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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
（第2课时）
1．理解“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”和“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”的判定方法；
2．能根据条件选择ASA或AAS判定三角形全等，并解决简单的实际问题．
1．判定两个三角形全等的方法：
两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．
（简写 “边角边”或 “________”）．
2．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
夹角
SAS
不一定全等
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况．接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况．
条件
探究：如图所示，直观上，AB，∠A，∠B的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了．也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？
如图，由A′B′＝AB可知，如果使点A′与点A重合，点B′在射线AB上，那么点B′与点B重合．再由∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，可知射线A′C′与射线AC重合，射线B′C′与射线BC重合，于是射线A′C′，B′C′的交点C′与射线AC，BC的交点C重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC．
符号语言:
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ (ASA)
由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写 “角边角”或 “ASA”）．
必须是两 角“夹边”
例1：如图所示，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AD＝AE．
分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件．
证明：在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE（ASA）．
∴AD＝AE．
两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的情况．
条件
思考 ：如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这 两个三角形全等吗？
分析：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等．这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用 “角边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等．
符号语言:
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ (AAS)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写 “角角边”或 “AAS”）．
例2：如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AF =CE．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD//CB
∴∠A =∠C
在△ADF 与△CBE中，
∴△ADF ≌△CBE（AAS）．
∴DF =BE．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作
交的延长线于点．线段的长即
为，两点间的距离，此处判定三角
形全等的依据是( )
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，小明要测量河岸相对的两点A，B的距离，他先在的垂线上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上．你认为此时测量的长度就等于的长，理由是依据____________，
可以证明______________，由全等三角形
对应边相等得出．
△ ≌△
AB=DE
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：．
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．为的中点
D．
B
【综合拓展类练习】
5．数学实践活动课上，小辰和小轩所在的兴趣小组测量了学校教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼外水平地面上选定一点，用仪器测得，是垂直于地面的一根标杆，用仪器测得，且，，且，，三点在同一水平线上，请你根据以上数据，求出教学楼的高度．
解：∵，，
，
．
在与中，
，，，
，
，故教学楼的高度为．
三角形全等的判定
“角角边”判定定理
“角边角”判定定理
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，，，，，则等于 ．
3
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
证明：（1） ，
，
，
在和中，
，
，；
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
（2），
，
，
．
4．下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被 遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ）
A．只有Ⅰ可以
B．只有Ⅰ、Ⅱ可以
C．作出三角形Ⅱ的依据是
D．作出三角形Ⅲ的依据是
【知识技能类作业】选做题：
B
【综合拓展类作业】
5．如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由．
解：小明的结论正确，理由如下：由题意得，
．
，．
在与中，
，
，，即，
小明的结论正确．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 14.2 三角形全等的判定（第2课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”和“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”的判定方法； 2．能根据条件选择ASA或AAS判定三角形全等，并解决简单的实际问题．
重点 理解ASA和AAS判定方法，明确两种方法的适用条件和本质区别，能根据题目中的已知条件准确选择其中一种判定方法证明三角形全等．
难点 在复杂几何图形中准确区分“夹边”与“对边”，能从已知条件中筛选出“两角一边”的证明条件并选择合适的判定方法构建全等三角形模型解决问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．判定两个三角形全等的方法： 两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等． （简写 “边角边”或 “________”）． 2．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
新知探究 本节课来研究： 前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况．接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况。 探究：如图所示，直观上，AB，∠A，∠B的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了．也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？ 归纳：由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两角和它们的夹边分别_________的两个三角形全等（简写 “角边角”或 “________”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (______) 例1：如图所示，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AD＝AE． 分析：如果能证明△ACD≌_______，就可以得出AD＝____．由题意可知，△ACD和△ABE具备“________”的条件． 思考 ：如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这 两个三角形全等吗？ 归纳：两角分别______且其中一组等角的对边______的两个三角形全等（简写 “角角边”或 “________”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (________) 例2：如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AF =CE．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作交的延长线于点．线段的长即为，两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是( ) A． B． C． D． 2．如图，小明要测量河岸相对的两点A，B的距离，他先在的垂线上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上．你认为此时测量的长度就等于的长，理由是依据 ，可以证明 ，由全等三角形对应边相等得出． 3．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 选做题： 4．如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（ ） A． B． C．为的中点 D． 【综合拓展类练习】 5．数学实践活动课上，小辰和小轩所在的兴趣小组测量了学校教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼外水平地面上选定一点，用仪器测得，是垂直于地面的一根标杆，用仪器测得，且，，且，，三点在同一水平线上，请你根据以上数据，求出教学楼的高度．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，则等于 ． 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 选做题： 4．下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【综合拓展类作业】 5．如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由．
