习题课 导数的综合应用
1.D [解析] 由f(x)=xln x≤,得m≥,则问题转化为m≥.
令g(x)=2ln x+x+,则g'(x)=+1-=,
当x>1时,g'(x)>0,当0
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=4,所以m≥4,
故m的最小值为4.故选D.
2.A [解析] 由f(x)=,得f'(x)=,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,此时f(x)单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=0.
因为 x1∈[1,e], x2∈(0,1]使得f(x1)>g(x2)成立,
所以 x∈(0,1],使得ln(x+1)-ax2<0成立,即a>成立,
令h(x)=,x∈(0,1],则a>h(x)min.
h'(x)==,
令φ(x)=-2ln(x+1),x∈(0,1],
则φ'(x)=-=<0,
所以φ(x)在(0,1]上单调递减,所以φ(x)<φ(0)=0,
所以h(x)在(0,1]上单调递减,
所以h(x)min=h(1)=ln 2,
所以a>ln 2.故选A.
3.C [解析] 令f(x)=ex-ln x,则f'(x)=ex-(x>0),令h(x)=ex-(x>0),则h'(x)=ex+>0恒成立,
所以f'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,又f'=-e<0,f'(1)=e-1>0,
所以在上必然存在唯一的x0,使得f'(x0)=0,
所以当x∈(0,x0)时,f(x)单调递减,当x∈(x0,1)时,f(x)单调递增,故A,B错误;
令g(x)=,则g'(x)=,当0,即x2>x1,故C正确,D错误.故选C.
4.ABD [解析] 令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,
所以f(x)min=f(0)=0,所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号). 令g(x)=x-1-ln x,x∈(0,+∞),则g'(x)=1-=,
当x>1时,g'(x)>0,当0所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以g(x)min=g(1)=0,
所以x-1≥ln x(当且仅当x=1时取等号).
对于A,当x>0时,ex>x+1>x>x-1≥ln x,所以ln x对于B,因为ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号),所以ex-1≥x,当且仅当x=1时取等号,故B正确;
对于C,ln x≤x-1(当且仅当x=1时取等号),故C错误;
对于D,令h(x)=xln x-x+1,x∈(0,+∞),则h'(x)=ln x,
当x>1时,h'(x)>0,当0所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以h(x)min=h(1)=0,
所以xln x≥x-1(当且仅当x=1时取等号),故D正确.
故选ABD.
5. [解析] 原不等式可化为a(x-2)>xex,
令f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)min=f(-1)=-,当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞.
在同一平面直角坐标系中,作出f(x)与y=a(x-2)(过定点(2,0))的图象,如图所示,
由图可知,满足题意的负整数解为-1,则应满足解得≤a<.
故实数a的取值范围为.
6. [解析] 由题意可知,m+a≥x3-x对 x∈[0,1]恒成立,且a-m≤x3-x对 x∈[0,1]恒成立.
令f(x)=x3-x,x∈[0,1],则f'(x)=3x2-1,当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=-,f(x)max=f(0)=f(1)=0,所以则原问题等价于 a∈R,使得-m≤a≤m-成立,则-m≤m-,解得m≥.故实数m的取值范围为.
7.C [解析] 当x≤0时,f(x)=(x+1)2-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0]上单调递增;
当x>0时,f(x)=,则f'(x)=,
令f'(x)>0,得0e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
f(e)=,当x>1时,f(x)>0恒成立.
在同一平面直角坐标系内作出直线y=a与函数y=f(x)的图象,如图,
由图可知,当-1所以实数a的取值范围是.故选C.
8.A [解析] 函数f(x)=e2x+(a-1)ex-x有两个零点,等价于关于x的方程e2x+(a-1)ex-x=0有两个根,即关于x的方程1-a=有两个根.令h(x)=,则h'(x)==,令g(x)=e2x+x-1,则g'(x)=2e2x+1>0,所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=e0+0-1=0,
所以当x<0时,g(x)<0,即h'(x)<0,当x>0时,g(x)>0,即h'(x)>0,
所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)的最小值为h(0)==1,
又当x→-∞时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,
所以1-a>1,解得a<0.故选A.
9.B [解析] 由f(x)=,得f'(x)==(x≠0),
令f'(x)>0,得-e令f'(x)<0,得x<-e或x>e,
所以f(x)在(-e,0)和(0,e)上单调递增,在(-∞,-e)和(e,+∞)上单调递减,所以f(x)的大致图象如图所示.
令t=f(x),令g(x)=[f(x)]2-mf(x)-1=0,
则t2-mt-1=0,则Δ=m2+4>0,
所以关于t的方程t2-mt-1=0有两个不相等的实根t1,t2,且t1+t2=m,t1·t2=-1.
