第1章 集合（培优卷.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第1章 集合
一、选择题
1．（5分）给出下列关系式：①Q；②{1，2}＝{（1，2）}；③2∈{1，2}；④ {0}，其中正确关系式的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∪（ RB）＝（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x≤2}
3．（5分）已知集合A＝{0，x}，B＝{x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A B，则实数x的值为（　　）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．2
4．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|﹣1，x∈A}，则下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∩B＝
5．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合的子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+2}，B＝{x|3＜x＜5}，则能使A B成立的实数a的取值范围是（　　）
A．{a|3＜a≤4} B．{a|3≤a＜4} C．{a|3＜a＜4} D．{a|3≤a≤4}
7．（5分）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}中有且只有一个元素，那么实数a的取值集合是（　　）
A．{} B．{0，} C．{0} D．{0，}
8．（5分）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
a b c d
a a b c d
b b b b b
c c b c b
d d b b d
a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c c a
d a d a d
那么d （a c）＝（　　）
A．a B．b C．c D．d
二、多选题
（多选）9．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，下列关系正确的是（　　）
A．（1，3）∈B B．（0，0） B C．0∈A D．A＝B
（多选）10．（5分）已知集合M＝{3，x+1，x2﹣x}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
（多选）11．（5分）我们把含有有限个元素的集合A叫作有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{x，y，z}，则card（A）＝3，若非空集合M，N满足card（M）＝card（N），且M N，则下列说法正确的是（　　）
A．M∪N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．M∩N＝
（多选）12．（5分）设全集U，已知A B，则一定正确的是（　　）
A．A∩B＝A B． UA UB C．（ UB）∩A＝ D．（ UA）∩B＝
三、填空题
13．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝　 　 ．
14．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，A∪B＝A，则实数a的取值集合为　 　 ．
15．（5分）已知集合P＝{x|x2＝9}，集合Q＝{x|ax＝3}，若Q P，那么﹣3　 　 P（用适当的符号填空），a的值组成的集合为　 　 ．
16．（5分）有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有 　 　 人．
四、解答题
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞4}，B＝{x|﹣6＜x＜6}．
（1）求A∩B和A∪B； RB；
（2）定义A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，求A﹣B，A﹣（A﹣B）．
18．（12分）已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}．
（1）若a＝﹣1，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}．
（1）若A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}，求a；
（2）在① RA RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
20．（12分）已知集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
21．（12分）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
22．（12分）设集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}．
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若 （A∩B）且A∩C＝ ，求实数a的值．
第1章 集合
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）给出下列关系式：①Q；②{1，2}＝{（1，2）}；③2∈{1，2}；④ {0}，其中正确关系式的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是元素与集合关系，分析元素是否在对应的集合中；集合与集合的关系看其中一个集合的元素与另一个集合的关系，注意 的特殊性．
【解答】解：①为无理数，故不正确；②{1，2}是以1，2为元素的集合，
{（1，2）}可以看成是以点（1，2）为元素的集合，故不能相等，所以不正确；
③是元素与集合的关系，正确；④ 是任何集合的子集，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是元素与集合，集合与集合的关系问题，弄清楚元素与集合是∈或 关系，集合关系有＝， ， ， 等
2．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∪（ RB）＝（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x≤2}
【答案】A
【分析】进行补集和并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，
∴ RB＝{x|x≥2}，A∪（ RB）＝{x|x＞﹣1}．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{0，x}，B＝{x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A B，则实数x的值为（　　）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．2
【答案】A
【分析】若x2＝0，则﹣x2＝0，不成立，故|x|﹣1＝0，由此能求出实数x的值．
【解答】解：∵集合A＝{0，x}，B＝{x2，﹣x2，|x|﹣1}，A B，
∴0∈B，且x∈B，
当x＞0时，B＝{x2，﹣x2，x﹣1}，
若x2＝0，则﹣x2＝0，不成立，故x﹣1＝0，从而x＝1，此时A＝{0，1}，B＝{1，﹣1，0}，成立；
当x＜0时，B＝{x2，﹣x2，﹣x﹣1}，
若x2＝0，则﹣x2＝0，不成立，故﹣x﹣1＝0，从而x＝﹣1，此时A＝{0，1}，B＝{1，﹣1，0}，成立．
故实数x的值为1或﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的包含关系的合理运用．
4．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|﹣1，x∈A}，则下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∩B＝
