鲁教版（五四制）数学七年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1.1-4.2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2025七上·东营期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（华师大版数学八年级上册第13章第四节13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七上·东营期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七上·宁海期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2023七上·威海临港经济技术开发期末）如图，数轴上点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·桓台期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
8．（2024七上·越城期末）如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2025七下·东莞期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
10．（2024七上·宁阳期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为( )
A． B． C． D．3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024七上·杭州期中）若整数满足条件，则的值是 ．
12．（2025七上·东营期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
13．如图所示的是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，则点C到AB的距离为 cm.
14．（2025七上·东营期末）已知，则的平方根是 ．
15．（2024八上·宝安期中）如图，在Rt中，，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持，连接AQ，CP，则的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分.
16．（2024七上·温州期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
整数： ；
分数： ；
负数： ；
无理数： ．
17．（2023八上·平潭期中）如图，，，求证：．
18．（2023七上·宁阳期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
19．（2024八上·瓯海期末）如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由．
20．（2024七上·西湖期中）如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形．
（1）求出图1中正方形的面积及其边长；
（2）如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动：
①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m；
②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n．
试求m，n的值并比较m与n的大小．
21．（2024七上·岱岳期末）如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
22．（2024八上·东阳期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）已知中，，，，求的面积．
23．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则 （填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，若一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此作答，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：(1)．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
(2)．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
．
，分别是和的平分线，
．
，
．
故选：C．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，由三角形的内角和定理，求得，再由BD，CD分别是和的平分线，求得，利用三角形的内角和，即可求得的度数，的答案.
5．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数有，，共2个，
故选：D
【分析】
无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包括开不尽方的数、与有理数的和差倍积及有一定规律但仍无限不循环的小数．
6．【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故答案为：C．
【分析】设水深为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理解题即可．
9．【答案】B
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：设正方形边长为，
由正方形的面积为8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的边长在2与3之间，故B正确．
故答案为：B．
【分析】设正方形边长为，先利用正方形的面积求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在Rt△OA1A2中，由由勾股定理可得，
同理可得 ，
……
则，
∴．
故答案为：C．
【分析】由，根据勾股定理得到以及，即可找到的规律，继而可计算出OA8的长．
11．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，而整数满足条件，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法，可得到，，据此可得到a的取值范围.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【分析】由点是的垂直平分线与的交点，得到，求得，再由三角形外角的性质和三角形内角和定理，求得，，结合翻折的性质，求得，进而求得的度数，得到答案．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，过C作CD⊥AB于点D，如图所示，
∵AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵△ABC的面积=AC·BC=AB·CD，即24×18=30·CD，
解得CD=cm，即点C到AB的距离为cm.
故答案为：.
【分析】连接AB，过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，根据等面积法结合三角形的面积公式建立方程可求出CD的长，从而得到答案.
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及平方根的计算，先根据算术平方根的非负性，得到，求得，再将其代入代数式计算，进而得到的平方根，得出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接AM，QM，
∴∠QBM＋∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PAC＋∠ABC＝90°，
∴∠QBM＝∠PAC，
∵BM＝AC，AP＝BQ，
∴△QBM≌△PAC（SAS），
∴MQ＝CP，
∴AQ＋CP＝AQ＋MQ，
在△AQM中，AQ＋MQ＞AM，
当点A、Q、M三点共线时，AQ＋MQ＝AM，
∴AQ＋MQ≥AM，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝
=
＝5，
∵BM＝AC＝3，∠ABM＝90°，
∴AM＝
=
=
∴AQ＋CP≥，
即AQ＋CP的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点B作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接AM，QM，先利用“SAS”证出△QBM≌△PAC，可得MQ＝CP，再利用三角形三边的关系可得AQ＋MQ＞AM，再证出当点A、Q、M三点共线时，AQ＋MQ＝AM，利用勾股定理求出AB和AM的长，再求出AQ＋CP≥，即可得到AQ＋CP的最小值为．
16．【答案】；；；
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：整数有；分数有；负数有；无理数有；
故答案为：；；；．
【分析】根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可.
