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,B选项错误;对于C,f(x)=x-ln x(x>0),f'(x)=1-=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=1,C选项正确;对于D,f(x)=x(x>0),f'(x)=+x··=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,D选项错误.故选AC.
10.(-4,-2) [解析] f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,解得x=.由题意得∈(-2,-1),则-411.2 3 [解析] f'(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)(1≤x≤2),令f'(x)=0,解得x1=0(舍),x2=-(舍),x3=.当1≤x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当0,f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)取得极小值,也是最小值,故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a>0,所以f(x)max=f(2)=b=3,故a=2.
12.(-∞,-1)∪(-1,0]∪ [解析] 由题知函数f(x)的定义域为(-∞,0).
设g(x)=ex+x,易知g(x)在(-∞,0)上单调递增,因为g(-1)=-1<0,g(0)=1>0,
所以存在唯一的x1∈(-1,0)使得g(x1)=0,即+x1=0,即x1=ln (-x1).
令ln (-x)+kx=0,得k=-,
设h(x)=-,则h'(x)=,
当x∈(-e,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(-∞,-e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
又h(-e)=,当x<-e时,h(x)>0,当x→0时,h(x)→-∞,且h(-1)=0,
所以当k∈(-∞,0]∪时,存在唯一的x2∈(-∞,0)使h(x2)=k,即k=-.
当x1=x2时,由x1=ln (-x1),得k=-=-1,此时不符合题意,舍去.
综上,实数k的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0]∪.
13.解:(1)f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,3)上单调递减;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上单调递增.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(3,+∞),单调递减区间是(-1,3).
(2)由(1)可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=,f(x)在x=3处取得极小值f(3)=-6.又f(-2)=,f(4)=-,所以当x∈[-2,4]时,f(x)的最大值与最小值分别为,-6.
14.解:(1)由题得f'(x)=-=(x>0).
令f'(x)>0,得02,
所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞),
故f(x)的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)f'(x)=-a=.
令f'(x)>0,得0,
因为a∈(0,1),所以>1,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
①当≥2,即0②当1<<2,即因为f(2)-f(1)=ln 2-2a-(ln 1-a)=ln 2-a,
所以当当ln 2≤a<1时,f(x)min=f(2)=ln 2-2a.
综上所述,当0当ln 2≤a<1时,f(x)min=f(2)=ln 2-2a.
15.- [解析] 由函数f(x)=ln x,g(x)=2x,f(m)=g(n),得ln m=2n,所以mn=mln m,m>0.令h(m)=mln m,m>0,则h'(m)=(1+ln m).当m>时,h'(m)>0,当0【技巧】 由题干条件得到mn=mln m,m>0,构造函数h(m)=mln m,m>0,求导得到其单调性,从而得到最小值.
16.解:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x=.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,由f'(x)>0,得0由f'(x)<0,得x>,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,当x→0时,f(x)→+∞,
则f(x)≤8ln 2-4不一定成立,故a<0不满足题意.
当a>0时,f(x)max=f=aln -=ln -≤8ln 2-4,
令t=,g(t)=tln t-t,则g'(t)=ln t,
所以g(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又g(e)=0,g(4)=8ln 2-4,
当0所以tln t-t≤8ln 2-4的解集为(0,4],
所以0<≤4,
即0一、选择题
1.[2024·山东青岛十九中高二期中] 函数f(x)=ex-x+1在[-2,2]上的取值范围为 ( )
A.[2,e2-1] B.[2,e-2+3]
C.[e-2+3,e2-1] D.[e,e2-1]
2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )
A.0 B.-5 C.-10 D.-37
3.已知函数f(x)=(x2+a)ex有最小值,则函数y=f'(x)的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
★4.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a-1,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,1) B.(-5,1)
C.[-2,1) D.(-2,1)
5.[2024·江苏南菁中学高二月考] 已知函数f(x)=,则下列说法中不正确的是 ( )
A.函数f(x)在(0,1)上单调递增
B.函数f(x)的最小值为0
C.若f(x)在[0,t]上的最大值为,则t的最小值为2
D.函数f(x)有2个零点
★6.已知点P(3,0),点Q是曲线y=x2上的动点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B.
C.2 D.
7.[2024·南昌十九中高二期中] 已知关于x的不等式2xex-2ax-ln 2x-1≥0恒成立,则实数a的最大值为 ( )
A. B. C.1 D.2
8.(多选题)[2024·武汉高二期中] 已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是f(x)的图象的对称中心
D.直线y=2x-1是f(x)的图象的切线
9.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)=x+(x∈R)的最小值为1
B.f(x)=(x>0)的最小值为1
C.f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1
D.f(x)=x(x>0)的最小值为1
二、填空题
10.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则实数m的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=ax4-4ax2+b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3,最小值为-5,则a= ,b= .
12.[2024·河南濮阳高二期中] 若函数f(x)=(ex+x)[ln(-x)+kx]有2个不同的零点,则实数k的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=x3-x2-3x+3.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x∈[-2,4],求f(x)的最大值与最小值.
14.[2023·浙江钱塘联盟高二期中] 已知函数f(x)=ln x-ax,a∈(0,1).
(1)若a=,求f(x)的单调区间和极值;
(2)求f(x)在[1,2]上的最小值.
★15.已知函数f(x)=ln x,g(x)=2x,若存在m,n使得f(m)=g(n),则mn的最小值是 .
16.已知函数f(x)=aln x-x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a≠0,f(x)≤8ln 2-4恒成立,求实数a的取值范围.