模块素养测评卷(一)
1.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d.∵a1+a2+a3=a4+a5,∴3a1+3d=2a1+7d,∴a1=4d,又S5=5a1+10d=30d=60,∴d=2,∴a1=8,∴a5=a1+4d=16.故选A.
2.A [解析] 从n=k成立到n=k+1成立时,左边增加了,,…,,共2k项.故选A.
3.A [解析] 因为f(x)=3xf'(2)+ln x+x,所以f'(x)=3f'(2)++,所以f'(2)=3f'(2)++,解得f'(2)=-1.故选A.
4.C [解析] (x2023+e2023)'=2023x2022+0=2023x2022,A选项错误;(x2023·ln x)'=2023x2022·ln x+x2023·=2023x2022·ln x+x2022,B选项错误;(sin 2023x)'=2023cos 2023x,C选项正确;'==,D选项错误.故选C.
5.C [解析] 由Sn+1=Sn+an+4得an+1=Sn+1-Sn=an+4,∴数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列,∴S20=20×2+×4=800.故选C.
6.A [解析] 由{an}为等比数列,得a2a6=a3a5=6,又a3+a5=5,∴a3=2,a5=3或a3=3,a5=2,又{an}为递减数列,∴a3=3,a5=2,∴==,故选A.
7.A [解析] 因为f(x)=x3+[f'(1)+f'(2)]x,所以f'(x)=3x2+f'(1)+f'(2),所以f'(1)=3+f'(1)+f'(2),即f'(2)=-3,
f'(2)=12+f'(1)+f'(2),即f'(1)=-12,所以f(x)=x3-15x.故选A.
8.A [解析] 令f(x)=x3+a-3ln x,则f'(x)=3x2-=(x>0).令f'(x)=0,得x=1,在区间(0,1)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=a+1.若函数f(x)=x3+a-3ln x存在零点,则a+1≤0,则a≤-1,即a的取值范围为(-∞,-1].故选A.
9.BCD [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由2a1+2a3=S5,可得2a1+2(a1+2d)=5a1+d,即a1+6d=0,所以a7=0,故D正确.对于选项A,S7=7a1+d=7(a1+3d)=-21d,无法判断其是否为最小值,故A错误.对于选项B,S13=×13=13a7=0,故B正确.对于选项C,S9-S4=a9+a8+a7+a6+a5=5a7=0,所以S4=S9,故C正确.故选BCD.
10.ACD [解析] 由|an+1|=|an+1|,可得an+1=an+1或an+1=-(an+1),当an+1=an+1时,{an}为1,2,3,4,…,
当an+1=-(an+1)时,{an}为1,-2,1,-2,1,…,
所以数列{an}可以为等差数列或周期数列或摆动数列,不可以为等比数列.故选ACD.
11.ACD [解析] f(x)的定义域为(-1,+∞),由f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,可得f'(x)=+2x-10==,令f'(x)=>0可得-1
3,令f'(x)=<0可得112.5或6 [解析] 因为等差数列{an}中,公差d<0,a3+a9=0,所以a1+2d+a1+8d=0,解得a1=-5d,所以Sn=na1+d=-,显然当Sn最大时,n=5或6.
13.4044+ [解析] 由a1=得a2=[a1]+=[]+=1+=1++1=2+,a3=[a2]+=[2+]+=2+[a1]+=2+2+=4+,a4=[a3]+=[4+]+=4+[a1]+=4+2+=6+,依次类推知an+1=[an]+=2n+,所以a2023=2×2022+=4044+.
14.∪ [解析] 由f(x)=(x>0),得f'(x)=(x>0),令g(x)=(x>0),则g'(x)=(x>0),
当0时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g()=-,且当x→0时,g(x)→+∞,g(e)=0,当x>e时,g(x)<0.设函数f(x)=在处的切线过原点,则=,解得x0=,所以f'(x0)=,又f'(x)=有唯一解,所以k≥-且k≠,所以k的取值范围是∪.
15.解:(1)设数列的公差为d,则-=2=d,
所以=+2(n-3)=2n-1,故 an=.
(2)证明:由(1)得an+1an+2==.
则Tn===-.
因为函数y=-在(0,+∞)上单调递增,
所以-∈,则-∈,
故 ≤Tn<.
16.解:(1)当n=1时,a1=S1=3,
又a5=S5-S4=(53+5+1)-(43+4+1)=62,
所以a1+a5=65.
(2)证明:==,
因为n∈N*,所以n2≥n(当且仅当n=1时取等号),
所以=≤=-,
即≤-(当且仅当n=1时取等号).
(3)证明:由(2)知≤-(当且仅当n=1时取等号),
所以=1-,<-,<-,…,<-,
各式相加得+++…+≤1-+-+-+…+-=1-<1,
即+++…+<1.
