(共54张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
探究点一 费用最少问题
探究点二 面积、体积的最值问题
探究点三 利润最大问题
【学习目标】
1.掌握常见应用问题的解题步骤和策略;
2.掌握用导数法解决生活中的最优化问题.
知识点一 生活中的最优化问题的概念
生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通
常称为________问题.所谓生活中的最优化问题,其实就是指求最值或
求最值条件的实际应用问题,______是求最值的有力工具,因此和函数
有关的生活中的最优化问题可利用导数来研究.
最优化
导数
知识点二 利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
利用导数解决最优化问题的基本思路：
由此思路可得用导数解决最优化问题的步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系,确定实际问题的__________,
进而求出函数解析式 ;
（2）求函数的导数 ,解方程__________;
（3）比较函数在区间端点和使 的点处函数值的大小,确定
最值或最值条件.
可简记为：建模 求导 求最值（或最值条件） 回归实际问题.
函数模型
2【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在经济活动中，怎样使经营成本最小的问题属于最优化问题. ( )
√
（2）解决应用问题的关键是建立数学模型. ( )
√
（3）生活中常见的收益最高、用料最省的问题就是数学中的最大、
最小值问题.
( )
√
探究点一 费用最少问题
例1 某工厂拟建一座平面图为矩形（如图所示）
且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形
限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁的
建造价格为每米400元，中间两条隔墙的建造价格为每米248元，池底的
建造价格为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
（1）写出总造价 （单位：元）与污水处理池的
长 （单位：米）的函数关系式，并指出其定义域.
解：由题知污水处理池的宽为 米，
根据题意得解得 ，
则 .
解：由（1）得 ，
令，可得 .当时， ，
所以 在上单调递减，
则当时， 取得最小值，最小值为 .
因此当污水处理池的长为16米，宽为 米时，污水处理池的总造价最低，
且最低总造价为45 000元.
（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？
并求出最低总造价.
变式 某地需修建一条能通过120公里宽的沙漠地带的大型输油管道,
该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之
间铺设输油管道和等距离修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程
费用为432万元,铺设距离为 公里的相邻两增压站之间的输油管道的
费用为万元.设余下工程的总费用为 万元.
（1）试将表示成关于 的函数;
解：设需要修建个增压站,则,即 ，
.
表示相邻两增压站之间的距离,,且,
与 的函数关系 .
（2）需要修建多少个增压站才能使 最小
解：设 ,
则 .
由,得,又, ，
由，得，又, ，
在上单调递增,在 上单调递减，
当时, 取得最小值,
此时 .
故需要修建19个增压站才能使 最小.
［素养小结］
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都
需要利用导数求解相应函数的最小值.根据 求出极值点
（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）后，若函数在该点附近
满足左减右增，则该点为极小值点，进而可得函数的最小值.
拓展（1） 如图，一条小河岸边有相距
的,两个村庄（村庄视为岸边上, 两点），
在小河另一侧有一集镇（集镇视为点 ），
集镇到岸边的距离为，河宽 为
，通过测量可知，与的正切值之比为 .当地政府
为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（, 分别为两岸上的点，
且与河岸垂直，在 的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所
走距离之和最短.已知, 两村分别有1000人、500人，假设一年中每人
去集镇的次数均为次，设 .（小河河岸视为两条平行直线）
解：与的正切值之比为 ，
， ，
， ，
,
设 ,且 .
，， ，
①记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 表示 ；
， ，
即， .
解：由①可得 ，
，
， ，
令，可得 .
令，且 ，
②试确定 的余弦值，使得 最小，从而符合建桥要求.
当时，， ，
当 时，， ，
函数在上单调递减，
在 上单调递增，
当 时，函数取得最小值，
即当 时，符合建桥要求.
（2）如图，某公园内有两条道路，，现计划在 上选择一点
，新建道路，并把 所在的区域改造成绿化区域.已知
， 千米.
①若绿化区域 的面积为1平方千米，求道路
的长度.
