滚动习题(三)
1.B [解析] 由h(t)=-4.9t2+6.5t+10,得h'(t)=-9.8t+6.5,当t=2时,h'(2)=-9.8×2+6.5=-13.1,所以运动员在2 s时的瞬时速度是-13.1 m/s,故选B.
2.D [解析] ∵s=2tsin t+t,∴v=s'=(2tsin t+t)'=2sin t+2tcos t+1,故选D.
3.B [解析] 令g(x)=,则g'(x)==>0,∴g(x)在R上单调递增.∵f(0)=2,∴g(0)==2,则不等式>2等价于g(x)>2,即g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式>2的解集为(0,+∞).
4.C [解析] 由f(x)=a+2x得f'(x)=+2xln 2,故f'(1)=a+2ln 2,因为点(1,f(1))处的切线与直线xln 2-y+3=0平行,且直线xln 2-y+3=0的斜率为ln 2,所以f'(1)=a+2ln 2=ln 2,得a=-2ln 2,故选C.
5.A [解析] 由题意可得f'(x)=2x+-1,且当x∈[1,+∞) 时有f'(x)=2x+-1≥0恒成立,即a≥-2x2+x对x∈[1,+∞)恒成立.因为y=-2x2+x的图象开口向下,对称轴为直线x=,所以y=-2x2+x在[1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,y=-2x2+x在[1,+∞)上取得最大值ymax=-1,所以a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞).
6.B [解析] 设过点P的直线与函数f(x)=x3的图象相切于点Q(t,t3),则f'(t)=3t2=,整理得2t3-6at2+a2=0,由题可知,关于t的方程2t3-6at2+a2=0有3个不同的实数根.设g(t)=2t3-6at2+a2,则g'(t)=6t2-12at,令g'(t)=0,得t=0或t=2a,易知t=0和t=2a是g(t)的两个极值点,
关于t的方程2t3-6at2+a2=0有3个不同的实数根,等价于函数g(t)有3个不同的零点,
所以g(0)g(2a)<0,即a2(a2-8a3)<0,解得a>.
故选B.
7.ACD [解析] 对于选项A,根据复合函数的求导法则知,[ln(2x+1)]'=,所以选项A正确;对于选项B,e2是常数,所以(e2)'=0,所以选项B错误;对于选项C,根据复合函数的求导法则知,[()]'=×=,所以选项C正确;对于选项D,根据复合函数的求导法则知,'=-2sin,所以选项D正确.故选ACD.
8.BD [解析] 令f(x)=ln x-(x>0),则f'(x)=-=.当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(2)9.(-∞,e-1] [解析] 因为“ x∈[1,5],ex--a<0”是假命题,所以“ x∈[1,5],ex--a≥0”是真命题,
所以对 x∈[1,5],ex-≥a恒成立.
令f(x)=ex-,x∈[1,5],则f'(x)=ex+>0,所以f(x)在[1,5]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=e-1,所以a≤e-1.
故实数a的取值范围为(-∞,e-1].
10.-1 [解析] 由y=ln(x+a),得y'=,
设切点为P(x0,y0),则在点P(x0,y0)处的切线方程为y-ln(x0+a)=(x-x0),
即y=x-+ln(x0+a).
因为y=x-2是切线,所以
解得
11. [解析] 不等式k(x+2)ex0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,当x>0时,f'(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴当x=0时,f(x)取得极大值1.易知f(-1)=0,且当x>0时,f(x)>0,则g(x)=k(x+2)与f(x)=的图象如图所示.g(x)=k(x+2)的图象恒过点(-2,0).当k≤0时,显然不满足条件;当k>0时,
∵g(x)【技巧】 本题也可分离参数k,但此时要考虑不等号的方向,并且对构造出的函数求导及单调性的讨论也略显复杂,故本题将不等式两边构造为图象比较容易画出的一类函数,再借助图象进行求解,可简化一些计算.
12.解:(1)∵f(x)=aln x+bx2,x∈(0,+∞),
∴f'(x)=+2bx,
∵f(x)在x=1处取得极值2,
∴f'(1)=0且f(1)=2,
即解得
经检验,符合题意,
故a 的值为-4,b的值为2.