17.解:(1)由题意得f'(x)=-2bx,∴得
(2)由(1)得f(x)=ln x-,∴f'(x)=-x=,
∴当x∈时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x∈[1,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.
故函数f(x)在上单调递增,在[1,e]上单调递减.
18.解:(1)因为数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,
所以=1+(n-1)×2=2n-1,所以Sn=2n2-n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-3,
又因为a1=1满足上式,所以an=4n-3.
(2)bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).
当n为偶数时,Tn=(-1)+5+(-9)+13+…+[-(4n-7)]+(4n-3)=[(-1)+5]+[(-9)+13]+…+{[-(4n-7)]+(4n-3)}=4×=2n;
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=2(n-1)+[-(4n-3)]=1-2n.
综上可知,Tn=
19.解:(1)当a=1时,f(x)=x3-6x2+2,则f'(x)=3x2-12x,
令f'(x)>0,得x<0或x>4,令f'(x)<0,得0所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(4,+∞),单调递减区间为(0,4).
(2)由f(x)=x3-6ax2+2,得f'(x)=3x2-12ax,
令f'(x)=0,得x=0或x=4a,
因为-当-10,当4a所以f(x)在[-1,4a)上单调递增,在(4a,0]上单调递减,
所以f(x)在[-1,0]上的最大值为f(4a)=(4a)3-6a×(4a)2+2=-32a3+2,
即M=-32a3+2,
f(-1)=1-6a,f(0)=2.
因为-所以f(x)在[-1,0]上的最小值为f(-1)=1-6a,即m=1-6a.
M-m=-32a3+2-1+6a=-32a3+6a+1,
令g(a)=-32a3+6a+1,-令g'(a)=0,解得a=-或a=,所以当-0,
所以g(a)在上单调递增,所以g全部章节
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=a4+a5,S5=60,则a5= ( )
A.16 B.20 C.24 D.26
2.用数学归纳法证明1+++…+A.2k B.2k-1
C.2k-1 D.2k+1
3.[2023·江西智慧上进联盟高二期中] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=3xf'(2)+ln x+x,则f'(2)= ( )
A.-1 B.1 C.- D.
4.[2023·浙江钱塘联盟高二期中] 下列导数运算正确的是( )
A.(x2023+e2023)'=2023x2022+2023e2022
B.(x2023·ln x)'=2023x2021
C.(sin 2023x)'=2023cos 2023x
D.'=
5.[2023·西安长安区一中高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,Sn+1=Sn+an+4,则S20=( )
A.78 B.400
C.800 D.880
6.[2023·河南济源高二期末] 已知等比数列{an}为递减数列,若a2a6=6,a3+a5=5,则= ( )
A. B. C. D.6
7.[2024·甘肃定西高二期中] 已知f'(x)是f(x)的导函数,且f(x)=x3+[f'(1)+f'(2)]x,则f(x)= ( )
A.x3-15x B.x3+15x
C.x3+9x D.x3-9x
8.若函数y=x3+a-3ln x存在零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.[1,+∞)
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+2a3=S5,则下列说法中正确的是 ( )
A.S7最小 B.S13=0
C.S4=S9 D.a7=0
10.[2024·山东东营高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,|an+1|=|an+1|(n∈N*),则 ( )
A.存在等差数列{an}满足上述递推公式
B.存在等比数列{an}满足上述递推公式
C.存在周期数列{an}满足上述递推公式
D.存在摆动数列{an}满足上述递推公式
11.已知函数f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,则下列说法正确的是 ( )
A.x=3是函数f(x)的极值点
B.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(3,+∞)
C.f(x)在(1,2)上单调递减
D.直线y=16ln 3-16与f(x)的图象有三个交点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.等差数列{an}中,公差d<0,a3+a9=0,则当{an}的前n项和Sn最大时,n= .
13.[2023·长春东北师大附中高二期中] 若x>0,设[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,如[2.1]=2,{2.1}=0.1.已知数列{an}的各项都为正数,a1=,且an+1=[an]+,则a2023= .
14.若函数f(x)=的图象上存在与直线y=kx平行的切线,则k的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·辽宁朝阳凌源一中高二期中] 已知等差数列满足+2=,a3= .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+1an+2}的前n项和为Tn,证明:≤Tn< .
16.(15分)[2024·山西晋城高二期末] 已知数列{an}的前n项和Sn=n3+n+1(n∈N*).
(1)求a1+a5的值;
(2)证明:≤-;
(3)证明:+++…+<1.
17.(15分)已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,函数f(x)的图象在x=1处与直线y=-相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
18.(17分)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(17分)[2024·济南高二期末] 已知函数f(x)=x3-6ax2+2.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)当-