单元素养测评卷(二)B
1.B [解析] 对于A,(3x)'=3xln 3,故A中运算正确;对于B,(ln 5)'=0,故B中运算错误;对于C,'=,故C中运算正确;对于D,(xsin x)'=sin x+xcos x,故D中运算正确.故选B.
2.D [解析] 在f(x0)-f(x0-Δx)=a(Δx)3+b(Δx)2+cΔx中用-Δx替换Δx,得f(x0)-f(x0+Δx)=-a(Δx)3+b(Δx)2-cΔx,则f(x0+Δx)-f(x0)=a(Δx)3-b(Δx)2+cΔx,所以f'(x0)===[a(Δx)2-bΔx+c]=c.故选D.
3.C [解析] 由题可得f'(x)=,则f'(0)==3.故选C.
4.C [解析] 由函数g(x)=(x-6)3·f'(x)的图象,
可得当0
当10,f(x)单调递增,
当3当60,f(x)单调递增,
当x>10时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以函数f(x)有极小值f(1)和f(6),极大值f(3)和f(10).
故选C.
5.D [解析] 由题可知f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+a+xex=(x+1)ex+a,令f'(x)=0,可得(x+1)ex=-a.设g(x)=(x+1)ex,由题意可知函数g(x)的图象与直线y=-a在(-1,+∞)上有交点,因为g'(x)=(x+2)ex>0对任意x∈(-1,+∞)恒成立,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(-1)=0,所以-a>0,即a<0,所以实数a的取值范围为(-∞,0).故选D.
6.D [解析] 当x≤0时,因为f(x)=x2-2ax+a-2在(-∞,0]上单调递减,所以a≥0.当x>0时,f'(x)=2ax-2e2x,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以2ax-2e2x≤0,即a≤在(0,+∞)上恒成立.设h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)==,当x∈时,h'(x)<0,当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)min=h=2e,所以a≤2e.因为f(x)在R上单调递减,所以a-2≥-1,解得a≥1.综上,实数a的取值范围为[1,2e].故选D.
7.B [解析] 设g(x)=exf(x),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为(x-1)[f'(x)+f(x)]>0,
所以当x>1时,f'(x)+f(x)>0,则g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增;当x<1时,f'(x)+f(x)<0,则g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递减.
因为f(2-x)=f(x)e2x-2,所以e2-xf(2-x)=exf(x),即g(2-x)=g(x),所以g(2)=g(0),
因为<,所以eln xf(ln x)所以08.A [解析] 由题可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-2ax-x,若f(x)有两个极值,则f'(x)=0有两个不等的实数解,
令f'(x)=ln x+1-2ax-x=0,得a=.
设g(x)=,则g'(x)==,
当00,当x>1时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
因为g(x)==+-,所以g(1)=0,
当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-,
所以g(x)的图象如图所示.
由图可知当-所以“f(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是-19.BD [解析] 由ex-ax=0,得a=,
令g(x)=,x∈,则g'(x)=,
当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,2]时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以当x=1时,函数g(x)取得最小值e,又g=2,g(2)=,
所以根据题意可得e10.AD [解析] 由题可得f'(x)==,
令f'(x)>0,得-11或x<-1,
故函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故A正确,B错误;
-1为f(x)的极小值点,故C错误;
当x=1时,f(x)取得极大值,为f(1)=,故D正确.故选AD.
11.AC [解析] 对于A,因为f(x)=ln x在R上单调递增,所以m>0,故A正确;对于B,因为g(x)=x2+ax在上单调递减,在上单调递增,所以n>0不恒成立,故B错误;对于C,由m=n,可得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即g(x2)-f(x2)=g(x1)-f(x1),设h(x)=g(x)-f(x)= x2+ax-ln x(x>0),则h'(x)=2x+a-=(x>0),对于函数y=2x2+ax-1,当x=0时,y=-1<0,Δ=a2+8>0,所以h(x)先单调递减后单调递增,故C正确;对于D,由m=-n,可得f(x1)-f(x2)=-[g(x1)-g(x2)],
即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),
设p(x)=f(x)+g(x)=x2+ax+ln x(x>0),则p'(x)=2x+a+(x>0),当a≥0时,p'(x)>0,此时函数p(x)单调递增,不符合要求,故D错误.故选AC.