17．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】直接利用全等三角形判定定理”“证明，由全等三角形对应角相等的性质即可得证结论.
18．【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形
答：是直角三角形.
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题围绕三角形的性质展开，着重考查勾股定理逆定理以及三角形面积公式的应用.
(1)判断的形状，需要运用勾股定理逆定理，通过验证三边是否满足来确定是否为直角三角形；
(2)求修建的公路CD的长，利用三角形面积公式，结合的条件，通过面积的两种不同表示方法列出等式，进而求解CD的长度.
（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
19．【答案】解：∵在同一直线上，，，
∴可添加条件：，理由如下：
在和中，
，
∴（SAS），
故答案为：．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据，两个条件，可以根据SAS证明两三角形全等，即添加夹角相等即可解题．
20．【答案】（1）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴A、B、C、D为各边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
（2）解：①由数轴及（1）可得：，
②，
∵，
∴，
∴．
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）需要先求出每一个小三角形的面积，再求出小正方形面积，根据正方形边长与面积之间的关系求边长。
（2）根据数轴上点的位置表示出数值，然后再根据往右方向移动2个单位得到n，再比较大小。
（1）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴A、B、C、D为各边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
（2）解：①由数轴及（1）可得：，
②，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
∵AD＝2，BC＝6，
∴AB＝8．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，得到∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠EBC＝∠F，求得∠ABF＝∠F，再利用“角角边”即可证得△ABE和△AFE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等，得到BE＝FE，利用“角边角”证得△BCE和△FDE全等，结合全等三角形对应边相等，证得BC＝DF，利用AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，化简整理，即可得证．
22．【答案】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】本题综合考查勾股定理的证明方法及其在实际问题中的应用。
（1）通过两种不同方式表示同一梯形面积，推导出各边长的关系，从而完成勾股定理的证明；
（2）合理设未知数表示等腰三角形的腰长，在直角三角形中依据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）通过作垂线构造直角三角形，分别在两个直角三角形中运用勾股定理，勾股方程求出高度，再次利用勾股定理，面积公式即可求出答案。
（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米；
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
．
23．【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
1 / 1鲁教版（五四制）数学七年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1.1-4.2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2025七上·东营期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，若一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此作答，即可求解．
2．（华师大版数学八年级上册第13章第四节13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：(1)．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
(2)．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
3．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
4．（2025七上·东营期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
．
，分别是和的平分线，
．
，
．
故选：C．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，由三角形的内角和定理，求得，再由BD，CD分别是和的平分线，求得，利用三角形的内角和，即可求得的度数，的答案.
5．（2025七上·宁海期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数有，，共2个，
故选：D
【分析】
无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包括开不尽方的数、与有理数的和差倍积及有一定规律但仍无限不循环的小数．
6．（2023七上·威海临港经济技术开发期末）如图，数轴上点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
7．（2024七上·桓台期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故答案为：C．
【分析】设水深为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024七上·越城期末）如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理解题即可．
9．（2025七下·东莞期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：设正方形边长为，
由正方形的面积为8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的边长在2与3之间，故B正确．
故答案为：B．
【分析】设正方形边长为，先利用正方形的面积求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
10．（2024七上·宁阳期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为( )
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在Rt△OA1A2中，由由勾股定理可得，
同理可得 ，
……
则，
∴．
故答案为：C．
【分析】由，根据勾股定理得到以及，即可找到的规律，继而可计算出OA8的长．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024七上·杭州期中）若整数满足条件，则的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，而整数满足条件，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法，可得到，，据此可得到a的取值范围.
12．（2025七上·东营期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【分析】由点是的垂直平分线与的交点，得到，求得，再由三角形外角的性质和三角形内角和定理，求得，，结合翻折的性质，求得，进而求得的度数，得到答案．
13．如图所示的是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，则点C到AB的距离为 cm.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，过C作CD⊥AB于点D，如图所示，
∵AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵△ABC的面积=AC·BC=AB·CD，即24×18=30·CD，
解得CD=cm，即点C到AB的距离为cm.
故答案为：.
【分析】连接AB，过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，根据等面积法结合三角形的面积公式建立方程可求出CD的长，从而得到答案.