因为g(x)在其定义域上有且仅有两个零点,
所以由f(x)的图象可知t1,t2∈∪,不妨设t1>,则t2<-,
因为t1·t2=-1,所以t2=-,
所以-<-,即0由m=t1+t2=t1-,得m'=1+>0,
所以m=t1-在上单调递增,所以-10.解:(1)由已知得f'(x)=x-,故f'(1)=-2,f(1)=,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-2(x-1),化简得4x+2y-5=0.
(2)由(1)知,f'(x)=(x>0),令f'(x)=0,得x=.
当x∈(0,)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以当x∈(1,e)时,函数f(x)在(1,)上单调递减,在(,e)上单调递增.
又因为f(1)=,f(e)=e2-3>0,f()=(1-ln 3)<0,所以f(x)在区间(1,e)上有两个零点.
11.解:(1)函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),
f'(x)=.
由f'(x)>0,得x>,所以f(x)的单调递增区间为(,+∞),
由f'(x)<0,得0(2)关于x的方程tf(x)-x=0在∪(1,e2]上有两个不相等的根等价于函数h(x)=的图象与函数y=t的图象在∪(1,e2]上有两个不同的交点.
由h'(x)=>0,得0e.
所以当x=e时,函数h(x)取得极大值,极大值为h(e)=.
又h=-e,h(e2)=,h(1)=0,且>0>-e,
所以实数t的取值范围为.
12.C [解析] 由ln x+ln y=-x,得ln x+x=-ln y+=ln+,
构造函数f(x)=ln x+x,则f'(x)=+1>0,
所以f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,
又ln x+x=ln+,所以 x=,即xy=1.
由基本不等式可知x+y≥2=2,
当且仅当x=y=1时等号成立,所以x+y>1.故选C.
13.B [解析] 不妨设x1>x2>0,由>2,可得f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,
令g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-2x,则g(x1)>g(x2),
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g'(x)=+x-2≥0对任意的x>0恒成立,所以a≥2x-x2对任意的x>0恒成立.
当x>0时,2x-x2=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以a≥1.故选B.
14.证明:∵f(x)有两个零点x1,x2,∴x1ln x1-a+x1=0,x2ln x2-a+x2=0,可得a=+=+.
∵x2>2x1>0,∴设x2=tx1(t>2),则+=+,可得ln x1=-1,∴ln x2=ln(tx1)=ln t+ln x1=-1,∴ln(x1x2)=ln x1+ln x2=-1+-1=-2.
令h(t)=-2(t>2),则h'(t)=,
令φ(t)=-2ln t+t-(t>2),则φ'(t)=-+1+=>0,
∴φ(t)在(2,+∞)上单调递增,∴φ(t)>φ(2)=-2ln 2>0,
∴h'(t)>0,∴h(t)在(2,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(2)=3ln 2-2=ln,∴ln(x1x2)>ln,
∴x1x2>.习题课 导数的综合应用
类型一 利用导数求解不等式
1.[2024·广州高二期末] 已知函数f(x)=xln x,若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤成立,则m的最小值为 ( )
A.-2 B.-1
C. D.4
2.[2024·山东德州高二期末] 已知函数f(x)=,g(x)=ln(x+1)-ax2,若 x1∈[1,e], x2∈(0,1]使得f(x1)>g(x2)成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>ln 2 B.a≥ln 2
C.a> D.a≥-ln 2
3.若0A.+ln x1>+ln x2
B.+ln x1<+ln x2
C.x2>x1
D.x24.(多选题)[2024·广州高二期末] 下列四个不等式中正确的是 ( )
A.ln xC.ln x≥x-1 D.xln x≥x-1
5.已知a∈R,若关于x的不等式a(x-2)e-x-x>0的解集中有且仅有一个负整数,则实数a的取值范围是 .
6.若 a∈R,对 x∈[0,1],x3-m≤x+a≤x3+m,则实数m的取值范围为 .
类型二 利用导数探究函数的零点或方程的根
7.[2024·北京通州区高二期末] 已知函数f(x)=若方程f(x)=a恰有三个根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪{-1}
8.[2024·福建三明高二期末] 已知函数f(x)=e2x+(a-1)ex-x有两个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
9.[2024·江苏苏州高二期末] 已知f(x)=,g(x)=[f(x)]2-mf(x)-1,若g(x)在其定义域上有且仅有两个零点,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数f(x)=x2-3ln x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)试判断f(x)在区间(1,e)上是否有零点 若有,求出零点的个数;若没有,请说明理由.
11.[2023·郑州二中高二月考] 已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程tf(x)-x=0在∪(1,e2]上有两个不相等的根,求t的取值范围.
类型三 利用导数研究双变量问题
12.[2024·福州高二期末] 已知x,y为正实数,ln x+ln y=-x,则 ( )
A.x>y B.xC.x+y>1 D.x+y<1
13.已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对于任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,3] D.[1,2e)
14.已知函数f(x)=xln x-ax2+x,a∈R.若f(x)有两个零点x1,x2,且x2>2x1,证明:x1x2>.