1.2.2 直线的两点式方程 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

1．2.2　直线的两点式方程
一、 单项选择题
1 (2024海安中学月考)已知直线l经过点(－3，－2)，(1，2)，则下列点中不在直线l上的是(　　)
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (2，1)
2 (2024阜宁中学期中)已知点A(－2，4)，B(4，－1)，则直线AB在y轴上的截距为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024南开大学附属中学月考)若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则实数a，b满足(　　)
A. a<0，b<0 B. a<0，b>0
C. a>0，b>0 D. a>0，b<0
4 (2024烟台三校联考)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线的方程为(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＝0或x－y＋1＝0
D. 2x＋y＝0或x＋y＋1＝0
5 (2024常州联盟学校期中)过点P(2，1)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当△AOB的面积最小时，直线l的方程为(　　)
A. x＋2y－4＝0
B. 2x＋y－5＝0
C. x＋3y－5＝0
D. 3x＋y－7＝0
6 已知直线＋＝1经过第一、二、 三象限，且斜率小于1，则下列不等式中正确的是(　　)
A. |a|<|b|
B. <
C. (b－a)(b＋a)>0
D. <
二、 多项选择题
7 下列说法中，不正确的有(　　)
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程是＝
C. 经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是3
8 过点P(2，1)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为(　　)
A. x＋y－3＝0
B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0
D. x－2y＝0
三、 填空题
9 经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为________．
10 (2024雅安中学开学考试) 若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________．
11 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为________；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 求下列直线l的方程：
(1) 直线l的倾斜角是，直线l在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l在x轴，y轴上的截距分别是－2，4；
(3) 直线l经过点A(2，1)，B(1，－2).
13 (2024南通中学月考) 若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
1．2.2　直线的两点式方程
1. D　由题意，得直线l的方程为＝，即x－y＋1＝0，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点(－2，－1)，(－1，0)，(0，1)都在直线l上，点(2，1)不在直线l上．
2. B　由题意，得直线AB的方程为＝，化简，得5x＋6y－14＝0，令x＝0，解得y＝.
3. D　如图，直线＋＝1经过第一、三、四象限．由图知，a＞0，b＜0.
4. C　当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，2)，所以直线的斜率为＝2，可得该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1.因为点A(1，2)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以该直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5. A　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1≥2＝2，即≥2，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立，此时△AOB的面积最小为Smin＝ab＝4，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
6. D　因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，所以直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0.因为直线的斜率小于1，所以0<－<1.又a<0，所以a<0|b|，故A错误；对于B，由幂函数的单调性可知>，故B错误；对于C，由不等式的性质，得b－a>0，b＋a<0，则(b－a)(b＋a)<0，故C错误；对于D，因为<0，>0，所以<，故D正确．
7. ABD　对于A，当倾斜角为60°时，斜率为，当倾斜角为120°时，斜率为－，故A错误；对于B，当 x1＝x2或y1＝y2时，不适用＝，故B错误；对于C，当直线过原点时，直线方程为y＝x，当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，则 ＋＝1，解得a＝2，所以直线方程为＋＝1.综上，经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，直线－＝1，即＋＝1，故直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D错误．故选ABD.
8. ACD　当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为＋＝1.由题意，得所以或解得或所以直线方程为 x＋y－3＝0或x－y－1＝0，故AC正确；当直线的截距为0时，设直线的方程为y＝kx，由题意，得k＝，故直线方程为x－2y＝0，故D正确．故选ACD.
9. y＝2　由M，N两点的坐标可知，直线MN与 x轴平行，所以直线的方程为y＝2.
10. ＋y＝1或＋＝1　设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)，则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)，则直线l的方程为＋＝1，代入点A(6，－2)，得－＝1，即a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1，所以直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.
11. －1或－　　当k＝0时，y＝1，不符合直线l在两坐标轴上的截距相等，舍去；当k≠0时，令x＝0，则y＝2k＋1，令 y＝0，则x＝－2－.由题意，得－2－＝2k＋1，解得k＝－1或k＝－.因为直线l：kx－y＋1＋2k＝0，所以y＝kx＋1＋2k.因为直线l不经过第三象限，所以k≤0且1＋2k≥0，解得－≤k≤0，故实数k的取值范围是.
12. (1) 因为直线l在x轴上的截距是－3，
所以直线l经过点A(－3，0).
又直线l的斜率k＝tan ＝－，
所以由点斜式可得直线l的方程为y＝－(x＋3).
(2) 因为直线l在y轴上的截距为4，
所以可设直线l的方程为y＝kx＋4(k是常数).
又直线l在x轴上的截距为－2，
所以直线l经过点(－2，0)，
所以－2k＋4＝0，解得k＝2，
所以直线l的方程为y＝2x＋4.
(3) 将点A，B的坐标代入直线的两点式方程，
得＝，
即y＝3x－5.
13. 因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
因为|a|·|a|＝18，解得a＝±6.
所以直线l的方程为x＋y±6＝0.
若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0.
因为|－a|·|a|＝18，解得a＝±6，
所以直线l的方程为x－y±6＝0.
综上，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.