滚动习题(四)
1.D [解析] 由题可知,f'(x)=ex-a≤0在(0,1)上恒成立,即a≥ex对x∈(0,1)恒成立,因为函数y=ex在(0,1)上单调递增,所以a≥e.故选D.
2.A [解析] 因为f(x)=f'·cos x-sin x,所以f'(x)=f'(-sin x)-cos x,则f'=f'-cos =-f',可得f'=0,所以f'(x)=-cos x,所以f'=-cos =-.故选A.
3.D [解析] f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+1)ex=[x2+(a+2)x+a+1]ex,∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,∴f'(3)=[32+(a+2)×3+a+1]×e3=0,∴a=-4,∴f'(x)=(x2-2x-3)ex=(x+1)(x-3)ex.当x<-1或x>3时,f'(x)>0,当-14.D [解析] 设切点为(x0,y0),因为f'(x)=ex-a,所以切线方程为y=(-a)(x-x0)+-ax0,故-a=2,
将(0,0)代入得0=-2x0+-ax0,则0=-2x0+a+2-ax0,可得a=-2或x0=1.
若a=-2,则+2=2,无解,故a=-2不符合题意;
若x0=1,则e-a=2,则a=e-2,符合题意.故选D.
5.D [解析] 函数f(x)=3ln x+x2-4x的定义域为(0,+∞),f'(x)==,
当03时,f'(x)>0,当1所以f(x)在(0,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(1)=0+-4=-.故选D.
6.B [解析] 由题意可知,直线y=m与直线y=x的交点为A(m,m),设直线y=m与曲线y=4x-ln x的交点为B(x0,m),m=4x0-ln x0(x0>0),
则|AB|=|x0-m|=|x0-(4x0-ln x0)|=|ln x0-3x0|=|3x0-ln x0|.设f(x)=3x-ln x,x>0,则f'(x)=3-.由f'(x)>0,得x>;由f'(x)<0,得07.ABC [解析] 构造函数g(x)=,则g'(x)==.因为f'(x)>2f(x),所以g'(x)=>0,则g(x)在R上单调递增,所以g(-2)g(0),g(1),<,<,则e2f(-2)4f(0),e2f(1)8.AB [解析] 令x=0,可得f(0)=e0=1,故A正确.f(x)=ex-x+x2,则f'(x)=ex+x-1,令g(x)=ex+x-1,则g'(x)=ex+1>0,∴g(x)在R上为增函数.∵f'(0)=e0-1=0,∴当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)的极小值为f(0)=e0=1,即f(x)min=1,故B正确,C,D错误.故选AB.
9. [解析] 函数f(x)=ax2+的定义域为{x|x≠0},
f'(x)=2ax-=.
当a=0时,f'(x)<0恒成立,所以f(x)没有单调递增区间,不符合题意;
当a<0时,令f'(x)>0,解得x<,所以f(x)的单调递增区间为,不符合题意;当a>0时,令f'(x)>0,解得x>,
所以f(x)的单调递增区间为.
依题意可得=1,解得a=.
10.R [解析] 设圆锥的底面半径为r,高为h,则圆锥的体积V=πr2h,因为R2=h2+r2,即r2=R2-h2,所以V=π(R2-h2)h=πR2h-πh3,h∈(0,R),所以V'=πR2-πh2.令V'>0,可得0所以在h=R处,V=πR2h-πh3取得最大值,
所以当炸药包埋的深度为R时,可使爆破体积最大.
11. [解析] 设g(x)=xex,则g'(x)=ex+xex=ex(x+1),当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=-1时,函数g(x)有最小值g(-1)=-e-1=-.当x<-1时,g(x)=xex<0恒成立.要使函数f(x)=xex+c有两个零点,只需函数g(x)=xex与y=-c的图象有两个不同的交点.在同一坐标系内作出两个函数的图象,则-<-c<0,所以012.解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由题意得
解得经检验,符合题意,
所以f(x)=x3-2x2-4x+2.