解： 在中，， 千米，
，
解得 千米，
在 中，由余弦定理得 ，
千米.
②若绿化区域改造成本为10万元/平方千米，新建道路 成本
为10万元/千米.设，当 为何值时，该计划
所需总费用最小？
解：由 ，得 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
， .
记该计划所需费用为 ，
则， .
令， ，
则， ，令，可得 ，
当时，， 单调递减，当时，， 单调递增， 当 时，该计划所需总费用最小
探究点二 面积、体积的最值问题
例2 如图，某城市有一块半径为 的半圆
形绿化区域（以为圆心， 为直径），现
对其进行改建，在的延长线上取点 ，使
（1）写出关于的函数关系式，并指出 的取值范围；
解：由题意， .
，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形 和三角
形组成，其面积为.设 .
（2）试问 为何值时，改建后的绿化区域面积取得最大值.
解： ，
， 令，可得 .
当时， ；
当 时， .
当时，取得最大值，
故当 时，改建后的绿化区域面积取得最大值.
变式 [2024·济南高二期末] 以半径为，圆心角为 的扇形铁皮为
圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角 _ _____时，
该容器的容积最大.
[解析] 设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则 ，
所以 ，
则，令 ，可得 .
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
所以当时， 取得最大值.
把代入，可得 ，
由，得 ，
所以当圆心角 时，容器的容积最大.
［素养小结］
求解面积、体积的最值问题，意在考查数学建模、逻辑推理、数学
运算的核心素养，求解时需过四关：
一是构建模型关，即将实际问题转化为数学问题，构建函数模型；
二是建立目标函数关，即利用相关的面积或体积公式，建立目标函数；
三是应用导数关，借用导数的工具性，判断函数的单调性，求其最值；
四是下结论关，回归实际问题，得出结论.
注意：此类题的易错点是求导时未注意到自变量的取值范围.
探究点三 利润最大问题
［提问］ 常见的利润表达式有：
（1）利润 __________;
（2）利润 每件产品的利润×__________.
收入-成本
销售件数
例3 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,
出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划
提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为
,则出厂价相应提高的比例为 ,年销售量也相应增加.
已知年利润（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本） 年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为 ,为使本年度的年利润比上年度有
所增加,则投入成本增加的比例 应在什么范围内
解：由题意得上年度的年利润为 （万元）.
本年度每辆车的投入成本为 ,每辆车的出厂价为
,年销售量为 ,
因此本年度的年利润
.
由,得 .
故当 时,本年度的年利润比上年度有所增加.
（2）若年销售量关于的函数为,则当 为
何值时,本年度的年利润最大 最大年利润是多少
解：由题意得，本年度的年利润
,
则
.
令,得或 （舍去）.
当时,, 单调递增;
当时,, 单调递减.
故当时,取得极大值 .
又函数在 上只有一个极大值,即为最大值,
所以当 时,本年度的年利润最大,最大年利润为20 000万元.
变式 已知某商店某种商品的日销售量（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克）满足的函数关系式为 ，其中
， 为常数.当销售价格为5元/千克时，每日可售出30千克.
（1）求 的值；
解：设， ，
依题意知，解得 .
（2）若该商店销售该种商品的销售成本为3元/千克（只考虑销售出
的千克数），当销售价格为多少时（精确到 ），日销售该种商品
所获得的利润最大.
解：由（1）知，， ，
设该商店日销售该种商品所获得的利润为 ，
由题可得， ，
则， .
当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， 取得最大值，
故当销售价格为 元/千克时，日销售该种商品所获得的利润最大.
［素养小结］
（1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般先根据“利润 收
入-成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.求解时要注意：①
价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
（2）用导数解最值应用题，一般分为五个步骤：
①建立函数关系式；②求导函数；令 ，
求出相应的；④指出 是最值点的理由；⑤对题目所问作出
回答.求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值
时变量的取值.
