1．4　两条直线的交点 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

1．4　两条直线的交点
一、 单项选择题
1 (2024姜堰中学月考)经过点A(－2，5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　　)
A. B. (－3，0)
C. D. (3，0)
2 (2024东台中学月考)直线l1：2x＋y－3＝0与l2：x－y＋6＝0的交点坐标为(　　)
A. (－1，5) B. (1，1)
C. (－2，4) D. (2，－1)
3 (2024开滦一中月考)若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
4 (2024平遥部分高中月考)已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和直线l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为(　　)
A. x＋2y－1＝0 B. x＋2y＋1＝0
C. 2x＋y－1＝0 D. 2x＋y＋1＝0
5 (2024海安实验中学月考)已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上．若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　)
A. (－2，－3)
B. (2，1)
C. (2，3)
D. (－2，－1)
6 若直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线为l2，则直线l2的方程为(　　)
A. 2x＋y＋1＝0 B. x＋2y－1＝0
C. x＋y＝0 D. x－2y＋3＝0
二、 多项选择题
7 (2024厦门大学附属科技中学月考)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l1与直线l2的交点坐标是(0，－1)
B. 过直线l1与直线l2的交点，且与直线l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0
C. 直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D. 直线l1的倾斜角是锐角
8 (2024张家港沙洲中学月考)已知两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则实数m不能取到的值有(　　)
A. －3 B. －2
C. －1 D. 0
三、 填空题
9 (2024启东一中月考)已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________．
10 (2024南通一中月考)三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________．
11 已知△ABC的顶点A(4，－2)，边AB上的中线CF所在直线的方程为2x－y＋5＝0，若边AC上的高BE所在直线的方程为x－2y－5＝0，则点B的坐标为________．
四、 解答题
12 (2024锡山中学月考)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点．
(1) 若直线l的斜率为1，求直线l的方程；
(2) 若直线l与直线x－2y－1＝0垂直，求直线l的方程．
13 (2024苏州中学月考)已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.
(1) 求直线l1与l2的交点P的坐标；
(2) 求经过l1与l2的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(3) 若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能围成三角形，求实数a的值．
1．4　两条直线的交点
1. A　易得直线AB的方程为3x＋y＋1＝0，所以它与x轴的交点的坐标为.
2. A　联立解得故交点的坐标为(－1，5).
3. A　联立解得故两条直线的交点为.因为交点在第一象限，所以解得－4. B　由点A(1，2)在直线l1：ax＋by＋1＝0上可知，a＋2b＋1＝0.同理，由点A(1，2)在直线l2：cx＋dy＋1＝0上可知，c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0.因为两点确定一条直线，所以直线BC的方程为x＋2y＋1＝0.
5. C　设直线MN的方程为2x－y＋c＝0，代入点M(0，－1)，得1＋c＝0，解得c＝－1，所以直线MN的方程为2x－y－1＝0. 联立解得所以点N的坐标为(2，3).
6. D　联立解得即直线l1与l的交点为(－1，1).又点A(0，3)在直线l1上，设点A关于直线l的对称点为A1(a，b)，则解得即点A1(1，2)，故直线l2的斜率k＝＝，所以直线l2的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
7. BC　由3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0，得x＝－1，y＝4，则交点坐标为(－1，4)，故A错误；由所求直线与直线 3x＋y－1＝0垂直，得所求直线的斜率为.由点斜式，得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故B正确；如图，直线l1：3x＋y－1＝0与x轴相交于点M，直线l2：x＋2y－7＝0与x轴相交于点N(7，0)，直线l1与直线l2相交于点Q(－1，4)，所以直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积为S＝MN·|yQ|＝××4＝，故C正确；因为直线l1的斜率k1＝－3<0，所以直线l1的倾斜角是钝角，故D错误．故选BC.
8. ABD　由题意，得所给的两条直线与x轴所在直线，这三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点，所以m＋2≠0且m＋2≠－1且(m＋2)×0－0＋m≠0，所以m≠－2且m≠－3且m≠0.故选ABD.
9. (1，－5)　易得直线PM的方程为2x－y－7＝0，直线PN的方程为7x＋4y＋13＝0.联立解得故点P的坐标为(1，－5).
10. 3　由解得即三条直线交于点(4，－2)，代入ax＋2y－8＝0，得4a－4－8＝0，解得 a＝3.
11. (－15，－10)　设点B(m，n)，代入边AC上的高BE所在直线的方程，得m－2n－5＝0.因为AB的中点坐标为，代入直线CF的方程，得2×－＋5＝0，即2m－n＋20＝0，联立解得所以点B的坐标为(－15，－10).
12. 联立解得
所以两直线的交点坐标为(－2，2).
(1) 因为直线l的斜率为1且经过交点(－2，2)，
所以直线l的方程为y－2＝x＋2，即x－y＋4＝0.
(2) 设直线l的方程为2x＋y＋m＝0，
将点(－2，2)代入直线方程，解得m＝2，
所以直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
13. (1) 联立解得
所以点P的坐标为(－2，1).
(2) 设所求直线为l.
当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，
设直线l的方程为＋＝1，
则＋＝1，解得t＝－1，
所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y＋1＝0；
当直线l在两坐标轴上的截距为0时，
设直线l的方程为y＝kx，
则1＝k×(－2)，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(3) ①当l3与l1平行时，a×(－2)－2×1＝0，解得a＝－1，此时不能围成三角形；
②当l3与l2平行时，a×3－2×4＝0，解得a＝，此时不能围成三角形；
③当l3经过l1，l2的交点时，a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，此时不能围成三角形．
综上，实数a的值为－1或或－2.