12.1-ln 2 [解析] 设h(x)=x2-2ln x(x>0),则h'(x)=x-=(x>0),
令h'(x)>0,可得x>,令h'(x)<0,可得0所以h(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以h(x)min=h()=×-2ln=1-ln 2,所以|MN|的最小值为1-ln 2.
13. [解析] 由题可知f(x)的定义域为R,
因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.当x≥0时,f(x)=ln(x+1)-,所以f'(x)=+>0,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
由f(x)14.(-1,+∞) [解析] 由2ax3-3ax2-2bx+b=0,可得ax2(2x-3)=b(2x-1),因为x>1,所以2x-1>1,所以==x2-.
令f(x)=x2-,x>1,
则f'(x)=2x-=>0,
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为f(1)=-1,所以f(x)>f(1)=-1,所以>-1,
所以的取值范围为(-1,+∞).
15.解:(1)∵y=x3+x-2,∴y'=3x2+1,
令3x2+1=4,解得x=±1.
当x=1时,y=1+1-2=0,∴切线方程为y=4(x-1),即4x-y-4=0;
当x=-1时,y=-1-1-2=-4,∴切线方程为y+4=4(x+1),即4x-y=0.
综上所述,所求直线方程为4x-y-4=0和4x-y=0.
(2)由(1)知y'=3x2+1≥1,∴tan α≥1,
又α∈[0,π),∴α∈.
16.解:(1)因为f(x)=x3-ax2+bx-2,
所以f'(x)=3x2-2ax+b,
依题意得解得
所以f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1).
当-3当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
则f(x)在x=-1处取得极值,满足题意.
故f(x)的解析式是f(x)=x3+6x2+9x-2.
(2)由(1)知f(x)=x3+6x2+9x-2,
f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),
当-4≤x<-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当-3当-10,f(x)单调递增,
所以f(x)在[-4,1]上的单调递减区间为(-3,-1),单调递增区间为[-4,-3),(-1,1].
f(x)在x=-3处取得极大值,在x=-1处取得极小值,
因为f(-4)=-6,f(-3)=-2,f(-1)=-6,f(1)=14,
所以f(x)在[-4,1]上的最大值为14,最小值为-6.
17.解:(1)因为函数f(x)=aex-(a+1)x,
所以f'(x)=aex-(a+1).
当a=0时,f'(x)=-1<0,f(x)单调递减;
当a>0时,令f'(x)>0,得x>ln,则f(x)在上单调递增,
令f'(x)<0,得x综上,当a=0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)当a=0时,f(x)在R上单调递减,因为f(1)=-1<0,所以不满足f(x)≥0恒成立.
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
因为f(x)≥0恒成立,
所以f=a-(a+1)ln=(a+1)≥0.
所以1-ln≥0,解得a≥.
综上,实数a的取值范围为.
18.解:(1)由题可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a=a·,
令f'(x)=0,可得x=.
若a>0,则当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
则f(x)在上单调递减,在上单调递增;
若a<0,则当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,
则f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,若a>0,则f(x)在上单调递减,在上单调递增;若a<0,则f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:由(1)可知,f'(1)=a,因为f'(1)·(-1)=-1,所以a=1,则f(x)=x2-ln x.
令h(x)=f(x)-x=x2-ln x-x,x∈(0,+∞),
则h'(x)=2x--1==.
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=0,所以h(x)≥0,所以f(x)≥x.
19.解:(1)因为f(x)=2e2x+4aex-9,
所以f'(x)=4e2x+4aex=4ex(ex+a).
若a≥0,则f'(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,f(x)在R上单调递增.
若a<0,令f'(x)=0,得x=ln(-a),当x∈(-∞,ln(-a))时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln(-a),+∞)时,f'(x)>0, f(x)单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;
当a<0时,f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,在(-∞,ln(-a))上单调递减.
