3.1椭圆基础练习卷（含解析）

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3.1椭圆基础练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．椭圆 的长轴长、短轴长分别为（　　）
A． B． C． D．
2．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率是，则m的值是（　　）
A． B． C． D．或
3．“ 且 ”是“方程 表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．直线y＝kx－k＋1与椭圆 的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．椭圆 与椭圆 的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
6．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线AB的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．若椭圆 的离心率为 ，则m的取值为（　　）
A． B．6 C．3 D．
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，点 是圆 关于直线 对称的曲线 上任意一点，若 的最小值为 ，则下列说法正确的是（　　）．
A．椭圆 的焦距为2
B．曲线 过点 的切线斜率为
C．若 、 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，则直线 与 斜率之积为
D． 的最小值为2
11．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，左、右顶点分别是 ， ，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线 与直线 的斜率之积为
C．存在点 满足
D．若 的面积为 ，则点 的横坐标为
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知过点 的椭圆C的焦点分别为 ， ，则椭圆C的标准方程是　 　.
13．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于　 　.
14．已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，点 ， 在椭圆上，且满足 ， ，则椭圆 的离心率为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
16．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
（2）过点( ，- )，且与椭圆 有相同焦点.
17． 已知椭圆的左、右焦点分别为.
（1）若点M在椭圆上，点，求椭圆的标准方程；
（2）已知点P在椭圆上且，，求椭圆的离心率.
18．已知椭圆 内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值；
（3）求使得 的值最小时点M的坐标.
19．如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求曲线的方程；
（3）求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】把 化成标准形式为 ，得 ，则长轴长为4，短轴长 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据题意把椭圆的方程化为标准式，再由椭圆的性质即可求出a与b的值由此得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】因为焦点在y轴上，故，该椭圆的离心率是，
所以，显然满足，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置得出实数m的取值范围，再结合椭圆的离心率公式得出满足要求的实数m的值。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：当m>0，n>0，m=n时，方程mx2+ny2=1表示圆，不是充分条件，
当方程mx2+ny2=1表示椭圆，则m>0，n>0，是必要条件，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义，结合充分必要条件的判定求解即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又 ，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
故答案为：A．
【分析】首先整理直线的方程求出直线过的定点，再由已知条件把点的坐标代入计算出由此得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】可得椭圆 的长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，焦距为 ；
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ；
故两个椭圆的焦距相等.
故答案为：D.
【分析】利用椭圆的标准方程结合长轴长、短轴长的定义结合椭圆的离心率公式和焦距的定义，进而找出正确的选项。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 垂直于x轴， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以C的方程为 .
故答案为：C.
【分析】由椭圆的简单性质结合椭圆的定义，计算出a与c的值，然后由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值，由此即可得出椭圆的方程。
7．【答案】B
【解析】【解答】设点 、 ，由中点坐标公式可得 ，所以 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以， ，
因此，直线AB的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】首先设出点的坐标，由此即可求出中点的坐标，再由点差法求出直线的斜率，然后结合点斜式求出直线的方程即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】依题意，点B(0，b)，设P(x0，y0)，则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
9．【答案】A,C
【解析】【解答】当 时，焦点在x轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
当 时，焦点在y轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
综上m的值为 或3，
故答案为：AC．
【分析】利用分类讨论的方法确定焦点的位置，再利用焦点的位置结合离心率公式，从而求出满足要求的m的值。
10．【答案】B,C
【解析】【解答】圆 关于直线 对称的曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为 ，
由椭圆定义有 知，
由图知 ，
， ，椭圆方程为
故焦距 ，A不符合题意；
，D不符合题意；
设曲线 过点 的切线斜率为k，则切线方程为 ，
由圆心到切线方程的距离等于半径有 ，B符合题意；
设 ， ，
则 ，
又 都在椭圆上，即 ，C符合题意；
故答案为：BC.