(2)由(1)知f'(x)=3x2-4x-4=(3x+2)(x-2).
由f'(x)>0,得x<-或x>2,
由f'(x)<0,得-所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.
又f(0)=2,f(2)=-6,f(3)=-1,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为2,最小值为-6.
13.解: (1)因为f(x)=ex+ax-1,
所以f'(x)=ex+a,
因为函数f(x)=ex+ax-1的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-(1-e)y+1=0垂直,
所以f'(1)=e-1,
即e+a=e-1,
解得a=-1.
(2)由(1)可知,f(x)=ex-x-1,
则f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,得x=0,
当x∈[-1,0)时,f'(x)<0,则f(x)在[-1,0)上单调递减,
当x∈(0,2]时,f'(x)>0,则f(x)在(0,2]上单调递增,
所以当x=0时,f(x)取得极小值,也是最小值为f(0)=0.
因为f(-1)=,f(2)=e2-3>,
所以函数f(x)在[-1,2]上的最大值为e2-3.
综上所述,函数f(x)在[-1,2]上的最大值为e2-3,最小值为0.
14.解:(1)延长PO,交AB于点Q,则由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ,则OA==,故OB=,又OQ=AQtan θ=10tan θ,所以OP=10-10tan θ,
所以y=++10-10tan θ,
故所求函数关系式为y=+10.
(2)y'==,
令y'=0,得sin θ=,
因为0≤θ≤,所以θ=.
当θ∈时,y'<0,函数单调递减;
当θ∈时,y'>0,函数单调递增.
所以当θ=时,y取得最小值,ymin=+10=10+10,
此时点O位于线段AB的中垂线上,且与AB的距离为 km,
所以三条排污管道的总长度最短为(10+10)km.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·广东东莞四中高二期中] 已知函数f(x)=ex-ax在(0,1)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,e] B.(-∞,e)
C.(e,+∞) D.[e,+∞)
2.设函数f(x)的导函数是f'(x),若f(x)=f'·cos x-sin x,则f'= ( )
A.- B. C. D.-
3.若x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,则f(x)的极大值为 ( )
A.-2e B.-2e3
C.2e-3 D.6e-1
4.[2024·山西晋城高二期末] 过原点O作函数f(x)=ex-ax的图象的切线,其斜率为2,则a=( )
A.e B.2 C.e+2 D.e-2
5.[2024·湖北孝感方子中学高二月考] 函数f(x)=3ln x+x2-4x的极大值为 ( )
A.-2 B.- C.-3 D.-
6.直线y=m分别与直线y=x,曲线y=4x-ln x交于点A,B,则|AB|的最小值为 ( )
A.+ln 3 B.1+ln 3
C. D.2+ln 3
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>2f(x),则下列不等关系正确的是( )
A.e2f(-2)B.f(ln 2)>4f(0)
C.e2f(1)D.e2f>f
8.已知函数f(x)=ex-f(0)x+x2,则 ( )
A.f(0)=1
B.函数f(x)的极小值点为0
C.函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞)
D. x∈R,不等式f(x)≥e恒成立
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2024·山东菏泽高二期末] 已知函数f(x)=ax2+的单调递增区间为(1,+∞),则a的值为 .
10.采矿、采石或取土时,常用炸药包进行爆破,部分爆破呈圆锥漏斗形状(如图所示),已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,它的值是固定的.当炸药包埋的深度为 时,可使爆破体积最大.
11.已知函数f(x)=xex+c有两个零点,则c的取值范围是 .
四、解答题:共大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,若f(x)在x=-处有极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-5.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值和最小值.
13.(15分)[2024·广东东莞长安中学高二期中] 已知函数f(x)=ex+ax-1的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-(1-e)y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)在[-1,2]上的最大值与最小值.
14.(15分)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B以及CD的中点P处,已知AB=20 km,CB=10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD内(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP.设排污管道的总长度为y km.
(1)设∠BAO=θ,求y关于θ的函数关系式;
(2)确定污水处理厂的位置,使三条排污管道的总长度最短,并求出最短长度.
