1.5.2　点到直线的距离 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

1．5.2　点到直线的距离(1)
一、 单项选择题
1 (2024丹阳中学月考)点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离是(　　)
A. B. C. 1 D.
2 (2024通州高级中学月考)若原点到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则下列结论中正确的是(　　)
A. c2＝a2＋b2 B. a2＝b2＋c2
C. b2＝a2＋c2 D. c＝a＋b
3 已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则两直线之间的距离是(　　)
A. 4 B.
C. D.
4 (2024常州一中月考)“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024内江月考)当点P(－2，－1)到直线l：mx＋y－m－1＝0的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　)
A. ，3x＋2y－5＝0
B. ，3x＋2y－5＝0
C. ，2x－3y＋1＝0
D. ，2x－3y＋1＝0
6 (2024海门中学月考)经过点(1，3)且与原点距离为1的直线共有(　　)
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 3条
二、 多项选择题
7 (2024姜堰中学月考)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
8 (2024梁丰高级中学月考)已知点M(－1，1)，N(2，1)，且点P在直线l：x＋y＋2＝0上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 存在点P，使得PM⊥PN
B. 存在点P，使得2PM＝PN
C. PM＋PN的最小值为
D. 若P(a，b)，则a2＋b2的最小值为2
三、 填空题
9 (2023徐州铜山期中)已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m－2＝0与直线l2：2mx＋4y＋16＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为________．
10 直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．
11 (2024海门中学月考)已知直线l满足：原点到它的距离为，点(3，0)到它的距离为2，请写出满足条件的直线l的一个方程：________．
四、 解答题
12 (2024会宁四中期中)已知直线l1：3x－2y＋4＝0与直线l2：x－ay＋a－2＝0相交于点P，且点P在直线2x－y＋3＝0上．
(1) 求点P的坐标和实数a的值；
(2) 求与直线l2平行，且与点P的距离为的直线的方程．
13 (2024南京、镇江、徐州等十校联盟月考)已知点A(－1，1)，B(0，－1)，点C在直线l：x＋y－2＝0上．
(1) 若点C的横坐标为，求△ABC的面积；
(2) 若△ABC的周长最小，求点C的坐标及△ABC的周长．
1．5.2　点到直线的距离(2)
一、 单项选择题
1 (2024白蒲高级中学月考)已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则实数a的值为(　　)
A. B. 2－
C. －1 D. ＋1
2 直线x＋2y＋3＝0关于y轴对称的直线的方程是(　　)
A. x＋2y－3＝0
B. x－2y＋3＝0
C. x－2y－3＝0
D. 3x＋2y－1＝0
3 如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有(　　)
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无数个
4 若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为(　　)
A. 2x＋3y－12＝0
B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0
D. 2x＋3y＋12＝0
5 (2024天一中学月考)点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为(　　)
A. 2 B.
C. 4 D. 3
6 (2024苏州十中期中)已知直线l1：2x－y＝0与l2：x＋y－3＝0，过点P(3，2)的直线l被l1，l2截得的线段恰好被点P平分，则这三条直线l1，l2，l围成的三角形面积为(　　)
A. B. 2
C. 8 D.
二、 多项选择题
7 (2024嘉兴一中期末)已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(3，1)
B. 原点O到直线l距离的最大值为
C. 若点A(－1，0)，B(1，0)到直线l的距离相等，则m＝－
D. 若直线l经过第一、二、三象限，则－＜m＜－
8 已知直线l：x－2y＋8＝0和三点A(2，0)，B(－2，－4)，C(2，5)，过点C的直线l1与x轴，y轴的正半轴交于M，N两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若点P在直线l上，则PA＋PB的最小值为4
B. 直线l上一点P(12，10)使|PB－PA|最大
C. 当||·||最小时，直线l1的方程是x＋y－7＝0
D. 当||·||最小时，直线l1的方程是5x＋y－15＝0
三、 填空题
9 (2024南通中学月考)点(1，2)到直线3x＋4y－3＝0的距离为________．
10 已知直线l1过点A(3，0)，直线l2过点B(0，4)，且l1∥l2，用d表示l1与l2间的距离，则d的取值范围是________．
11 (2025南京一中月考)直线l1：3x－y－3＝0关于直线l2：x＋y－1＝0对称的直线的方程为________．
四、 解答题
12 (2024海南中学期末)已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.
