第1章 集合（单元测试.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第1章 集合
一、选择题
1．集合P＝{1，4，9，16，…}，若a∈P，b∈P，则a b∈P，则运算 可能是（　　）
A．除法 B．加法 C．乘法 D．减法
2．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1 S，x﹣1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　）
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
3．对于给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}．若A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，则集合A※B中的所有元素之和为（　　）
A．27 B．14 C．15 D．﹣14
4．设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，X Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，若n＝3，则Sn的所有偶子集的容量之和为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
5．定义差集A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C﹣（A﹣B）可表示下列图中阴影部分的为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
（多选）6．设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中正确的是（　　）
A．（ IA）∪B＝I B．（ IA）∪（ IB）＝I
C．A∩（ IB）＝ D．（ IA）∩（ IB）＝ IB
三、填空题
7．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝　 　 ．
四、解答题
8．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜m+3}．
（1）当m＝1时，求A∩B；
（2）当B A时，求实数m的取值范围．
9．已知非空集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，
（1）当a＝10时，求A∩B，A∪B；
（2）求能使A B成立的a的取值范围．
10．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}．
（1）若m＝﹣2，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
11．已知集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，全集U＝R．
（1）若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
（2）若 UB A，求实数a的取值范围．
12．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
13．已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤﹣1或x≥6}，N＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}．
（1）若a＝3，求（ UM）∪N；
（2）若N M，求实数a的取值范围．
14．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}，其中a∈R．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若只有一个元素，求a的值；
（3）当B＝{x|x＞0}时，若A∩B为非空集合，求a的取值范围．
第1章 集合
参考答案与试题解析
一、选择题
1．集合P＝{1，4，9，16，…}，若a∈P，b∈P，则a b∈P，则运算 可能是（　　）
A．除法 B．加法 C．乘法 D．减法
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，即可求解．
【解答】解：当 为除法时，，故A错误，
当 为加法时，1+4＝5 P，故B错误，
当 为乘法时，m2 n2＝（mn）2∈P，故C正确，
当 为减法时，1﹣4 P，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
2．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1 S，x﹣1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　）
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
【答案】A
【分析】根据好元素的定义可知，要不是好元素，则x的最小值为2，又S中含有3个元素，则必有x∈S，x﹣1∈S，x+1∈S，所以S中的3个元素必连在一起．
【解答】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，
共有6个，
故选：A．
【点评】本题考查了与集合有关的新定义问题，考查了学生对新定义的理解能力，属于基础题．
3．对于给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}．若A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，则集合A※B中的所有元素之和为（　　）
A．27 B．14 C．15 D．﹣14
【答案】C
【分析】由A※B＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，先求出A※B，然后再求集合A※B中的所有元素之和．
【解答】解：∵A※B＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，
A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，
∴A※B＝{1，2，3，4，5}，
∴集合 A※B 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．
4．设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，X Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，若n＝3，则Sn的所有偶子集的容量之和为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】当n＝3时，S3＝{1，2，3}，由此能求出S3 的所有偶子集的容量之和．
【解答】解：由题意可知：当n＝3时，S3＝{1，2，3}，
所以所有的偶子集为： 、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．
所以S3 的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6＝16．
故选：D．
【点评】本题考查集合的所有偶子集的容量之和的求法，考查集合的子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．定义差集A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C﹣（A﹣B）可表示下列图中阴影部分的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用题中对A﹣B的定义知，首先得出A﹣B，然后再由差集定义得出C﹣（A﹣B）．
【解答】解：∵A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，
即A﹣B是集合A中的元素去掉A∩B 记作集合D
如图所示
∴集合C﹣（A﹣B）就是C中的元素去掉集合C∩D
故选：A．
【点评】本题考查理解题中的新定义，新定义题是近几年高考常考的题型，要重视．
二、多选题
（多选）6．设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中正确的是（　　）
A．（ IA）∪B＝I B．（ IA）∪（ IB）＝I
C．A∩（ IB）＝ D．（ IA）∩（ IB）＝ IB
【答案】ACD
【分析】先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．
【解答】解一：∵A、B、I满足A B I，先画出文氏图，
根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，
解二：设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，
B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且满足A B I．
根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，