1.做一个圆柱形锅炉，其容积为 ，两个底面的材料每单位面积的价
格为元，侧面的材料每单位面积的价格为 元，则当总造价最低时，
锅炉的高与底面直径的比值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设锅炉的高为，底面直径为 ，锅炉的高与底面直径的比值
是
， ，.
设总造价为 元，则
，
则，
令 ，解得，可得此时 取得最小值.
故当总造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为 .故选A.
2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平
方成正比,比例系数为.已知贷款的利率为 ,假设银行
吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为, ,则银行
获得最大收益时, 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意得存款量是,银行支付的利息是 ,获得的贷款利
息是,其中 ,
所以银行的收益 ,
则，
令,得 或（舍去）.
当时,;当 时,.
所以当时,取得最大值,即当存款利率为 时,
银行获得最大收益.故选B.
3.一艘船的燃料费（单位:元/时）与船速 （单位:千米/时）的关系
是 .若该船航行时其他费用为540元/时,则在100千米的
航程中,要使得航行的总费用最少,船速应为( )
A.30 千米/时 B. 千米/时
C. 千米/时 D.60 千米/时
√
[解析] 由题知,100千米的航程需要小时,记总费用为 ,
则 ,
即 ,
故.
令,得 ,故当时,,单调递减,
当时,, 单调递增,
所以当时, 取得最小值,即航行的总费用最少.故选A.
4.现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为
的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是___.
2
[解析] 由题意得方盒底面是正方形，边长为，高为 ，
所以方盒的容积, ，
，
当时， ，当时，，
所以当时， 取得最大值，最大值为2.
1.在实际问题中,要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式
,并注明其定义域,当 在定义域内只有一个解,并且最
值一定存在时,则此点即为函数 的最值点.
2.解决最优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理,
其探究过程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值,要根据函
数式的特点,用适当的方法求解,有时用基本不等式或二次函数图象求
最值比用导数更方便.
3.利用导数解决生活中的最优化问题可归结为求函数的最值问题
（1）函数建模重要的是自变量的选择,可使函数式简单化,计算简单
化,然后把变量间的关系转化成函数关系式,并确定自变量的取值范围,
即函数的定义域.
（2）问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义.
（3）在可导函数的定义域内如果只有一个极值点,则该极值就是最大
（小）值.在求实际问题的最值时,则此点就是最值点.
1.用料最省问题
例1 江轮逆水上行，水速为 ，船在静水中的速
度为.已知行船时每小时的耗油量为 ，即
与船在静水中的速度的平方成正比.当 为何值时，全程的耗油量
最小？
解：船的实际速度为，故全程用时 ，
所以全程的耗油量 ，
所以 .
令，可得 ，
又当时，，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
故在 处取到极小值，也是最小值，
所以最小值为 .
故当 时，全程的耗油量最小.
2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些
（2）是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润就越大
例2 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料，每个瓶子的制造成
本是分,其中 是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1毫升的饮
料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6厘米.
解：设每瓶饮料的利润是 分，
则, ，
令,解得舍去 .
当时,;当时, .
故在上单调递增,在 上单调递减，
. 当瓶子的半径为6厘米时,每瓶饮料的利润最大.
（1）瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大
（2）瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最小
解：当瓶子的半径为2厘米时,每瓶饮料的利润最小,这时 ,表
示每瓶饮料的利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具,直接从函数的图象上观察,会有
什么发现
由的图象知，当时, ,即瓶子的半径为3厘米时,每瓶
饮料的利润为零，当 时,每瓶饮料的利润才为正值.
当时,, 单调递减,其实际意义为：瓶子的半径小
于2厘米时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为2厘米时,利润最小.
3.耗时最短问题
例3 [2023·合肥六校高二期中] 如图所示，
为沿海岸的高速路，海岛上码头 离高速
路最近的点的距离是，在距离 点
（1）写出运输时间关于 的函数；
的 处有一批药品要尽快送达海岛.现要用海陆联运的方式运送
这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为 ，
快艇速度为. （参考数据： ）
解：如图，连接，.由题意知， ，
则, ，
故 .