(1) 求过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；
(2) 求与直线l平行，且到点P(3，0)的距离为的直线l2的方程．
13 已知直线l过点P(－2，0)，点Q(1，)到直线l的距离为2，直线l′与直线l关于点Q对称．
(1) 求直线l′的方程；
(2) 记原点为O，直线l′上有一动点M，求当OM＋MQ的值最小时点M的坐标．
1．5.2　点到直线的距离(1)
1. A　由题意，得点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
2. A　由题意，得＝1，整理，得c2＝a2＋b2.
3. D　因为3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
4. B　由点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，得＝3，解得c＝5或c＝－25，所以“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的充分且不必要条件．
5. A　由直线l：mx＋y－m－1＝0，得m(x－1)＋y－1＝0，由得所以直线l过定点A(1，1).当AP⊥l时，点P(－2，－1)到直线l：mx＋y－m－1＝0的距离最大，最大值为AP＝＝.又kAP＝＝，直线l的斜率为－m，所以×(－m)＝－1，解得m＝，所以直线l的方程为x＋y－－1＝0，整理，得3x＋2y－5＝0.
6. C　当直线的斜率不存在时，经过点(1，3)的直线的方程为x＝1，所以原点到直线的距离为1，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，所以原点到直线的距离d＝＝1，解得k＝，即直线方程为4x－3y＋5＝0.综上，满足题意的直线共有2条．
7. AB　因为A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，所以＝，即|2a＋3|＝|a＋6|，解得a＝3或a＝－3.故选AB.
8. BCD　对于A，设点P(a，－a－2)，当a＝－1时，P(－1，－1)，此时PM的斜率不存在，kPN＝≠0，PM与PN不垂直，同理当a＝2时，PM与PN不垂直．当a≠－1且a≠2时，kPM＝，kPN＝，若PM⊥PN，则kPM·kPN＝·＝－1，整理，得2a2＋5a＋7＝0，则Δ＝52－4×2×7＝－31<0，所以方程无解，则PM与PN不垂直，故A错误；对于B，设点P(a，－a－2)，若2PM＝PN，则2＝，整理，得2a2＋10a＋9＝0，则Δ＝102－4×2×9＝28>0，所以方程有解，即存在点P，使得2PM＝PN，故B正确；对于C，如图，设点M(－1，1)关于直线l的对称点为M′(m，n)，则解得即M′(－3，－1)，所以PM＋PN＝PM′＋PN≥M′N＝＝，当且仅当M′，P，N三点共线时取等号(点P在线段M′N上)，故C正确；对于D，因为a2＋b2＝a2＋(－a－2)2＝2a2＋4a＋4＝2(a＋1)2＋2≥2，当且仅当a＝－1时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为2，故D正确．故选BCD.
9. 　因为两直线平行，所以1×4－2m×(m＋1)＝0，解得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0，直线l2：x＋2y＋8＝0，则两条直线间的距离为＝.
10. (5，－3)　过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则M为该直线上到点P(2，1)距离最近的点，易得直线MP的方程为y－1＝－(x－2).联立解得所以所求点的坐标为(5，－3).
11. x－y＋1＝0(或x＋y＋1＝0)　当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝a，所以|a|＝，且|a－3|＝2，显然无解；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，则整理，得即(k－b)(3k＋5b)＝0，所以k－b＝0或3k＋5b＝0.由解得k＝b＝1或k＝b＝－1，而方程组无解．综上，k＝b＝1或k＝b＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
12. (1) 因为直线l1：3x－2y＋4＝0与直线l2：x－ay＋a－2＝0相交于点P，且点P在直线2x－y＋3＝0上．
联立解得
所以点P的坐标为(－2，－1).
将点P的坐标(－2，－1)代入直线l2：x－ay＋a－2＝0中，解得a＝2.
(2) 由(1)知直线l2：x－2y＝0，
设所求直线的方程为x－2y＋c＝0，
则＝，解得c＝5或c＝－5，
故所求直线的方程为x－2y＋5＝0或x－2y－5＝0.
