2025年青海省西宁市中考数学真题（含答案）

西宁城区 2025 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。
2.本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效。
3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点、考场、座位号写在答题卡上，同时填写
在试卷上。
4.选择题用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号）。非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔答在答题卡相应位置，字体工整，笔迹
清楚。作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
第 I 卷（选择题共 24 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1.下列四个实数中，最大的是（ ）
A.-7 B.0 C. D.
2.在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早.如图
所示，鼓的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.概率很大的事件一定会发生
B.“任意画一个三角形，其外角和是 360°”是必然事件
C.两组身高数据的方差分别是 ， ，则乙组的身高更整齐
D.某抽奖活动的中奖概率为 ，表示抽奖 10 次就有 1 次中奖
4.当 时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，直线和直线外一点 A，以点 A 为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点 M，N；分别以点
M，N 为圆心，线段 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P（点 P 与点 A 在直线的两侧）；作直线 AP 交直线
于点 ，连接 AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：① 是等边三角形；②AP 垂
直平分线段 MN；③PA 平分 ；④四边形 AMPN 是菱形；⑤ .其中正确结论的个数是
（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
7.如 图 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 两 坐 标 轴 分 别 交 于 点 A， B， 与 反 比 例 函 数
的图象交于点 ， .下列结论错误的是（ ）
A. B. 与 的面积相等
C. 的面积是 D.当 时，
8.如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形 ABCD 和小正方形 EFGH，连接 BD 交 CH
于点 P.若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 96 分）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把最后结果填
在答题卡对应的位置上）
9.相反数等于它本身的数是________.
10.分解因式： ________.
11.等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长为________.
12.如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则 的度数是________.
13.如图，四边形 ABCD 是 的外切四边形， ， .则四边形 ABCD 的周长为_______.
14.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ，垂足为 E，连接 OE.若 ，
，则菱形 ABCD 的面积是______.
15.若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的 k 的值
_________.
16.如图，在正五边形 ABCDE 内，以 AB 为边作等边 ，再以点 A 为圆心，AE 长为半径画弧.若
，则图中阴影部分的面积是________.
17.在平面直角坐标系 中，点 ，点 P 在过原点的直线上，且 ，则直线的解析
式是_______.
18.如图 1，在 中， ，动点 P 从点 A 出发，沿着 的路径运动到点 C 停止，
过点 P 作 ，垂足为 Q.设点 P 的运动路程为 x， 的值为 y，y 随 x 变化的函数图象如图 2
所示，则 BC 的长为________.
图 1 图 2
三、解答题（本大题共 8 小题，共 76 分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡
相应的位置上）
19.（本小题满分 10 分）
（1）计算： .
（2）化简： .
20.（本小题满分 8 分）
先化简，再求值： ，其中 满足 .
21.（本小题满分 8 分）
如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 的中点，连接 DE，将 沿 DE 所在直线折叠，点 C 落在点 F 处，
连接 EF 并延长交 AB 于点 G，连接 DG.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 AG 的长.
22.（本小题满分 10 分）
近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同
学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
调查问卷
年 月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（ ）（单选）
A.玩偶 B.冰箱贴 C.创意摆件 D.手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计
图.根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
（3）若全校共有 1800 名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少
【解决概率问题】
（4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒
子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有 A，B，C，D（A 玩偶、B 冰箱贴、C 创意摆件、D 手机挂件），
摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状
图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
23.（本小题满分 8 分）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫.某小区
物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.若购买 12 株白丁香和 7 株紫丁香共 1160 元；
购买 9 株白丁香和 14 株紫丁香共 1570 元.
（1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少
（2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共 45 株，其中紫丁香至少购买 20 株，怎样购买总费用最少 最
少费用为多少元
24.（本小题满分 10 分）
如图，AB，AC 是 的弦， ，半径 OE，OF 分别与弦 AB，AC 垂直，垂足分别为 G，H，
交 OE 于点 M， 交 OF 于点 N，连接 OA.
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 AMON 是菱形；
（3）若 ， ，则 _______.
25.（本小题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系 中，以 P 为顶点的抛物线的解析式为 ，点 A 的坐标是
（-1，0），以原点为中心，把点 A 顺时针旋转 90°，得到点 .
（1）直接写出 点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）当 时，y 有最大值为 ，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点 M 在 y 轴上，点 N 在坐标平面内，是否存在以点 ，P，M，N 为顶点的四
边形是矩形 若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.
26.（本小题满分 12 分）
综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册 85 页第 14 题）
如图 1，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关系
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图 1，过点 A 作 ，垂足为 D，过点 B 作 ，垂足为 E.
在 中 ∴
在 中 ∴
∴ 即
同理 在 中 _____
在 中 _____
∴______=______
即
∴ ；
图 1
【结论应用】
（2）如图 2，在 中， ， ， .求 AC，BC 的长.（结果保留小数点后一
位；参考数据： ， .）
图 2
【深度探究】
（3）如图 3， 是锐角 的外接圆，半径为 .
求证： .
图 3
【拓展应用】
（4）如图 4，在 中， ， ， ，D 是线段 BC 上的一个动点，以
AD 为直径的 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF.则线段 EF 长度的最小值是________.
图 4
西宁城区 2025 年初中学业水平暨高中招生考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
9.0 10. 11.7 12.108° 13.48 14.
15.答案不唯一，如-1 16. 17. 或 18.
三、解答题（本大题共 8 小题，共 76 分）
19.解：（1）原式 .
（2）原式 .
20.解：原式
解方程 得
当 时
∴原式 .
21.（1）证明：由折叠可得
∴
∵四边形 ABCD 是正方形
∴
∴
在 和 中
∴ ；
（2）解：∵ ∴
∵E 是 BC 的中点 ∴
∵ ∴
设 ∴
在 中
∵ （勾股定理） ∴
解得
∴ .
22.解：（1）120；
（2）96°；
（3） （人）
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有 600.
（4）根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 16 种，即 AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，
CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的
结果共有 4 种，即 AA，BB，CC，DD.所以，P（甲，乙两人恰好获得同一类文创产品） .
23.解：（1）设白丁香的单价为 x 元，紫丁香的单价为 y 元.
根据题意，列方程组
解方程组得
答：白丁香的单价为 50 元，紫丁香的单价为 80 元；
（2）设购买紫丁香 m 株，总费用为 w 元.
∵30>0∴w 随 m 的增大而增大
又∵ ∴当 时，
答：购买紫丁香 20 株，白丁香 25 株时，总费用最少，最少费用为 2850 元.
24.（1）证明：∵ ， 是 的半径
∴ （垂径定理）
∵ ∴
又∵
∴OA 平分 （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∴ ；
（2）证明：∵ ∴
∵ ∴
∴ （等角对等边）
∵
∴四边形 AMON 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴四边形 AMON 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3） .
25.解：（1） ，抛物线的对称轴是直线
（2）∵ 抛物线的对称轴是直线
∴当 时，y 有最大值为
∴ ∴
∴抛物线的解析式为 ；
（3）所有符合条件的 N 点的坐标是（2，1）， .
26.解：（1） ；
（2）∵ ∴
∵ ∴
∴
∴
即 ；
（3）连接 BO 并延长交 于点 D，连接 DC
∵BD 是 的直径∴
在 中 ∴
∵ ∴ 即 ；
由（1）可知：
∴
（4）