故选：ACD．
【点评】本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．
三、填空题
7．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据新定义建立关系讨论即可．
【解答】解：∵A＝{1，2}，有两个元素；
B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，
由A*B＝1，
当B有一个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）＝0有一个解，
∴可得a＝0．
当B有3个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）＝0有3个解，
可得：x1＝0，x2＝﹣a（a≠0），
那么x2+ax+2＝0有一个解，
∴Δ＝0，
可得a＝±．
综上可知实数a的取得为0，，2，够成集合S个数为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了集合中元素的判断，新定义的理解，属于基础题．
四、解答题
8．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜m+3}．
（1）当m＝1时，求A∩B；
（2）当B A时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|2＜x＜3}；（2）[﹣1，0]∪[3，+∞）．
【分析】（1）m＝1时，求出集合B，然后进行交集的运算即可；
（2）根据B A可讨论B是否为空集：B＝ 时，当2m≥m+3；B≠ 时，有，然后解出m的范围即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，
（2）当2m≥m+3，即m≥3时，B＝ ，符合题意，
当B≠ 时，要满足条件，则有，
解得﹣1≤m≤0，
综上所述，实数m的取值范围[﹣1，0]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
9．已知非空集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，
（1）当a＝10时，求A∩B，A∪B；
（2）求能使A B成立的a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）当a＝10时，A＝{21≤x≤25}，B＝{x|3≤x≤22}，由此能求出A∩B和A∪B．
（Ⅱ）由A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，且A B，知，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}，B＝{x|3≤x≤22}，
∴A∩B＝{x|21≤x≤22}，
A∪B＝{x|3≤x≤25}．
（Ⅱ）∵A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，且A B，
∴，
解得6≤a≤9．
∴a的取值范围是[6，9]
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}．
（1）若m＝﹣2，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|﹣3≤x＜﹣1}；
（2）[﹣1，+∞）．
【分析】（1）求出集合B，利用交集定义能求出A∩B；
（2）由A∪B＝A，得B A，当B＝ 时，2m﹣1≥m+1，当B≠ 时，，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}．
m＝﹣2时，B＝{x|﹣5＜x＜﹣1}，
A∩B＝{x|﹣3≤x＜﹣1}；
（2）∵A∪B＝A，∴B A，
当B＝ 时，2m﹣1≥m+1，解得m≥2；
当B≠ 时，，解得﹣1≤m＜2．
综上，实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．已知集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，全集U＝R．
（1）若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
（2）若 UB A，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由A∩B＝ 用数轴解a，（2）A∩B＝ 等价于A UB；则由（1）可直接得到（2）的解．
【解答】解：（1）∵A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，
又∵A∩B＝ ，
∴，
解得，﹣1≤a≤2．
（2）∵若A∩B＝ ，则A UB；
则这时﹣1≤a≤2．
则 UB A的解为a＜﹣1或a＞2．
【点评】本题考查了集合间的相互关系，同时应用了否定，属于基础题．
12．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题的关键是根据集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．且A B，理清集合A、B的关系，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，需要分两种情况进行讨论：①2m≥1﹣m；2m＜1﹣m．
【解答】解：（1）由A B知：，
得m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
（2）由A∩B＝ ，得：
①若2m≥1﹣m即m≥时，B＝ ，符合题意；
②若2m＜1﹣m即m＜时，需或，
得0≤m＜，即0≤m＜，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
13．已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤﹣1或x≥6}，N＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}．
（1）若a＝3，求（ UM）∪N；
（2）若N M，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|﹣1＜x≤8}；（2）（﹣∞，1）∪[5，+∞）．
【分析】（1）把a＝3代入集合N中，再根据补集和并集的运算法则，得解；
（2）由N M，分N＝ 和N≠ 两种情况讨论，列出对应的关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：（1）当a＝3时，N＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}＝{x|4≤x≤8}，
因为M＝{x|x≤﹣1或x≥6}，所以 UM＝{x|﹣1＜x＜6}，
所以（ UM）∪N＝{x|﹣1＜x≤8}．
（2）因为N M，
所以当N＝ 时，a+1＞3a﹣1，解得a＜1；
当N≠ 时，应满足或，解得a≥5，
综上所述，a＜1或a≥5，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪[5，+∞）．
【点评】本题考查集合的运算，集合中参数的取值问题等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}，其中a∈R．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若只有一个元素，求a的值；
（3）当B＝{x|x＞0}时，若A∩B为非空集合，求a的取值范围．
【答案】（1）（1，+∞）；
（2）a＝0或a＝1；
（3）a≤1．
【分析】（1）利用空集的定义，可知ax2﹣2x+1＝0无解，即可得到答案；
（2）根据题意得到ax2﹣2x+1＝0只有一解，分a＝0和a≠0两种情况进行求解，即可得到答案；
（3）利用ax2﹣2x+1＝0至少有一个正根，对a的进行讨论，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A＝ ，∴ax2﹣2x+1＝0无解，
当a＝0时，不符合题意，；
当a≠0时，∴Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1，
∴a的取值范围为（1，+∞）；
（2）当a＝0时，，满足题意；
当a≠0时，Δ＝4﹣4a＝0，解得a＝1；
∴a＝0或a＝1；
（3）根据题意可得，ax2﹣2x+1＝0至少有一个正根，
当a＝0时，，所以，满足题意；
当a≠0时，若，Δ＝4﹣4a＝0，解得a＝1，此时A＝{1}，所以A∩B＝{1}，符合题意；
当0＜a＜1时，则Δ＝4﹣4a＞0，方程ax2﹣2x+1＝0的两根之和为，两根之积为，即两个根为正根，符合题意；
当a＜0时，则Δ＝4﹣4a＞0，方程ax2﹣2x+1＝0的两根之和为小于0，两根之积为小于0，即两个根为一正根一负根，符合题意；
综上所述，a的取值范围为a≤1．
【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了一元二次方程的根的研究，解题的关键是将集合中元素的关系转化为方程的根的问题，易错点是容易忽略对参数a的分类讨论．
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