1.2 直线的方程 习题课 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

1．2 　直线的方程 习题课
一、 单项选择题
1 过点(2，1)，且斜率k＝－2的直线方程为(　　)
A. x－1＝－2(y－2)
B. 2x＋y－1＝0
C. y－2＝－2(x－1)
D. 2x＋y－5＝0
2 (2024如东中学月考)若直线经过点A(1，－3)，且倾斜角为直线x＋y－6＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为(　　)
A. x＋y＋2＝0 B. x－y＋4＝0
C. x＋y－2＝0 D. x－y－4＝0
3 (2025启东一中月考)已知直线(a＋2)x－y＋2a－3＝0在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则实数a的值为(　　)
A. B. － C. 或－ D. －
4 已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　)
A. B.
C. D.
5 过点P(－1，－2)的直线l可表示为m(x＋1)＋n(y＋2)＝0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
6 (2024南通中学月考)已知直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)过点P(1，4)，当a＋b取得最小值时，直线l的方程为(　　)
A. x＋y－5＝0 B. 4x＋y－8＝0
C. 2x＋y－6＝0 D. x＋2y－9＝0
二、 多项选择题
7 (2024常熟中学期中)已知直线l：2x－3y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l不过原点
B. 直线l在x轴上的截距为
C. 直线l的斜率为
D. 直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
8 (2024上饶鄱阳二中月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第三象限
B. 直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C. 过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3
三、 填空题
9 (2024白蒲高级中学月考)直线l：x－y＋2＝0与y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转15°得到直线m，则直线m的一般式方程为________．
10 (2025上海嘉定期中)设a∈R，若直线l：ax＋y＋a－1＝0不经过平面直角坐标系的第一象限，则实数a的取值范围为________．
11 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l经过点(2，0)，则实数a的值为________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数a的值为________．
四、 解答题
12 (2024衡阳一中期中)
(1) 求过点A(0，－2)，斜率是直线y＝－6x－1的斜率的的直线方程；
(2) 求过点A(－1，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程．
13 已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y＋a－7＝0，a∈R.
(1) 证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；
(2) 当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程．
1．2.4　直线的方程习题课
1. D　根据直线的点斜式方程可得y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2. D　易知直线x＋y－6＝0的斜率k＝－，设其倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则k＝tan θ＝－，所以θ＝，所以所求直线的倾斜角为，则其斜率为tan ＝，所以过点A(1，－3)的直线方程为y＋3＝(x－1)，即x－y－4＝0.
3. C　由题意，得直线(a＋2)x－y＋2a－3＝0的斜率存在且不为0，则a≠－2，令x＝0，得y＝2a－3；令y＝0，得x＝－，即直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2a－3. 当直线l过原点时，符合题意，此时2a－3＝0，解得a＝；当直线不过原点时，＝2×(2a－3)，解得a＝－. 综上，实数a的值为－或.
4. D　由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0.令解得所以该直线必过定点.
5. D　m(x＋1)＋n(y＋2)＝0可化为mx＋ny＋m＋2n＝0①，要使直线l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0，且m＋2n≠0.在①中，令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则×|(－)×(－)|＝×|×|＝×＝×＝6，所以＋＋4＝12或＋＋4＝－12，所以＋＝8或＋＝－16.设t＝，则t＋＝8或t＋＝－16，即t2－8t＋4＝0或t2＋16t＋4＝0，解得t＝4±2或t＝－8±2，即＝4±2或＝－8±2，所以这样的直线有4条．
6. C　由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝3，b＝6时，等号成立，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
7. ACD　令x＝0，得y＝，所以直线l不过原点，故A正确；令y＝0，得x＝－，所以直线l在x轴上的截距为－，故B错误；将2x－3y＋1＝0化为斜截式，得y＝x＋，所以直线l的斜率为，故C正确；将2x－3y＋1＝0化为截距式，得＋＝1，所以直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝，故D正确．故选ACD.
8. BC　因为直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，在y轴上的截距b＞0，所以点(k，b)在第二象限，故A错误；由y＝ax－3a＋2，可得y－2＝a(x－3)，所以无论a取何值，(3，2)都满足方程，故B正确；由点斜式方程可知，过点(2，－1)且斜率为－的直线的方程为y＋1＝－(x－2)，故C正确；由斜截式方程可知，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x＋3，故D错误．故选BC.
9. x－y＋2＝0　对于x－y＋2＝0，令x＝0，解得y＝2，则A(0，2).又直线l的斜率为，则倾斜角为60°，所以直线m的倾斜角为45°，所以直线m的斜率为tan 45°＝1，所以直线m的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
10. [1，＋∞)　由ax＋y＋a－1＝0，得y＝－ax－(a－1)，因为直线l不经过平面直角坐标系的第一象限，所以解得a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).
11. 　1或2　因为直线l：ax＋y－2＋a＝0经过点(2，0)，所以2a＋0－2＋a＝0，解得a＝.因为直线l在两坐标轴上的截距相等，当直线l经过坐标原点时，截距都为0，此时－2＋a＝0，解得a＝2；当直线l不经过坐标原点时，方程可化为＋＝1(a≠2)，所以＝2－a，解得a＝1.综上，实数a的值为1或2.
12. (1) 由题意，得所求直线的斜率k＝－6×＝－，
利用斜截式，可得所求直线的方程为y＝－x－2，即3x＋2y＋4＝0.
(2) 当直线经过原点时，所求直线的方程为y＝－3x，即3x＋y＝0，满足题意；
当直线不经过原点时，截距不为0，
设所求直线的方程为＋＝1，
将点A(－1，3)代入，得＋＝1，解得a＝2，
故所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
综上，所求直线的方程为3x＋y＝0或x＋y－2＝0.
13. (1) 方程(a＋2)x＋(1－a)y＋a－7＝0可变形为a(x－y＋1)＋2x＋y－7＝0.
由解得
显然对任意实数a，当x＝2，y＝3时，方程恒成立，
所以直线l恒过定点P(2，3).
(2) 由(1)知直线l过点P(2，3)，
当截距为0时，则直线l过原点，直线l的方程为y＝x；
当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5，
所以直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y－5＝0.