(2)证明:f(x)+g(x)=2e2x+4aex-9+-+4a2=4a2+4a+2e2x+-9,
令h(a)=4a2+4a+2e2x+-9,要证 x>0,f(x)+g(x)>0,
即证h(a)>0对a∈R恒成立,
即证Δ=16-16<0,即证>9,即证ex+>3.
令φ(x)=e2x-2ex,x>0,则φ'(x)=2e2x-2e,
当x∈时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,当x∈时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
所以φ(x)≥φ=0,即e2x≥2ex,
所以ex≥>,
所以ex+>+,又+≥3,当且仅当x=时,等号成立,所以ex+>3,所以 x>0,f(x)+g(x)>0.单元素养测评卷(二)B
第六章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·陕西咸阳高二期末] 下列求导运算中错误的是 ( )
A.(3x)'=3xln 3
B.(ln 5)'=
C.'=
D.(xsin x)'=sin x+xcos x
2.[2024·福建漳州高二期末] 设函数f(x)在x=x0附近有定义,且f(x0)-f(x0-Δx)=a(Δx)3+b(Δx)2+cΔx,a,b,c为常数,则f'(x0)= ( )
A.0 B.a C.b D.c
3.[2024·长春高二期末] 函数f(x)=在x=0处的切线的斜率为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.[2024·江苏常州高二期中] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),定义域为(0,+∞),且函数g(x)=(x-6)3·f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)有极小值f(6),极大值f(1)
B.f(x)仅有极小值f(6),极大值f(10)
C.f(x)有极小值f(1)和f(6),极大值f(3)和f(10)
D.f(x)仅有极小值f(1),极大值f(10)
5.[2024·四川眉山高二期末] 已知函数f(x)=x(ex+a)有大于-1的极值点,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
6.[2024·山东济宁高二期末] 已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A.[0,1] B.[1,e]
C.[0,2e] D.[1,2e]
7.[2024·天津和平区高二期末] 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且(x-1)[f'(x)+f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2x-2,则不等式<的解集是 ( )
A.(0,e2) B.(1,e2)
C.(e,e2) D.(e2,+∞)
8.[2024·武汉高二期末] 已知函数f(x)=xln x-ax2-x2,则“f(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是( )
A.-1C.-二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·杭州高二期中] 已知关于x的方程ex-ax=0对x∈有两个不同的实根,则a的值可以是 ( )
A.e B.2 C. D.
10.[2024·陕西渭南高二期末] 关于函数f(x)=的性质,下列说法正确的是 ( )
A.当x∈(-1,1)时,f(x)单调递增
B.当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)单调递减
C.为f(x)的极小值点
D.f(x)的极大值为
11.[2024·福建泉州高二期末] 已知函数f(x)=ln x,g(x)=x2+ax.对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,则下列说法正确的是 ( )
A.对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0
B.对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0
C.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n
D.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=x2,g(x)=2ln x,若直线x=m与这两个函数的图象都相交,交点分别为M,N,则|MN|的最小值为 .
13.[2024·石家庄高二期末] 已知函数f(x)=ln(|x|+1)-,则不等式f(x)14.[2024·长春高二期末] 若存在x>1,使2ax3-3ax2-2bx+b=0(a≠0)成立,则的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·河南南阳高二期中] 已知曲线C:y=x3+x-2.
(1)求与直线y=4x-1平行,且与曲线C相切的直线方程;
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α,求α的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=x3-ax2+bx-2在x=-1处取得极值,f(x)的图象在点(-2,f(-2))处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-4,1]上的单调区间和最值.
17.(15分)[2024·河北邯郸大名中学高二期中] 已知函数f(x)=aex-(a+1)x(a≥0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=a(x2-ln x).
(1)若a≠0,讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y-2=0垂直,证明:f(x)≥x.
19.(17分)已知a∈R,函数f(x)=2e2x+4aex-9,g(x)=-+4a2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明: x>0,f(x)+g(x)>0.