（2）当 选在何处时，运输时间最短？
解： .
令，得 .
当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
所以当时， 取得最小值.
所以当点选在距点 时，运输时间最短.6.3 利用导数解决实际问题
【课前预习】
知识点一
最优化 导数
知识点二
(1)函数模型 (2)f'(x)=0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题知污水处理池的宽为米,
根据题意得解得≤x≤16,
则y=×400+2××248+200×80=800x++16 000.
(2)由(1)得y'=800-,
令y'=0,可得x=18.
当≤x≤16时,y'<0,
所以y=800x++16 000在上单调递减,则当x=16时,y取得最小值,最小值为800×16++16 000=45 000.
因此当污水处理池的长为16米,宽为米时,污水处理池的总造价最低,且最低总造价为45 000元.
变式 解:(1)设需要修建k(k∈N*)个增压站,则(k+1)x=120,即k=-1,
∴y=432k+(k+1)(x3+x)=432×+(x3+x)=+120x2-312.
∵x表示相邻两增压站之间的距离,∴0(2)设f(x)=+120x2-312(0则f'(x)=-+240x=(x3-216).
由f'(x)>0,得x3>216,又0由f'(x)<0,得x3<216,又0∴f(x)在(6,120]上单调递增,在(0,6)上单调递减,
∴当x=6时,f(x)取得最小值,
此时k=-1=-1=19.
故需要修建19个增压站才能使y最小.
拓展 (1)解:①∵∠PAB与∠PBA的正切值之比为1∶3,
∴∶=1∶3,∴AH∶BH=3∶1,
∴AH=6,BH=2,∴tan∠PAB===,设tan β=,且β∈.
∵PQ=2,∴MP=,MQ=,
∴L=1000m(AN+MN+MP)+500m(BN+MN+MP)=1000m+500m=7075m+1000m,θ∈,
即L=7075m+1000m,θ∈.
②由①可得L=7075m+1000m·,θ∈,
∴L'=1000m·=1000m·,θ∈,
令L'=0,可得cos θ=.
令cos θ0=,且θ0∈,
当θ∈(β,θ0)时,cos θ>,L'<0,当θ∈时,cos θ<,L'>0,
∴函数在(β,θ0)上单调递减,在上单调递增,
∴当θ=θ0时,函数取得最小值,即当cos θ=时,符合建桥要求.
(2)解:①∵在△ABC中,∠BAC=,AB=2千米,
∴S△ABC=AB·AC·sin=1,解得AC=2千米,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos=22+22-2×2×2×cos=8-4,
∴BC==-千米.
②由∠ABC=θ,得∠ACB=π-,0<θ≤,
在△ABC中,由正弦定理得==,
∴BC=,AC=.
记该计划所需费用为F(θ),
则F(θ)=××2××10+×10==,0<θ≤.
令f(θ)=,0<θ≤,则f'(θ)=,0<θ≤,
令f'(θ)=0,可得θ=,当θ∈时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减,
当θ∈时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增,
∴当θ=时,该计划所需总费用最小.
探究点二
例2 解:(1)由题意,S=×40x×40+×40×80×sin(π-x)=800x+1600sin x(0(2)S'=800+1600cos x=800(1+2cos x),
∵0当00;当∴当x=时,S取得最大值,故当x=时,改建后的绿化区域面积取得最大值.
变式 π [解析] 设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,则r2+h2=R2,
所以V=πr2h=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0则V'=-πh2+πR2(0当00,V单调递增,
当R>h>R时,V'<0,V单调递减,
所以当h=R时,V取得最大值.
把h=R代入r2+h2=R2,可得r=R,
由Rα=2πr,得α=π,
所以当圆心角α=π时,容器的容积最大.
探究点三
提问 (1)收入-成本 (2)销售件数
例3 解:(1)由题意得上年度的年利润为(13-10)×5000=15 000(万元).