(2)由(1)知f(x)=-4ln x+2x2,x∈(0,+∞),
∴f'(x)=-+4x=.
由f'(x)<0,可得x∈(0,1),f(x)在(0,1)上单调递减,
由f'(x)>0,可得x∈(1,+∞),f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴当x∈时,f(x)在上单调递减,在(1,e]上单调递增,
因此f(x)在上的极小值为f(1)=2,即为最小值.
∵f=4+,f(e)=2e2-4,f(e)>f,
∴f(x)在上的最大值为f(e)=2e2-4.
综上所述,f(x)在上的最小值为2,最大值为2e2-4.
13.解:(1)由题可得f'(x)===,
令f'(x)<0,得x>,令f'(x)>0,得x<,
所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)当m=1时,f(x)=,
由(1)知,f(x)在x=-处取得极大值,且极大值为
f=.
当-3f(x)在[-3,t]上的最小值为f(-3)=-2e6,f(x)在[-3,t]上的最大值为f(t)=.
当t≥-时,f(x)在[-3,t]上的最大值为f=,
若x>-,则f(x)>0,
因为f(-3)=-2e6<0,所以f(x)在[-3,t]上的最小值为f(-3)=-2e6.
14.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+x-2ln x,x>0,
则f'(x)=x+1-,所以f'(2)=2,f(2)=4-2ln 2,
所以f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(4-2ln 2)=2(x-2),即 y=2x-2ln 2.
(2)证明:对f(x)求导得f'(x)=ax+(2a-1)-=,x>0.
当a>0 时,令f'(x)=0得x=.
当x∈时,f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)min=f=2ln a-+2,
要证f(x)≥4-,只需证明 2ln a-+2≥4-,即ln a+-1≥0(a>0)恒成立.
设g(x)=ln x+-1,x>0,则g'(x)=-=,x>0.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
g(x)单调递增.所以 g(1)=0是g(x)的最小值,故g(x)≥g(1)=0,
所以ln a+-1≥0(a>0)恒成立,故f(x)≥4- .(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度h(t)(单位:m)满足h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在2 s时的瞬时速度是 ( )
A.-3.3 m/s
B.-13.1 m/s
C.13.1 m/s
D.3.3 m/s
2.一物体的运动方程为s=2tsin t+t,则它的速度方程为 ( )
A.v=2sin t+2cos t+1
B.v=2sin t+2tcos t
C.v=2sin t
D.v=2sin t+2tcos t+1
3.[2023·陕西西北农林科技大学附中高二期中] 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f(x)2的解集为 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
4.设函数f(x)=a+2x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线xln 2-y+3=0平行,则实数a= ( )
A.ln 2-2 B.-ln 2
C.-2ln 2 D.-3ln 2
5.[2023·天津南开中学高二期中] 若函数f(x)=x2+aln x-x+1(a∈R)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C. D.
6.[2023·福建漳州长泰一中高二期中] 若过点P(2a,a2)可作3条直线与函数f(x)=x3的图象相切,则a的取值范围为 ( )
A.(0,8)
B.
C.(-∞,0)∪
D.(-∞,0)∪(8,+∞)
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2023·长春吉大附中高二月考] 下列求函数的导数正确的是 ( )
A.[ln(2x+1)]'=
B.(e2)'=2e
C.[()]'=
D.'=-2sin
8.[2023·浙江台州八校高二期中] 已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中正确的是 ( )
A.ln 2> B.ln 3<
C.ln π> D.ln 4<
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2024·云南玉溪高二期中] 已知“ x∈[1,5],ex--a<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
10.已知直线y=x-2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 .
★11.[2023·成都蓉城高中高二期中] 已知不等式k(x+2)ex四、解答题:共大题共3小题,共43分.
12.(13分)[2023·四川雅安中学高二期中] 已知函数f(x)=aln x+bx2在x=1处取得极值2.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)在上的最值.
13.(15分)[2023·河南新乡高二期末] 已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,求f(x)在[-3,t]上的最小值与最大值.
14.(15分)[2023·成都高二期中] 已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-2ln x.
(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a>0时,求证:f(x)≥4-.
