模块素养测评卷(三)
1.D [解析] 因为函数f(x)=x(2+cos x)-sin x,所以f'(x)=x'(2+cos x)+x(2+cos x)'-(sin x)'=2+cos x+x(-sin x)-cos x=2-xsin x,所以f'(0)=2.故选D.
2.A [解析] 由a1=1,an·an+1=-2可得,a2=-2,a3=1,a4=-2,故an=an+2,所以a8=-2.故选A.
3.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意可知,==1+=1+q2=5,则q2=4,故==1+=1+q4=17,所以S8=17S4=85.故选A.
4.A [解析] 由f(x)的解析式易知,f'(x)=-x=(x>0),由f'(x)>0得0
,故函数f(x)在(,+∞)上单调递减,所以当x=时,函数f(x)取得极大值,同时也是最大值,最大值为f()=ln 2-<0,故排除B,C,D.故选A.
5.D [解析] 因为S2<0,所以a1+a2<0,所以S2n+2-S2n=a2n+2+a2n+1=(a1+a2)q2n<0,所以{S2n}是递减数列,故C错误,D正确;若a1=1,q=-2,则an=(-2)n-1,满足a1+a2=-1<0,但是Sn+1-Sn=an+1=(-2)n,故{Sn}不具有单调性,故A,B错误.故选D.
6.A [解析] 由题得f'(x)=-=,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又a>b>0,所以f(a)>f(b).故选A.
7.C [解析] 设等比数列{an}的公比为q,∵an>0,∴q>0.∵a1=256,S3=448,∴256(1+q+q2)=448,解得q=(负值舍去),∴an=256×=29-n,则Tn=28×27×…×29-n=28+7+…+9-n==,∴当n=8或9时,Tn取得最大值.故选C.
8.A [解析] 设y=f(x)-g(x)=x2+2x-ln x(x>0),则y'=3x+2-==(x>0).当0时,y'>0.所以y=f(x)-g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=时,y=f(x)-g(x)取得最小值,最小值为×+2×-ln=-ln=+ln 3,所以|AB|的最小值为+ln 3.
9.BC [解析] ∵等比数列{an}是递增数列,且a2+a4=10>0,∴an>0,∵a2a3a4=64,∴=64,解得a3=4.设{an}的公比为q,∵a2+a4=10,∴+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,又数列{an}为递增数列,∴q=2,则a1===1,∴an=2n-1,故Sn==2n-1,Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.
10.ABC [解析] 对于A,f'(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,故f(x)有“巧值点”;对于B,f'(x)=-,令=-,得x=-1,故f(x)有“巧值点”;对于C,f'(x)=(x>0),令ln x=,作出y=ln x与y=(x>0)的图象,如图所示,由图知方程ln x=有解,故f(x)有“巧值点”;对于D,f'(x)=-e-x,令=-e-x,方程无解,故f(x)无“巧值点”.故选ABC.
11.ACD [解析] 由题知f'(x)=(x>0),令f'(x)=0得x=e,则当00,函数f(x)为增函数,当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数,则当x=e时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;由f(x)=0,得ln x=0,得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误;f(4)====f(2),由x>e时,函数f(x)为减函数知f(3)>f(π)>f(4),故f(2)+,设h(x)=+(x>0),则h'(x)=-,当00,h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,即当x=1时,函数h(x)取得极大值,同时也是最大值,故h(x)max=h(1)=1,所以k>1成立,故D正确.故选ACD.
12.3 [解析] 因为多边形的边数最少是3,即三角形,故用数学归纳法第一步应验证n=3.
13.2 [解析] 因为f(x)=x-2ln x(x>0),所以f'(x)=1-,由f'(x)=-1,得x=1,又f(1)=1,所以f(x)的图象过点(1,1)的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.直线x+y-2=0与直线x+y+2=0之间的距离d==2,则A,B两点间距离的最小值为2.
14.22023 [解析] 因为an+1-an<2n+,所以an+2-an+1<2n+1+,两式相加得an+2-an<3×2n+1,又an+2-an>3×2n-1,且数列{an}各项都为整数,所以an+2-an=3×2n,又a1=2,所以a2023=(a2023-a2021)+(a2021-a2019)+…+(a3-a1)+a1=3×(22021+22019+…+23+21)+2=3×+2=22023.
15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=9,S8=108,∴a1+2d=9,8a1+d=108,解得a1=d=3,∴an=3+3(n-1)=3n.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,显然q≠±1.∵b4-b2=2a4,b2+b3=a2,
∴b1q(q2-1)=24,b1q(1+q)=6,解得b1=,q=5,∴bn=×5n-1=5n-2.
16.解:(1)由已知得f'(x)=9x2+a,
因为f(x)在x=1处取得极值-1,所以f'(1)=9×12+a=0,解得a=-9,
又因为f(1)=3×13+a×1+b=-1,所以b=5.