本年度每辆车的投入成本为10×(1+x),每辆车的出厂价为13×(1+0.7x),年销售量为5000×(1+0.4x),
因此本年度的年利润f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)=-1800x2+1500x+15 000(0由-1800x2+1500x+15 000>15 000,得0故当0(2)由题意得,本年度的年利润g(x)=(3-0.9x)×3240×=3240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则g'(x)=3240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)×(x-3)(0令g'(x)=0,得x=或x=3(舍去).
当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
故当x=时,g(x)取得极大值g=20 000.
又函数g(x)在(0,1)上只有一个极大值,即为最大值,
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大年利润为20 000万元.
变式 解:(1)设f(x)=+3(x-8)2,x∈(3,8),
依题意知f(5)=+3×(5-8)2=30,解得m=6.
(2)由(1)知,f(x)=+3(x-8)2,x∈(3,8),
设该商店日销售该种商品所获得的利润为g(x),由题可得g(x)=f(x)(x-3)=6+3(x-8)2(x-3)=3x3-57x2+336x-570,x∈(3,8),
则g'(x)=9x2-114x+336=3(x-8)(3x-14),x∈(3,8).
当30,当所以g(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以当x=时,g(x)取得最大值,
故当销售价格为≈4.7元/千克时,日销售该种商品所获得的利润最大.
【课堂评价】
1.A [解析] 设锅炉的高为h,底面直径为d,锅炉的高与底面直径的比值是=k.∵π·h=V=·kd=d3,∴d=,h=kd=.设总造价为y元,则y=2π··a+πd·h·b=··+πb··,则y'=···+πb···,令y'=0,解得k=,可得此时y取得最小值.故当总造价最低时,锅炉的高与底面直径的比值为.故选A.
2.B [解析] 依题意得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.048 6kx2,其中x∈(0,0.048 6),所以银行的收益y=0.048 6kx2-kx3(00;当0.032 43.A [解析] 由题知,100千米的航程需要小时,记总费用为f(x),则f(x)=×(x>0),即f(x)=x2+100+(x>0),故f'(x)=2x-=(x>0).令f'(x)=0,得x=30,故当030时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=30时,f(x)取得最小值,即航行的总费用最少.故选A.
4.2 [解析] 由题意得方盒底面是正方形,边长为3-2x,高为x,所以方盒的容积V=(3-2x)2×x=4x3-12x2+9x,00,当【学习目标】
1.掌握常见应用问题的解题步骤和策略;
2.掌握用导数法解决生活中的最优化问题.
◆ 知识点一 生活中的最优化问题的概念
生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 问题.所谓生活中的最优化问题,其实就是指求最值或求最值条件的实际应用问题, 是求最值的有力工具,因此和函数有关的生活中的最优化问题可利用导数来研究.
◆ 知识点二 利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
利用导数解决最优化问题的基本思路:
由此思路可得用导数解决最优化问题的步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,确定实际问题的 ,进而求出函数解析式y=f(x);
(2)求函数的导数f'(x),解方程 ;
(3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点处函数值的大小,确定最值或最值条件.
可简记为:建模→求导→求最值(或最值条件)→回归实际问题.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在经济活动中,怎样使经营成本最小的问题属于最优化问题. ( )
(2)解决应用问题的关键是建立数学模型. ( )
(3)生活中常见的收益最高、用料最省的问题就是数学中的最大、最小值问题. ( )
◆ 探究点一 费用最少问题
例1 某工厂拟建一座平面图为矩形(如图所示)且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁的建造价格为每米400元,中间两条隔墙的建造价格为每米248元,池底的建造价格为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(单位:元)与污水处理池的长x(单位:米)的函数关系式,并指出其定义域.
(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价.
变式 某地需修建一条能通过120公里宽的沙漠地带的大型输油管道,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x3+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小
[素养小结]
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,若函数在该点附近满足左减右增,则该点为极小值点,进而可得函数的最小值.