【答案】C
【分析】由集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|﹣1，x∈A}，由列举法得：B＝{﹣1，0，1}，又因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以B A，
【解答】解：由集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|﹣1，x∈A}，
得：B＝{﹣1，0，1}，
又因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以B A，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的表示形式及集合间的包含关系，属简单题
5．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合的子集个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据Venn图，转化为对应集合关系，集合集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：阴影部分对应的集合为 U（A∪B），
∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}，
则 U（A∪B）＝{5}，
则子集个数为 ，{5}，两个，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
6．（5分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+2}，B＝{x|3＜x＜5}，则能使A B成立的实数a的取值范围是（　　）
A．{a|3＜a≤4} B．{a|3≤a＜4} C．{a|3＜a＜4} D．{a|3≤a≤4}
【答案】D
【分析】根据A B，确定参数对应的取值范围即可．
【解答】解：因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+2}，B＝{x|3＜x＜5}，所以当A B时，
有，即，故3≤a≤4．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用集合关系确定端点处的大小关系，注意等号的取舍．
7．（5分）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}中有且只有一个元素，那么实数a的取值集合是（　　）
A．{} B．{0，} C．{0} D．{0，}
【答案】B
【分析】由集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}中有且只有一个元素，得a＝0或，由此能求出实数a的取值集合．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}中有且只有一个元素，
∴a＝0或，
解得a＝0或a＝，
∴实数a的取值集合是{0，}．
故选：B．
【点评】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
a b c d
a a b c d
b b b b b
c c b c b
d d b b d
a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c c a
d a d a d
那么d （a c）＝（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【分析】按照题中给的运算规律，直接进行运算即可得出结果．
【解答】解：由题中的运算可知a c＝c，
d c＝a，
∴d （a c）＝a，
故选：A．
【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力，新概念的理解，属于基础题．
二、多选题
（多选）9．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，下列关系正确的是（　　）
A．（1，3）∈B B．（0，0） B C．0∈A D．A＝B
【答案】AB
【分析】根据集合A，B中的元素分别为值域中的实数以及抛物线上的点，结合元素与集合之间的关系即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{y|y≥2}＝[2，+∞），
∵集合B是由抛物线y＝x2+2上的点组成的集合，
∴A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查了集合的含义，考查了元素与集合的关系，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知集合M＝{3，x+1，x2﹣x}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】AB
【分析】由已知结合元素与集合关系可建立关于x的方程，可求x，然后检验集合运算的互异性即可．
【解答】接解：因为M＝{3，x+1，x2﹣x}，
若2∈M，则x+1＝2或x2﹣x＝2，
解得x＝1或x＝﹣1或x＝2，
当x＝1时，M＝{3，2，0}，符合题意，
当x＝﹣1时，M＝{3，0，2}，符合题意，
当x＝2时，M＝{3，3，2}，与集合元素的互异性矛盾，
故x＝1或x＝﹣1．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）我们把含有有限个元素的集合A叫作有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{x，y，z}，则card（A）＝3，若非空集合M，N满足card（M）＝card（N），且M N，则下列说法正确的是（　　）
A．M∪N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．M∩N＝
【答案】ABC
【分析】根据card（M）＝card（N），且M N即可得出M＝N，从而看出选项D不正确．
【解答】解：根据card（M）＝card（N），且M N得，M＝N；
∴M∪N＝M，M∩N＝N，M∪N＝N正确，
显然M∩N＝ 不正确，因为M，N不一定是空集．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查有限集的定义，集合元素个数的定义，列举法的定义．
（多选）12．（5分）设全集U，已知A B，则一定正确的是（　　）
A．A∩B＝A B． UA UB C．（ UB）∩A＝ D．（ UA）∩B＝
【答案】ABC
【分析】先画出韦恩图，然后利用韦恩图即可判断求解．
【解答】解：因为A B，如图所示：
则A∩B＝A， UA UB，（ UB）∩A＝ ，
故A，B，C正确，D错误，
故选：ABC．
【点评】本题考查了集合的包含关系，涉及到韦恩图的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝　﹣3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意分析，得到A＝{0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值
【解答】解；∵U＝{0，1，2，3}、 UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，
∴0、3是方程x2+mx＝0的两个根，
∴0+3＝﹣m，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．
14．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，A∪B＝A，则实数a的取值集合为　{﹣1，0，}　 ．
【答案】{0，﹣1，}．
【分析】求出B A，通过讨论B＝ ，B≠ 时的情况，得到关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：若A∪B＝A，则B A，
B＝ 时，a＝0，
B≠ 时，B＝{x|x＝}，
而A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{3，﹣1}，
故＝3或＝﹣1，解得：a＝或a＝﹣1，
综上：a是取值集合是{0，﹣1，}，