【分析】 对于A：由椭圆的定义可知 ，进而得，解出c，即可判断A是否正确；
对于B：由圆心到切线方程的距离等于半径，解出k，即可判断B是否正确；
对于C：根据 ，又 都在椭圆上，得出 ，即可判断C是否正确；
对于D： ，即可判断D是否正确．
11．【答案】B,D
【解析】【解答】由题意 ， ， ， ， ，短轴一个顶点 ，
，A不符合题意；
设 ，则 ， ，
所以 ，B符合题意；
因为 ，所以 ，从而 ，而 是椭圆上任一点时，当 是短轴端点时 最大，因此不存在点 满足 ，C不符合题意；
， ， ，则 ， ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 根据题意椭圆的定义即可判断出选项A错误，根据题意设出点P的坐标再由斜率的坐标公式整理得出结果由此判断出选项B正确，求出当P是短轴端点时的由此即可判断出选项C错误，由三角形的面积公式求出点P的坐标由此即可判断出选项D正确，从而得出答案。
12．【答案】
【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ．
故答案为： ．
【分析】根据椭圆的定义整理即可求出a的值，结合椭圆里a、b、c的关系即可计算出b的值由此得到椭圆的方程。
13．【答案】
【解析】【解答】由，且，
在中，∠
.
故答案为：
【分析】先利用定义求出，再求出，即可求出的面积.
14．【答案】
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】设 ，因为 ，再利用共线定理，所以 ，又因为 ，再利用勾股定理，所以 ，再利用勾股定理得出 ，再结合椭圆的定义得出 ，所以 ，又因为 ，所以 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率。
15．【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
16．【答案】（1）若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0)，
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴ ，得到a=3，∴b=1，所以 ；
若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0)
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴ ，得到b=3，∴a=9，∴ ，
所以椭圆的标准方程为. 或 .
（2）椭圆 的焦点为(0， 4)，
设该椭圆方程为 (a>b>0)，因此 ①
∵椭圆过( ，- )， (a>b>0) ②，联立①②式，解得a2=20，b2=4.
因此该椭圆方程为 .
【解析】【分析】（1）利用椭圆长轴是短轴的3倍结合长轴和短轴的定义，从而求出a，b的关系式，再利用椭圆经过点A(3，0)结合代入法求出a，b的关系式，再解方程组求出a，b的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 利用椭圆过点( ，- )结合代入法求出a，b的关系式，再利用所求椭圆与椭圆 有相同焦点，在咯有已知椭圆求出焦点坐标，进而求出所求椭圆的焦点坐标，进而求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程。
17．【答案】（1）解：因为点可得又点 点M在椭圆上 ，则，即，又在椭圆中：可解得：所以椭圆的方程为：.
（2）解：在焦点中，则根据同角三角函数的关系可得：
，
由正弦定理得：，即.
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、余弦定理和正弦定理得综合运用.
（1）根据已知条件及椭圆的定义求得a、b值，进而求得椭圆的标准方程；
（2）根据同角三角函数的关系及正弦和差公式求得：然后再运用正弦定理即可求解.
18．【答案】（1）解： ，所以 ，即
当点 三点不共线时， ，如图当 三点共线时，
，即 ，所以 的最大值是 ，
（2）解：设椭圆的左焦点 ，根据椭圆定义可知 ，
即 ，如图，当 三点共线时，等号成立，
，所以 的最大值是 .
（3）解：椭圆的右准线 ，设椭圆上的点 到右准线的距离为 ，因为 ，所以 ， ，如图， 的最小值是点 到直线 的距离，即
所以 的最小值是 ，此时点 的纵坐标是1，代入椭圆方程可得 ，所以 的值最小时点M的坐标
【解析】【分析】（1）利用数形结合，根据三点共线分析 的最大值；（2）利用椭圆的定义转化 ，求 的最小值；（3）利用椭圆的第二定义，转化 ，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点 的坐标.
19．【答案】（1）解：，椭圆上的点到其焦点的最短距离为.
因此，.
由可知椭圆的标准方程为.
（2）解：当直线，斜率存在且不为0时，设其斜率分别为，，
设点，则，.
将直线：代入，
消去，化简得.
.
同理.
，为关于的方程的两个根，
因此（*）.
当直线，有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，
即，时，，与椭圆相切，满足（*）式.
综上所述，曲线的方程为.
（3）解：由（2）知，设点，则满足，有.
将直线：代入，
消去，化简得.
，可得.
进一步得到.
又由，，
.
.
同理可得.
，
而，
，当且仅当时取号.
综上所述，的最大值为.
【解析】【分析】(1)根据椭圆离心率与椭圆上的点到其焦点的最短距离为a-c，可得a和c，再求b，即可求得椭圆的标准方程.
(2)设过曲线C2的点的直线方程，由斜率关系得到曲线C2的标准方程.
(3)设点，同时联立直线与椭圆得到关于M、N的坐标表达式，通过面积公式消去一个未知量，再利用基本不等求出面积的最大值.
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