拓展 (1)如图,一条小河岸边有相距8 km的A,B两个村庄(村庄视为岸边上A,B两点),在小河另一侧有一集镇P(集镇视为点P),集镇P到岸边的距离PQ为2 km,河宽QH为0.05 km,通过测量可知,∠PAB与∠PBA的正切值之比为1∶3.当地政府为方便村民出行,拟在小河上建一座桥MN(M,N分别为两岸上的点,且MN与河岸垂直,M在Q的左侧),建桥要求:两村所有人到集镇所走距离之和最短.已知A,B两村分别有1000人、500人,假设一年中每人去集镇的次数均为m次,设∠PMQ=θ.(小河河岸视为两条平行直线)
①记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和,试用θ表示L;
②试确定θ的余弦值,使得L最小,从而符合建桥要求.
(2)如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC=,AB=2千米.
①若绿化区域△ABC的面积为1平方千米,求道路BC的长度.
②若绿化区域△ABC改造成本为10万元/平方千米,新建道路BC成本为10万元/千米.设∠ABC=θ,当θ为何值时,该计划所需总费用最小
◆ 探究点二 面积、体积的最值问题
例2 如图,某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现对其进行改建,在AB的延长线上取点D,使OD=80 m,在半圆上选定一点C,改建后绿化区域由扇形AOC和三角形COD组成,其面积为S m2.设∠AOC=x rad.
(1)写出S关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;
(2)试问x为何值时,改建后的绿化区域面积取得最大值.
变式 [2024·济南高二期末] 以半径为R,圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面,制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α= 时,该容器的容积最大.
[素养小结]
求解面积、体积的最值问题,意在考查数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养,求解时需过四关:
一是构建模型关,即将实际问题转化为数学问题,构建函数模型;
二是建立目标函数关,即利用相关的面积或体积公式,建立目标函数;
三是应用导数关,借用导数的工具性,判断函数的单调性,求其最值;
四是下结论关,回归实际问题,得出结论.
注意:此类题的易错点是求导时未注意到自变量的取值范围.
◆ 探究点三 利润最大问题
[提问] 常见的利润表达式有:(1)利润= ;(2)利润=每件产品的利润× .
例3 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内
(2)若年销售量y关于x的函数为y=3240,则当x为何值时,本年度的年利润最大 最大年利润是多少
变式 已知某商店某种商品的日销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足的函数关系式为y=+3(x-8)2,其中x∈(3,8),m为常数.当销售价格为5元/千克时,每日可售出30千克.
(1)求m的值;
(2)若该商店销售该种商品的销售成本为3元/千克(只考虑销售出的千克数),当销售价格为多少时(精确到0.1),日销售该种商品所获得的利润最大.
[素养小结]
(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般先根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.求解时要注意:①价格要大于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
(2)用导数解最值应用题,一般分为五个步骤:
①建立函数关系式y=f(x);②求导函数y=f'(x);③令f'(x)=0,求出相应的x0;④指出x=x0是最值点的理由;⑤对题目所问作出回答.求实际问题中的最值问题时,可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值.
1.做一个圆柱形锅炉,其容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,则当总造价最低时,锅炉的高与底面直径的比值为( )
A. B. C. D.
2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.048 6),则银行获得最大收益时,x的值为 ( )
A.0.016 2 B.0.032 4
C.0.024 3 D.0.048 2
3.一艘船的燃料费y(单位:元/时)与船速x(单位:千米/时)的关系是y=x3+x.若该船航行时其他费用为540元/时,则在100千米的航程中,要使得航行的总费用最少,船速应为( )
A.30 千米/时 B.30 千米/时
C.30 千米/时 D.60 千米/时
4.现有一块边长为3的正方形铁片,在铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,则该方盒容积的最大值是 . 6.3 利用导数解决实际问题
1.B [解析] 设利润为y,则y=pq-C=q-(10+100q)=-q3+2700q-10,
所以y'=-q2+2700,当00,当q>90时,y'<0,所以利润最大时,q=90.故选B.
