模块素养测评卷(二)
1.B [解析] 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
2.A [解析] 因为数列{an}满足an+1=2nan-2n,a1=2,所以a2=2a1-2=2×2-2=2,a3=4a2-22=4×2-4=4,所以==2.故选A.
3.C [解析] 由题意设前k组共包含Sk个数,则Sk=2+22+23+…+2k==2k+1-2,因为S9=210-2=1022<2024,S10=211-2=2046>2024,所以2024在第10组.故选C.
4.C [解析] f(x)=x2-2x-3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-2-=,令f'(x)<0,可得05.C [解析] 当n为奇数时,an+2=-an,当n为偶数时,an+2=an+1,所以S22=a1+a2+a3+…+a21+a22=(a1+a3+…+a21)+(a2+a4+…+a22)=(1-1+1-1+…+1)+(3+4+…+13)=89.故选C.
6.D [解析] 因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b.
由题意可知即解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-37.D [解析] 因为f(x)=(x2+bx+1)ex,所以f'(x)=ex[x2+(b+2)x+b+1].由题意可知f'(-1)=0,f(-1)=6e-1,即解得b=-4,
所以f'(x)=ex·(x2-2x-3),令f'(x)=0,解得x=-1或x=3,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值6e-1 单调递减 极小值-2e3 单调递增
所以函数f(x)的极小值为-2e3.故选D.
8.C [解析] 设g(x)=,则g'(x)==>0,所以g(x)=在R上单调递增.因为f(x+2023)-e2x+4042f(2)<0,所以<,所以x+2023<2,解得x<-2021.故选C.
9.BC [解析] 对于A,a1=S1=4,a2=S2-S1=9-4=5,a3=S3-S2=16-9=7,2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A错误.对于B,当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,又a1=2满足上式,所以{an}的通项公式为an=2n(n∈N*),显然{an}是等比数列,故B正确.对于C,S2n-1===(2n-1)an,故C正确.对于D,当an=(-1)n时,{an}是等比数列,S2=-1+1=0,S4=-1+1-1+1=0,S6=-1+1-1+1-1+1=0,不满足S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,故D错误.故选BC.
10.AC [解析] 因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=,a4=,a6=q,a7=q2.因为a3+a7=+q2≥2,当且仅当q2=1时,等号成立,故A正确;因为a4+a6=+q,当q<0时a4+a6为负数,故B错误;因为a7-2a6+1=q2-2q+1=(q-1)2≥0,故C正确;因为a3-2a4-1=--1=-2,所以存在q使得a3-2a4-1<0,故D错误.故选AC.
11.BC [解析] 根据f'(x),g'(x)的图象可得,y=f'(x)与y=g'(x)的图象有三个不同的交点,设交点的横坐标依次为x1,x2,x3,且x1f'(x),即h'(x)=g'(x)-f'(x)>0,故函数h(x)在(-∞,x1)上单调递增,当x1f'(x),即h'(x)=g'(x)-f'(x)>0,故函数h(x)在(0,x3)上单调递增,当x>x3时,g'(x)综上所述,函数h(x)分别在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=0处取得极小值,即函数h(x)有2个极大值点和1个极小值点,故B正确,A错误;
h(x)没有最小值,有最大值,故C正确,D错误.故选BC.
12. [解析] 由an=cn+3,知数列{an}为等差数列,即S7==7a4<0,即7(4c+3)<0,解得c<-.故实数c的取值范围为.
13.[0,+∞) [解析] 因为f(x)=ax3+x在(-∞,+∞)上单调递增,所以f'(x)=3ax2+1≥0在(-∞,+∞)上恒成立且f'(x)不恒为0.当x=0时,上式成立,a∈R;当x≠0时,a≥-恒成立,因为x2>0,所以-<0,所以a≥0.综上,实数a的取值范围为[0,+∞).
14.(-∞,-2)∪(2,+∞) [解析] 由题意可得f'(x)=[x2+(a+2)x+2+a]ex=0有2个不相等的实根,即x2+(a+2)x+2+a=0有2个不相等的实根,所以Δ=(a+2)2-4(a+2)>0,即(a+2)(a-2)>0,解得a>2或a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
15.解:(1)由题知f'(x)=-sin x-6x,
令f'(x)=g(x),则g'(x)=-cos x-6,易知g'(x)<0恒成立,
所以f'(x)在R上单调递减,又f'(0)=-sin 0-6×0=0,
所以当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)有极大值f(0)=1,无极小值.
(2)f(x)在上有两个零点,理由如下:
由(1)知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)有最大值f(0)=1>0,
又f=cos-3×=-<0,f(π)=cos π-3π2=-1-3π2<0,
所以f(x)在上有两个零点.
16.解:(1)设第n(n∈N*)年的投入资金和出售产品的收入分别为an万元,bn万元.
依题意得,当投入的资金不低于20万元,即an≥20时,an=an-1,bn=bn-1+80(n≥2),此时,{an}是首项为1000,公比为的等比数列,
{bn}是首项为40,公差为80的等差数列,
所以an=1000×,bn=80n-40.
令an<20,得2n-1>50,解得n≥7,
所以an=bn=
(2)由(1)可知当1≤n≤6时,前n年的总利润Sn=-=2000×+40n2-2000,
所以Sn-Sn-1=-2000×+80n-40,n≥2,
因为f(x)=-2000×+80x-40为增函数,f(3)<0,f(4)>0,
所以当2≤n≤3时,Sn-1>Sn;当4≤n≤6时,Sn-1又因为S1<0,S6=-528.75<0,
所以当1≤n≤6时,Sn<0,即前6年未盈利.
