2016年人教新版九年级数学上册同步试卷：24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（1）（解析版）

2016年人教新版九年级数学上册同步试卷：24.2
点和圆、直线和圆的位置关系（1）
一、选择题（共12小题）
1．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．65°
D．75°
2．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（　　）
A．18πcm
B．16πcm
C．20πcm
D．24πcm
3．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（　　）
A．5
B．6
C．
D．
4．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（　　）
A．4
B．
C．6
D．
5．如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）
A．50°
B．40°
C．60°
D．70°
6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（4，）
7．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．S1＞S2+S3
B．△AOM∽△DMN
C．∠MBN=45°
D．MN=AM+CN
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　）
A．2.5
B．1.6
C．1.5
D．1
9．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．BC＜AC
B．BC＞AC
C．AB＜AC
D．AB＞AC
12．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
　
二、填空题（共11小题）
13．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC=7，AB=4，则sinC的值为　　　　　　．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=　　　　　　度．
15．如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　　　　　　．
17．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　　　　　　．
18．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　　　　　　．
19．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．
下列结论正确的是　　　　　　（写出所有正确结论的序号）
①△CPD∽△DPA；
②若∠A=30°，则PC=BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为　　　　　　．
21．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为　　　　　　（不取近似值）．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=　　　　　　．
23．一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　　　　　　m．
　
三、解答题（共7小题）
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
25．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
27．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
28．如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
29．
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD=　　　　　　°，理由是　　　　　　；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．
30．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．
　
2016年人教新版九年级数学上册同步试卷：24.2
点和圆、直线和圆的位置关系（1）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题）
1．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．65°
D．75°
【考点】切线的性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据切线的性质可判断∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，
∴∠O=50°，
∵OB=OC（都是半径），
∴∠OCB=（180°﹣∠O）=65°．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出∠OBA为直角，△OBC是等腰三角形，难度一般．
　
2．
如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（　　）
A．18πcm
B．16πcm
C．20πcm
D．24πcm
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】如图，连接OA，根据切线的性质证得△AOP是直角三角形，由勾股定理求得OA的长度，然后利用圆的周长公式来求⊙O的周长．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．
又∵PO=26cm，PA=24cm，
∴根据勾股定理，得
OA===10cm，
∴⊙O的周长为：2π OA=2π×10=20π（cm）．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
　
3．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（　　）
A．5
B．6
C．
D．
【考点】切线的性质；正方形的性质．
【分析】求出正方形ANOM，求出AM长和AD长，根据DE=DM求出即可．
【解答】解：
连接OM、ON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=11，∠A=90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，
∴四边形ANOM是正方形，
∴AM=OM=5，
∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，
∴AM=5，DM=DE，
∴DE=11﹣5=6，
故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM．
　
4．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（　　）
A．4
B．
C．6
D．
【考点】切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．
【解答】解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，
∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴BG=3，
则根据勾股定理得：FG=3．
故选：B
【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
　
5．如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）
A．50°
B．40°
C．60°
D．70°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，
∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，
又∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．
故选A．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
　
6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（4，）
【考点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合．
【分析】把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．
【解答】解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，
则函数的解析式是：y=，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y=得：x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
　
7．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．S1＞S2+S3
B．△AOM∽△DMN
C．∠MBN=45°
D．MN=AM+CN
【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOM∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN来证明C，D成立．
【解答】解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S梯形ONDA=（OA+DN） AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN=MP AM+MP MD=MP AD，
∵（OA+DN）=MP，
∴S△MNO=S梯形ONDA，
∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
　
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　）
A．2.5
B．1.6
C．1.5
D．1
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．
【解答】解：连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
又∵OD=OE，
∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴=，
∴=，
解得x=1.6，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．
　
9．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】切线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD=90°，再由圆周角定理求出∠COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，点C是切点，
∴∠OCD=90°．
∵∠BAC=25°，
∴∠COD=50°，
∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
　
10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．
【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴===，
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2﹣PB2=FB2
∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2
∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB===，
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
　
11．如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．BC＜AC
B．BC＞AC
C．AB＜AC
D．AB＞AC
【考点】切线的性质；三角形的重心．
【分析】G为△ABC的重心，则△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．
【解答】解：∵G为△ABC的重心，
∴△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，
又∵GHa=GHb＞GHc，
∴BC=AC＜AB．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键．
　
12．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【考点】切线的性质；平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到，也就有，可得△OAQ∽OPA，从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO，从而有∠CAP=∠OAQ，则有∠CAQ=∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得，所以A正确．
（2）由△OBP∽△OQB得，即，由AQ≠OP得，故C不正确．
（3）连接OR，易得=，
=2，得到，故B不正确．
（4）由及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得，由AB≠AP得，故D不正确．
【解答】解：（1）连接AQ，如图1，
∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴．
∵OA=OB，
∴．
又∵∠AOQ=∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴．
故A正确．
（2）如图1，
∵△OBP∽△OQB，
∴．
∴．
∵AQ≠OP，
∴．
故C不正确．
（3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ=AC．
∵OR=AB．
∴=，
=2．
∴≠．
∴．
故B不正确．
（4）如图2，
∵，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴．
∵AB≠AP，
∴．
故D不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度．
　
二、填空题（共11小题）
13．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC=7，AB=4，则sinC的值为　　．
【考点】切线的性质；锐角三角函数的定义．
【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC=90°，可得sin∠C=即可求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∵AC=7，AB=4，
∴半径OA=2，
则OC=AC﹣AO=7﹣2=5，
∴sinC==．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
　
14．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=　40　度．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．
【解答】解：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥DC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD=50°，
∴∠C=90°﹣50°=40°．
故答案为：40
【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
　
15．如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为　　．
【考点】切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】几何图形问题．
【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积=△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD，
又∵AB=AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∴∠FAD=∠B=45°，
∵的长为，
∴，
解得：r=2，
∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACE=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
　
16．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　12或4　．
【考点】切线的性质；矩形的性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=：2，
∴EG：EN=：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则，根据勾股定理得：
，解得：x=4，GE=，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+（8﹣r）2，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=AB，
∴AB=12．
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，
∴OH=AN=5，
∴AE=1．
又AE=AB，
∴AB=4．
故答案为：12或4．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
　
17．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　2　．
【考点】切线的性质；菱形的性质；圆锥的计算．
【分析】先连接CG，设CG=R，由勾股定理求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式l=，再由2π r=，求出底面半径r，则根据勾股定理即可求得圆锥的高．
【解答】解：如图：连接CG，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
∵AB与相切，
∴CG⊥AB，
在直角△CBG中，CG=BC sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3，
设圆锥底面的半径为r，则：2πr=，
∴r=1．
则圆锥的高是：
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式计算出弧长，然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径．
　
18．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　2　．
【考点】切线的性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，所以x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．
【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，
∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵PA=x，PB=y，半径为4，
∴=，
∴y=x2，
∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，
当x=4时，x﹣y有最大值是2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
　
19．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．
下列结论正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）
①△CPD∽△DPA；
②若∠A=30°，则PC=BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
【考点】切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】①只有一组对应边相等，所以错误；
②根据切线的性质可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB=OC=BC；
③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，进而求得PB=BC=OB；
④连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．
【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA错误；
②连接OC，
∵AB是直径，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切线，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°==，
∴PC=BC，正确；
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB；正确；
④解：如图，连接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；正确；
故答案为：②③④；
【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形．
　
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为　a　．
【考点】切线的性质；切割线定理；相似三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，
∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割线定理可得BF2=BH BG，
∴a2=BH（BH+a），
∴BH=a或BH=a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴=，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．