经检验,a=-9,b=5满足题意.
(2)由(1)知f(x)=3x3-9x+5,f'(x)=9x2-9=9(x+1)(x-1),
令f'(x)=0,解得x=-1或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)在[-2,2]上的变化情况如下表所示:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -1 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 11
所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为11,最小值为-1.
17.解:(1)当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1.
当n≥2时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,
两式相减得an=2an-2an-1,则an=2an-1.
所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以an=2n-1.
(2)证明:由(1)知Sn==2n-1,所以=.
当n=1时,==1<2,
当n≥2时,2n-1>1,故=<=,
所以+++…+<1+++…+==2<2.
18.解:(1)当a=0时,f(x)=ln x-x+1,则f'(x)=-1,
因为x∈[1,+∞),所以f'(x)≤0,
所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,
所以f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=ln 1-1+1=0.
(2)由题可知f'(x)=+2ax-(2a+1)==.
①当a=0时,由(1)知,函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上无最小值,此时不符合题意;
②当a≥时,因为x∈(1,+∞),所以2ax-1>0,所以f'(x)>0,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上无最小值,此时不符合题意;
③当0当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上存在最小值,
所以实数a的取值范围为.
19.解:(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象恒在直线y=mx的上方,
等价于当x∈(0,+∞)时,xln x+1>mx恒成立,
即m<=ln x+恒成立.
令g(x)=ln x+,x∈(0,+∞),则g'(x)=-=,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)=ln x+在(1,+∞)上单调递增;
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,故g(x)=ln x+在(0,1)上单调递减.
所以g(1)为g(x)=ln x+在区间(0,+∞)上的极小值,同时也是最小值,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=1,
所以实数m的取值范围是(-∞,1).
(2)证明:①当n=1时,由2ln 2=ln 4>1,知ln 2>成立.
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即+++…+下面利用分析法证明ln(k+1)+要证上式成立,只需证1),只需证1-1),
只需证x1),由(1)知当x>1时,xln x+1>x恒成立.
所以,当n=k+1时,+++…++由①②可知,原不等式成立模块素养测评卷(三)
全部章节
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(x)=x(2+cos x)-sin x,f'(x)是函数f(x)的导数,则f'(0)等于 ( )
A.0 B.1 C.π D.2
2.在数列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8= ( )
A.-2 B.- C.1 D.2
3.[2023·山东德州高二期中] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和,S2=1,S4=5,则S8的值为( )
A.85 B.64 C.84 D.21
4.函数f(x)=ln x-x2的大致图象是 ( )
A B C D
5.[2024·北京大兴区高二期末] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且S2<0,则( )
A.数列{Sn}是递增数列
B.数列{Sn}是递减数列
C.数列{S2n}是递增数列
D.数列{S2n}是递减数列
6.[2024·四川成都高二期末] 已知函数f(x)=-,a>b>0,则 ( )
A.f(a)>f(b)
B.f(a)C.f(a)=f(b)
D.f(a),f(b)的大小关系不确定
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0,a1=256,S3=448,Tn为数列{an}的前n项积,则当Tn取得最大值时,n=( )
A.8 B.9
C.8或9 D.8.5
8.动直线x=m(m>0)与函数f(x)=x2+2x,g(x)=ln x的图象分别交于点A,B,则|AB|的最小值为( )
A.+ln 3 B.+ln 3
C.+ln 3 D.+ln 3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则 ( )
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
10.[2023·山东德州一中高二月考] 已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=ln x D.f(x)=
11.对于函数f(x)=,下列说法正确的有 ( )
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)D.若f(x)1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用数学归纳法证明“凸多边形内角和定理:f(n)=(n-2)·180°”时,第一步应验证n= 时成立.
13.[2024·江西赣州高二期末] 已知A是函数f(x)=x-2ln x图象上的动点,B是直线x+y+2=0上的动点,则A,B两点间距离的最小值为 .
14.[2023·辽宁省实验中学高二期中] 已知各项都为整数的数列{an}中,a1=2,且对于任意的n∈N*,都有an+1-an<2n+,an+2-an>3×2n-1,则a2023= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=9,S8=108,数列{bn}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若b4-b2=2a4,b2+b3=a2,求数列{bn}的通项公式.
16.(15分)[2023·河南商丘高二期中] 已知函数f(x)=3x3+ax+b在x=1处取得极值-1.
(1)求实数a,b的值;
(2)求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:+++…+<2.
18.(17分)[2024·北京中央工艺美术学院附中高二期中] 已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x+1(a≥0).
(1)当a=0时,求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在最小值,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=xln x+1.
(1)若x>0时,函数y=f(x)的图象恒在直线y=mx的上方,求实数m的取值范围;
(2)证明:当n∈N*时,ln(n+1)>+++…+.