故答案为：{0，﹣1，}．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查分类讨论思想，转化思想，是一道基础题．
15．（5分）已知集合P＝{x|x2＝9}，集合Q＝{x|ax＝3}，若Q P，那么﹣3　∈　 P（用适当的符号填空），a的值组成的集合为　{1，﹣1，0}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝﹣3，代入方程x2＝9中成立，所以﹣3∈P；由Q P，分类讨论：Q＝ ，得a＝0；Q≠ 时，把x＝±3分别代入ax＝3中，得a＝±1，即可得到a＝±1或0．
【解答】解：P＝{﹣3，3}，所以﹣3∈P．
若Q＝ 时，则a＝0；
若Q≠ 时，Q＝{﹣3}或{3}，把x＝±3代入方程ax＝1中，a＝±1，
故答案为：∈；{﹣1，1，0}．
【点评】此题考查元素与集合关系的判断，理解子集的定义，注意考虑空集，是一道基础题．
16．（5分）有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有 　2　 人．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出只买电脑和电视机的人数，然后进行计算即可．
【解答】解：有9人买了电视，两种都买的有3人，则只买电视的有9﹣3＝6人，只买电脑的有7﹣3＝4人，
则两种都没有买的有15﹣6﹣4﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查元素和集合的应用，比较基础．
四、解答题
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞4}，B＝{x|﹣6＜x＜6}．
（1）求A∩B和A∪B； RB；
（2）定义A﹣B＝{x|x∈A，且x B}，求A﹣B，A﹣（A﹣B）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义计算即可；
（2）根据题意，计算A﹣B和A﹣（A﹣B）．
【解答】解：（1）A∩B＝{x|x＞4}∩{x|﹣6＜x＜6}＝{x|4＜x＜6}，
A∪B＝{x|x＞4}∪{x|﹣6＜x＜6}＝{x|﹣6＜x}，
RB＝{x|x≤﹣6或x≥6}；
（2）根据题意，A﹣B＝{x|x≥6}，
A﹣（A﹣B）＝{x|4＜x＜6}．
【点评】本题考查了交集、并集和补集的定义与运算问题，是基础题．
18．（12分）已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}．
（1）若a＝﹣1，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）[﹣2，﹣1），（2）a＜﹣4或．
【分析】（1）当a＝﹣1时，A＝{x|﹣2≤x≤2}，再求A∩B．
（2）由A B，则分A为 和不为 两种情况讨论可得答案．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，A＝{x|﹣2≤x≤2}，又B＝{x|x＜﹣1或x＞5}．
所以A∩B＝[﹣2，﹣1）；
（2）当A＝ ，即2a＞a+3，则a＞3，此时满足A B．
当A≠ ，要满足A B，则或，
解得a＜﹣4或，
综上：a＜﹣4或．
【点评】本题考查集合求交集和根据子集关系求参数的范围，属于易错题，是基础题．
19．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}．
（1）若A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}，求a；
（2）在① RA RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】（1）a＝1；
（2）[﹣1，0]．
【分析】（1）由已知结合集合并集运算即可求解；
（2）结合所选条件，利用集合的交并运算及集合包含关系的相互转化可求．
【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝[﹣1，2]，B＝{x|a≤x≤a+2，a∈R}，
若A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}，
则a+2＝3，即a＝1；
（2）若选① RA RB，则B A，
所以，
解得﹣1≤a≤0；
若选②A∪B＝A，则B A，
所以，
解得﹣1≤a≤0；
若选③A∩B＝B，则B A，
所以，
解得﹣1≤a≤0；
综上a的取值范围为[﹣1，0]．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算及并集及交集运算性质的应用，属于基础题．
20．（12分）已知集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
【答案】见试题解答内容
【分析】集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}只有一个元素，等价于方程有且只有一个解，分类讨论，即可得到结论．
【解答】解：当k＝0时，原方程变为﹣8x+16＝0，x＝2，此时集合A＝{2}；
当k≠0时要使一元二次方程kx2﹣8x+16＝0有一个实根，需Δ＝64﹣64k＝0，即k＝1．此时方程的解为x1＝x2＝4．集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1，当k＝0时，集合A＝{2}；当k＝1时，集合A＝{4}．
【点评】本题考查集合的表示，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．
21．（12分）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）若B A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2n．
（3）根据题意，需要进行分类讨论，当B＝ 和B≠ 时，然后列出关系式即可求出结果．
【解答】解：（1））①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2
②当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2
由B A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5
得2≤m≤3
故实数m的取值范围为m≤3
（2）当x∈Z时，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}
求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集个数为28﹣2＝254
（3）因为x∈R，且A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
则①若B＝ ，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；
②若B≠ ，则要满足的条件是
m+1≤2m﹣1且m+1＞5
或m+1≤2m﹣1且2m﹣1＜﹣2，
解得m＞4．
综上，有m＜2或m＞4．
【点评】若B A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2n，真子集个数为：2n﹣1．
22．（12分）设集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}．
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若 （A∩B）且A∩C＝ ，求实数a的值．
【答案】（1）a＝5；（2）a＝﹣2．
【分析】（1）由A∩B＝A∪B可得A＝B，从而得方程组，解方程组即可；
（2）化简集合B，C，结合条件 （A∩B）且A∩C＝ 可得3∈A，2 A，﹣4 A，从而得到，解实数a的值即可．
【解答】解：（1）∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B，
∴，
解得a＝5；
（2）B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}＝{2，﹣4}，
∵ （A∩B）且A∩C＝ ，
∴3∈A，2 A，﹣4 A，
∴，
解得a＝﹣2．
【点评】本题考查了集合间关系的判断与应用，属于基础题．
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