2.A [解析] 如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcos θ,l=2rsin θ,∴S侧=2πrcos θ·2rsin θ=4πr2sin θcos θ.令S'侧=4πr2(cos2θ-sin2θ)=4πr2cos 2θ=0,∴θ=.当θ=,即R=r时,S侧最大,且(S侧)max=2πr2.
3.C [解析] 设截去的小正方形的边长为x米,则容器的底面边长为(2-2x)米,高为x(0则容器的容积f(x)=x(2-2x)2=4x3-8x2+4x(0当00,f(x)单调递增,当故为了使容器的容积最大,则截去的小正方形的边长为米.故选C.
4.A [解析] 设底面边长为x,高为h,则V=x2·h=256,
∴h=,∴表面积S=x2+4xh=x2+4x·=x2+,∴S'=2x-.令S'(x)=0,解得x=8,易知当x=8时最省材料,此时h==4.
5.D [解析] 由题意知,总成本C(x)=20 000+100x,所以总利润P(x)=R(x)-C(x)=
则P'(x)=
令P'(x)=0,当0≤x≤400时,得x=300;当x>400时,P'(x)<0恒成立.则当0≤x≤400时,P(x)在[0,300)上单调递增,在(300,400]上单调递减,所以此时P(x)的最大值为P(300)=25 000;当x>400时,P(x)单调递减,则P(x)<60 000-100×400=20 000.因为25 000>20 000,所以当x=300时,总利润最大.
6.C [解析] 设航行速度为x(00,所以f(x)在(20,30]上单调递增,所以当x=20时,海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,故选C.
7.C [解析] 设圆锥的底面半径为R,高为H,圆柱的底面半径为r(0易知=,则h=(R-r),
所以V圆柱=πr2h=πr2(R-r).
设f(r)=r2(R-r)(00,f(r)单调递增,当r∈时,f'(r)<0,f(r)单调递减,
所以f(r)的最大值为f==R3,所以V圆柱的最大值为R2H==V圆锥=×27=12(cm3).故选C.
8.BC [解析] 设矩形与半圆直径垂直的一边长为x(00;当R9.ABC [解析] 设上部分的半球半径为R,则πR3=10π,解得R=.设小圆锥的底面半径为r,小圆锥底面中心到球心的距离为h,可知r2+h2=15,则小圆锥的体积V=πr2(h+6)=π(15-h2)(h+6)(010.80 [解析] 设全程运输成本为y元,由题意得y==240(v>0),则y'=240.令y'=0,得v=80.当v>80时,y'>0;当011.20 [解析] 设DC=x,则AC=50-x,0则总费用y=3a(50-x)+5a,
所以y'=-3a+,令y'=0,可得x=30,
当x∈(0,30)时,y'<0,函数单调递减,当x∈(30,50)时,y'>0,函数单调递增,
所以当x=30时,总费用取得最小值,此时AC=20千米.
12.11 [解析] 设该同学所获得的年利润为p(x)万元,依题意得,当00,p(x)单调递增,当x>e3时,p'(x)<0,p(x)单调递减,∴当x=e3时,p(x)取得最大值,最大值为p(e3)=15-ln e3-1=11.∵11>10,∴当x=e3时,p(x)取得最大值11,即该同学可获得的最大年利润为11万元.
13.解:设圆的半径为r,则半圆的面积为,矩形的宽为2r,
设矩形的长为h,则矩形的面积为2rh,
所以+2rh=a,即h=-,
所以该图形的周长为-+2r+πr=+r.
设f(r)=+r,则f'(r)=-+2+,
令f'(r)=0,
解得r=(舍去负值),
所以函数f(r)在上单调递减,在上单调递增,
所以当r=时,函数f(r)取得最小值,
故圆的直径为2时,所需材料最省.
14.解:(1)由题意知
整理得解得
(2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40],
则该公司获得的利润φ(x)=x+(50-x)·=5ln x+5+2,x∈[10,40],
则φ'(x)=-=.
令φ'(x)=0,可得x=25.