当n≥7时,Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6),令Sn>0,得n≥8.
综上,预计该公司从第8年起开始盈利.
17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
由S7=49,得=7a4=49,得a4=7,即a1+3d=7,
由a2,a5,a14成等比数列,得=a2·a14,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),
化简得d2-2d=0,因为d≠0,所以d=2,
所以an=a4+(n-4)d=2n-1(n∈N*).
(2)由an=2n-1知a1=1,a3=5,
因为{an+bn}是公比为3的等比数列,b3=22,
所以a3+b3=(a1+b1)×9=5+22=27,即a1+b1=1+b1=3,
所以an+bn=3×3n-1=3n,所以bn=3n-(2n-1),
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=31+32+33+…+3n-[1+3+5+…+(2n-1)]=-=-n2.
18.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q.
由题意可得解得
故an=a1+(n-1)d=2n+1,bn=b1qn-1=2n-1.
(2)当n为偶数时,Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n+1anan+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+an(an-1-an+1)=-4(a2+a4+…+an)=-4×=-2n2-6n;
当n为奇数时,Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n+1anan+1=a1a2+a3(a4-a2)+a5(a6-a4)+…+an(an+1-an-1)=3×5+4(a3+a5+…+an)=15+4×=2n2+6n+7.
故Sn=
因为2n2+6n+7>0>-2n2-6n,所以Sn+tbn≤0对任意的n∈N*恒成立等价于2n2+6n+7+2n-1t≤0对任意的正奇数n恒成立,
即对任意的正奇数n,t≤恒成立.
设f(n)=(n为正奇数),
则f(n+2)-f(n)=-=
>0,所以f(n)min=f(1)=-15,
故t的取值范围是(-∞,-15].
19.解:(1)当a=0时,f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1.
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
故f(x)有极小值f=ln =-,也是最小值,f(x)无最大值.
(2)由题意得g(x)=ln x+ax2-ax,则g'(x)=+ax-a=.
g(x)存在两个极值点x1,x2,则x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等正根,所以解得a>4,又x1+x2=1,x1x2=,
所以g(x1)+g(x2)=ln x1+a-ax1+ln x2+a-ax2=ln (x1x2)+a[(x1+x2)2-2x1x2]-a(x1+x2)=ln +a-a=-a-ln a-1.设h(a)=-a-ln a-1,a>4,易知h(a)是减函数,
所以h(a)所以g(x1)+g(x2)的取值范围是(-∞,-3-ln 4).模块素养测评卷(二)
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时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15= ( )
A.7 B.14
C.21 D.7(n-1)
2.[2024·河南南阳高二期末] 若数列{an}满足an+1=2nan-2n,a1=2,则= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.[2024·四川成都高二期末] 将正整数1,2,3,…按从小到大且第k组含2k个数分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12,13,14),…,则2024在 ( )
A.第8组 B.第9组
C.第10组 D.第11组
4.[2023·山东临沂兰山一中高二期中] 若函数f(x)=x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(0,1],[3,+∞) B.(0,2],[3,+∞)
C.(0,3] D.[1,3]
5.[2024·江苏南京师大附中高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=an+cos2,则该数列的前22项和为 ( )
A.69 B.88 C.89 D.96
6.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时取得极小值0,则a+b= ( )
A.7 B.6 C.5 D.11
7.若函数f(x)=(x2+bx+1)ex在x=-1处有极大值6e-1,则f(x)的极小值为 ( )
A.0 B.-e-3
C.-e D.-2e3
8.[2023·安徽六安高二期中] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),对任意x∈R,有f'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2023)-e2x+4042f(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为 ( )
A.(-2021,+∞) B.(-2025,+∞)
C.(-∞,-2021) D.(-∞,-2025)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
A.若Sn=(n+1)2,则{an}是等差数列
B.若Sn=2n+1-2,则{an}是等比数列
C.若{an}是等差数列,则S2n-1=(2n-1)an
D.若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
10.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项正确的是 ( )
A.a3+a7≥2 B.a4+a6≥2
C.a7-2a6+1≥0 D.a3-2a4-1≥0
11.[2024·吉林长春高二期中] 定义在R上的可导函数f(x)和g(x)的导函数f'(x),g'(x)的图象如图所示,则函数h(x)=g(x)-f(x) ( )
A.有1个极大值点和2个极小值点
B.有2个极大值点和1个极小值点
C.有最大值
D.有最小值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·上海格致中学高二期末] 在数列{an}中,an=cn+3,若S7<0,则实数c的取值范围为 .
13.已知函数 f(x)=ax3+x在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.若函数f(x)=(x2+ax+2)ex既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·河南郑州高二期末] 已知函数f(x)=cos x-3x2.
(1)求f(x)的极值;
(2)判断f(x)在上的零点个数,并说明理由.
16.(15分)某公司生产一种产品,第一年投入资金1000万元,出售产品收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元,同时,当预计投入的资金低于20万元时,就按20万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.
(1)求第n年的预计投入资金与出售产品的收入.
(2)预计从哪一年起该公司开始盈利 (注:盈利是指总收入大于总投入)
17.(15分)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,S7=49,且a2,a5,a14成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{an+bn}是公比为3的等比数列,且b3=22,求{bn}的前n项和Tn.
18.(17分)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是公比不为1的等比数列,且a1=b1+2=3,a2+b2=7,a4+b3=13.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n+1anan+1,若Sn+tbn≤0对任意的n∈N*恒成立,求t的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=xln x+ax3-ax2(a∈R).
(1)当a=0时,求f(x)的最值;
(2)若函数g(x)=存在两个极值点x1,x2(x1≠x2),求g(x1)+g(x2)的取值范围.