故答案为：
a．
【点评】考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．
　
21．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为　﹣π　（不取近似值）．
【考点】切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OE，根据∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，可得出AB与BD，可证明△OBE为等边三角形，即可得出∠C=30°．阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积﹣三角形ABD的面积﹣三角形OBE的面积﹣扇形ODE的面积．
【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．
∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，
∴BD=2，
∴AB=3，
∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，
∴OF=，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=30°，
∴BC=4，
S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE
=﹣﹣﹣
=﹣﹣﹣π
=﹣π．
故答案为：﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式．
　
22．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=　　．
【考点】切线的性质．
【专题】计算题．
【分析】连接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度数求出∠BCO的度数，利用外角性质求出∠AOC度数，利用切线长定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出∠AOM为30°，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长．
【解答】解：连接OM，OC，
∵OB=OC，且∠ABC=30°，
∴∠BCO=∠ABC=30°，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为圆O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°=，即=，
解得：AM=．
故答案为：．
【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
　
23．一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　（4﹣2）　m．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，证得四边形BKOH是正方形，然后证得OB经过点P，根据勾股定理求得OB的长，因为半径OP=1，所以BP=2﹣1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中点，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【解答】解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，
∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OK⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，
∴四边形BKOH是矩形，
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，
∴OK=OH=2，
∴矩形BKOH是正方形，
∴∠BOK=∠BOH=45°，
∵P是的中点，
∴OB经过P点，
在正方形BKOH中，边长=2，
∴OB=2，
∵OP=1，
∴BP=2﹣1，
∵p是MN与⊙O的切点，
∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BKOH的对角线，
∴∠OBK=∠OBH=45°，
在△BPM与△BPN中
∴△BPM≌△BPN（ASA）
∴MP=NP，
∴MN=2BP，
∵BP=2﹣1，
∴MN=2（2﹣1）=4﹣2，
故答案为：4﹣2
【点评】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，O、P、B三点共线是本题的关键．
　
三、解答题（共7小题）
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，
（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°，
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴=，
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴=，
∴BC2=12，
∴BC=2，
∴AC==2，
∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．
　
25．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
【考点】切线的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）解法1：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，
∴△CDE∽△DAE，
∴，
设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，
∴，整理得：x2﹣3x+1=0，
解得：x=，
∴tan∠ACB=或．
（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）
解法2：连OD，过点O作AC的垂线，垂足为F，
∴OF2+AF2=OA2，
∵AC=AF+FE+CE，且AC=AB=3DE，OB=OD=EF，
∴，
∴=或，
∴tan∠ACB=或．
【点评】本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．
　
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
【考点】切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）可得∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．
（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，．
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6
（k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．
【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
27．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；
（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）；
（2）解：∵BE是切线，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DBE=37°，
∴∠ABD=53°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，
∴∠ADC的度数为37°．
【点评】本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．
　
28．如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cos∠ACB=推知sin∠ACB=，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度．
【解答】（1）证明：连AD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为AC的中点；
（2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB=，
设AC=2x，BC=3x，
根据勾股定理，得AB==（3x）2﹣（2x）2=x，
∴sin∠ACB=．
连接AD，则∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC sin∠ACB=6×=．
在Rt△ADF中，DF=AD sin∠DAF=AD sin∠ACB=×=，
∴DG=2DF=．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
　
29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD=　90　°，理由是　圆的切线垂直于经过切点的半径　；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据切线的性质定理，即可解答；
（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求的CD长度，由勾股定理可求得OD长度．
【解答】解：（1）∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）连接BC．
∵BD∥AC，
∴∠ACB=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，
BC===2，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，
即∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ACB，
∴△ABC∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：CD=3．
由勾股定理可知，OD===3
【点评】本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．
　
30．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；
（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据Rt△BOF∽Rt△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BO⊥CO．
（2）解：连接OF，则OF⊥BC，
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴=，
∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm，
∴BC==10cm，
∴=，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．
∴CG=CF=6.4cm．
【点评】本题主要考查了切线长定理、勾股定理、相似三角形的综合运用，正确理解切线长定理是解决本题的关键所在，虽然涉及的考点较多，但难度一般．