当100,φ(x)单调递增,
当25∴φ(x)max=φ(25)=10ln 5+15≈10×1.609+15=31.09,
∴当甲、乙两种产品各投资25万元时,公司取得最大利润,最大利润为31.09万元.
15.A [解析] 设剪成的小正三角形的边长为x,则S==·(00,f(x)单调递增.故当x=时,S取得最小值.
16.解:(1)设y=k,
由当x=2时,y=4+t,可得k=2,所以y=2x+.
因为x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%,
所以x∈[2,6].
所以y关于x的函数表达式为y=2x+,x∈[2,6].
(2)令f(x)=2x+,x∈[2,6],t∈[1,16],
则f'(x)=2-=.
当1≤t≤4时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在[2,6]上单调递增,
此时f(x)max=f(6)=12+.
当4易得f(x)在[2,)上单调递减,在(,6]上单调递增,
此时f(x)max=max{f(2),f(6)}.
因为f(2)=4+t,f(6)=12+,
所以f(6)-f(2)=12+-(4+t)=8-.
当4当12综上,当1≤t≤12时,y的最大值为12+,此时x=6;
当12一、选择题
1.已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=10+100q,单价p与产量q的函数关系式为p=2800-q2,假设商品全部都能销售出去,则利润最大时,q= ( )
A.80 B.90 C.100 D.110
2.若一球的半径为r,则内接于该球的圆柱的侧面积最大为 ( )
A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.πr2
3.现有一块边长为2米的正方形铁板,若从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形,然后做成一个长方体形的无盖容器,为了使容器的容积最大,则截去的小正方形的边长为 ( )
A.米 B.米
C.米 D.米
4.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为 ( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
5.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年的产量是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
6.海轮每小时的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航行速度为30海里/时,当航行速度为10海里/时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航行速度应为 ( )
A.30海里/时 B.25海里/时
C.20海里/时 D.10海里/时
7.某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动,在木工师傅指导下要把一个体积为27cm3的圆锥切割成一个圆柱,切割过程中磨损忽略不计,则圆柱体积的最大值为 ( )
A.4 cm3 B.8 cm3
C.12 cm3 D.16 cm3
8.(多选题)内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的相邻两边长为 ( )
A. B.R C.R D.
9.(多选题)如图所示,外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形,上部分是体积为10π的半球,下面大圆刚好与高为6的圆锥的底面圆重合,在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,则该小圆锥的体积可以为 ( )
A.10π B.18π C.30π D.40π
二、填空题
10.[2023·南京燕子矶中学高二期末] 甲、乙两地相距240 km,汽车从甲地以v km/h的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以 km/h的速度行驶.
11.如图,在河岸同侧有甲、乙两个工厂,甲工厂位于笔直河岸的岸边A处,乙工厂位于离河岸40千米的B处,BD垂直于河岸,垂足为D,且D与A相距50千米.两个工厂要在此岸边A,D之间合建一所供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每千米3a元和5a元,供水站建在与甲工厂相距 千米,可使铺设水管的总费用最省.
12.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,当年产量为x万件时,需另投入流动成本C(x)万元,且当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x,当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17.已知每件产品的售价为6元,若该同学生产的产品当年能全部售完,则该同学可获得的最大年利润是 万元.
三、解答题
13.如图,用铁丝围成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为a.为使所用材料最省,圆的直径应为多少
14.[2023·泰安高二期中] 某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足关系式f(x)=+-b(a,b为常数,a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足关系式g(x)=.已知投资甲产品1万元,10万元时,获得的利润分别为5万元,16.515万元.
(1)求a,b的值;
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润 最大利润为多少万元
(参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609)
15.将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是 ( )
A. B. C. D.
16.某科技公司2023年实现利润8千万元,为提高产品竞争力,公司决定在2024年增加科研投入.假设2024年利润增加值y(千万元)与科研投入x(千万元)之间的关系满足:①y与成正比,其中t为常数,且t∈[1,16];②当x=2时,y=4+t.要求2024年科研投入不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求2024年利润增加值y的最大值以及相应的x的值.