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分课时教学设计
第三课时《14.2 三角形全等的判定（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版数学八年级上册14.2全等三角形判定的第2课时，承接上一课时对“边角边（SAS）”判定方法的学习，进一步深入探究三角形全等的判定条件，探究“两角及其夹边对应相等（ASA）”和“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”两种判定方法，在全等三角形判定体系中具有承上启下的关键作用．
学习者分析 学生在上一课时掌握“边角边（SAS）”判定三角形全等的方法，理解“全等三角形对应边、对应角相等”的性质，具备初步的几何推理意识。同时学生已学习三角形内角和定理和基本的尺规作图技能，能够通过作图直观感受三角形的形状和大小与边、角的关系，这为探究“ASA”、“AAS”判定方法的直观性提供支持．
教学目标 1．理解“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”和“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”的判定方法； 2．能根据条件选择ASA或AAS判定三角形全等，并解决简单的实际问题．
教学重点 理解ASA和AAS判定方法，明确两种方法的适用条件和本质区别，能根据题目中的已知条件准确选择其中一种判定方法证明三角形全等．
教学难点 在复杂几何图形中准确区分“夹边”与“对边”，能从已知条件中筛选出“两角一边”的证明条件并选择合适的判定方法构建全等三角形模型解决问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”和“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”的判定方法； 2．能根据条件选择ASA或AAS判定三角形全等，并解决简单的实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．判定两个三角形全等的方法： 两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等． （简写 “边角边”或 “________”）． 答案：夹角，SAS 2．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 答案：不一定全等 引入：前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况．接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况。学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习边角边定理，为继续探究三角形全等的判定方法做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图所示，直观上，AB，∠A，∠B的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了．也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？ 预设：如图，由A′B′＝AB可知，如果使点A′与点A重合，点B′在射线AB上，那么点B′与点B重合．再由∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，可知射线A′C′与射线AC重合，射线B′C′与射线BC重合，于是射线A′C′，B′C′的交点C′与射线AC，BC的交点C重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC． 归纳：由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写 “”或 “ASA”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (ASA) 例1：如图所示，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AD＝AE． 分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件． 证明：在△ACD和△ABE中， ∴△ACD≌△ABE（ASA）． ∴AD＝AE． 指出：两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的情况． 思考 ：如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这 两个三角形全等吗？ 分析：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等．这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用 “角边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等． 归纳：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写 “角角边”或 “AAS”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (AAS) 例2：如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AF =CE．若∠B =∠D，求证：DF =BE． 证明：∵ AD//CB ∴∠A =∠C 在△ADF 与△CBE中， ∴△ADF ≌△CBE（AAS）． ∴DF =BE．学生活动3： 学生在教师的引导下进行合作探究，然后班内交流，并在教师的指导下归纳角边角和角角边两种三角形全等的判定方法。活动意图说明： 通过探究和思考，引导学生探究角边角和角角边这两种判定三角形全等的方法，并通过例题加强学生对判定定理的应用。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：14.2 三角形全等的判定（第2课时）一、基本事实——角边角 二、推论——角角边教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作交的延长线于点．线段的长即为，两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是( ) A． B． C． D． 答案：B 2．如图，小明要测量河岸相对的两点A，B的距离，他先在的垂线上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上．你认为此时测量的长度就等于的长，理由是依据 ，可以证明 ，由全等三角形对应边相等得出． 答案： ， 3．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 选做题： 4．如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（ ） A． B． C．为的中点 D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．数学实践活动课上，小辰和小轩所在的兴趣小组测量了学校教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼外水平地面上选定一点，用仪器测得，是垂直于地面的一根标杆，用仪器测得，且，，且，，三点在同一水平线上，请你根据以上数据，求出教学楼的高度． 解：∵，， ， ． 在与中， ，，， ， ， 故教学楼的高度为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，，，，，则等于 ． 答案：3； 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 证明：（1） ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ． 选做题： 4．下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 解：小明的结论正确， 理由如下：由题意得， ． ， ． 在与中， ， ， ，即， 小明的结论正确．
教学反思 本节课多数学生掌握ASA、AAS判定方法，但有个别学生混淆夹边与对边，大部分学生能规范书写证明，但部分学生在证明过程中仍有条件标注不全、逻辑不清问题。
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