14．（2025七上·东营期末）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及平方根的计算，先根据算术平方根的非负性，得到，求得，再将其代入代数式计算，进而得到的平方根，得出答案.
15．（2024八上·宝安期中）如图，在Rt中，，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持，连接AQ，CP，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接AM，QM，
∴∠QBM＋∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PAC＋∠ABC＝90°，
∴∠QBM＝∠PAC，
∵BM＝AC，AP＝BQ，
∴△QBM≌△PAC（SAS），
∴MQ＝CP，
∴AQ＋CP＝AQ＋MQ，
在△AQM中，AQ＋MQ＞AM，
当点A、Q、M三点共线时，AQ＋MQ＝AM，
∴AQ＋MQ≥AM，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝
=
＝5，
∵BM＝AC＝3，∠ABM＝90°，
∴AM＝
=
=
∴AQ＋CP≥，
即AQ＋CP的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点B作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接AM，QM，先利用“SAS”证出△QBM≌△PAC，可得MQ＝CP，再利用三角形三边的关系可得AQ＋MQ＞AM，再证出当点A、Q、M三点共线时，AQ＋MQ＝AM，利用勾股定理求出AB和AM的长，再求出AQ＋CP≥，即可得到AQ＋CP的最小值为．
三、解答题：本题共8小题，共75分.
16．（2024七上·温州期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
整数： ；
分数： ；
负数： ；
无理数： ．
【答案】；；；
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：整数有；分数有；负数有；无理数有；
故答案为：；；；．
【分析】根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可.
17．（2023八上·平潭期中）如图，，，求证：．
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】直接利用全等三角形判定定理”“证明，由全等三角形对应角相等的性质即可得证结论.
18．（2023七上·宁阳期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形
答：是直角三角形.
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题围绕三角形的性质展开，着重考查勾股定理逆定理以及三角形面积公式的应用.
(1)判断的形状，需要运用勾股定理逆定理，通过验证三边是否满足来确定是否为直角三角形；
(2)求修建的公路CD的长，利用三角形面积公式，结合的条件，通过面积的两种不同表示方法列出等式，进而求解CD的长度.
（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
19．（2024八上·瓯海期末）如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由．
【答案】解：∵在同一直线上，，，
∴可添加条件：，理由如下：
在和中，
，
∴（SAS），
故答案为：．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据，两个条件，可以根据SAS证明两三角形全等，即添加夹角相等即可解题．
20．（2024七上·西湖期中）如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形．
（1）求出图1中正方形的面积及其边长；
（2）如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动：
①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m；
②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n．
试求m，n的值并比较m与n的大小．
【答案】（1）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴A、B、C、D为各边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
（2）解：①由数轴及（1）可得：，
②，
∵，
∴，
∴．
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）需要先求出每一个小三角形的面积，再求出小正方形面积，根据正方形边长与面积之间的关系求边长。
（2）根据数轴上点的位置表示出数值，然后再根据往右方向移动2个单位得到n，再比较大小。
（1）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴A、B、C、D为各边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
（2）解：①由数轴及（1）可得：，
②，
∵，
∴，
∴．
21．（2024七上·岱岳期末）如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．
【答案】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
∵AD＝2，BC＝6，
∴AB＝8．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，得到∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠EBC＝∠F，求得∠ABF＝∠F，再利用“角角边”即可证得△ABE和△AFE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等，得到BE＝FE，利用“角边角”证得△BCE和△FDE全等，结合全等三角形对应边相等，证得BC＝DF，利用AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，化简整理，即可得证．
22．（2024八上·东阳期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）已知中，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】本题综合考查勾股定理的证明方法及其在实际问题中的应用。
（1）通过两种不同方式表示同一梯形面积，推导出各边长的关系，从而完成勾股定理的证明；
（2）合理设未知数表示等腰三角形的腰长，在直角三角形中依据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）通过作垂线构造直角三角形，分别在两个直角三角形中运用勾股定理，勾股方程求出高度，再次利用勾股定理，面积公式即可求出答案。
（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米；
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
．
23．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则 （填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
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