13. (1) 将x＝代入x＋y－2＝0，
解得y＝，即C，
由点A(－1，1)，B(0，－1)，得kAB＝＝－2，
所以直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，
则点C到直线AB的距离d＝＝.
又AB＝，所以S△ABC＝AB·d＝.
(2) 设点A关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则解得即A′(1，3).
因为BC＋CA＝BC＋CA′≥BA′，
所以当B，A′，C三点共线时，△ABC的周长最小，
此时kBA′＝＝4，则直线BA′的方程为y＝4x－1.
联立解得即C，
此时△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝AB＋BA′＝＋.
1．5.2　点到直线的距离(2)
1. C　由题意，得＝1，解得a＝－1＋或a＝－1－.又a＞0，所以a＝－1＋.
2. C　设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋3＝0上，代入可得－x＋2y＋3＝0，即x－2y－3＝0.
3. B　设满足条件的点P的坐标为(x，y).因为点P 到点A，B及直线 x＝－的距离都相等，所以解得即点P的坐标为，所以符合条件的点P有1个．
4. D　由ax＋y＋3a－1＝0，得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令得点M(－3，1).因为点M不在直线2x＋3y－6＝0上，所以设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线的方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得 c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求直线的方程为2x＋3y＋12＝0.
5. B　直线l的方程可化为(3x＋y－4)λ＋x＋y－2＝0，令解得所以直线l过定点A(1，1).当PA⊥l时，点P(－2，－1)到直线l的距离最大，最大值为d＝PA＝＝.
6. A　设直线l与直线l1，l2的两个交点为A，B，且设点A(a，2a)，则点A(a，2a)关于点P(3，2)的对称点B(6－a，4－2a)在直线l2上，所以6－a＋4－2a－3＝0，解得a＝，所以A，B，所以AB＝＝.联立解得即直线l1，l2的交点坐标为(1，2).因为直线l过点P(3，2)，A，所以直线l的斜率k＝＝－4，所以直线l的方程为y－2＝－4(x－3)，即4x＋y－14＝0，所以点(1，2)到直线l：4x＋y－14＝0的距离为d＝＝，所以这三条直线l1，l2，l围成的三角形面积S＝AB×d＝××＝.
7. ABD　由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，得m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0，令解得x＝3，y＝1，所以直线恒过定点P(3，1)，故A正确；易知当OP⊥l时，原点到直线l的距离最大，且最大值为OP＝＝，故B正确；由点A(－1，0)，B(1，0)到直线l的距离相等，得＝，解得m＝－或m＝－，故C错误；由A知，直线l恒过定点P(3，1)，若直线l经过第一、二、三象限，则直线l的斜率k∈.又直线斜率k＝－，所以0＜－＜，解得－＜m＜－，故D正确．故选ABD.
8. BC　对于A，如图1，设点B关于直线l的对称点为B′(m，n)，则解得B′，所以PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′＝＝12，当A，P，B′三点共线时取最小值，故A错误；对于B，如图2，|PB－PA|≤AB，当B，A，P三点共线时取最大值．又直线AB的方程为y＝(x－2)，即x－y－2＝0，联立解得即直线l上一点P(12，10)使|PB－PA|最大，故B正确；对于C，设直线l1的方程为y＝k(x－2)＋5，k<0，当x＝0时，y＝－2k＋5，当 y＝0时，x＝－＋2，即M(－＋2，0)，N(0，－2k＋5)，所以||·||＝·＝10≥10＝20，当且仅当＝k2，即k＝－1时，等号成立，此时直线l1的方程为y＝－(x－2)＋5，即 x＋y－7＝0，故C正确；对于D, ||·||＝(－2k＋5)＝20＋＋4(－k)≥20＋2＝40，当且仅当＝4(－k)，即k＝－时，等号成立，此时直线l1的方程为y＝－(x－2)＋5，即5x＋2y－20＝0，故D错误．故选BC.
图1 图2
9. 　由题意，得点(1，2)到直线3x＋4y－3＝0的距离d＝＝.
10. (0，5]　由题意可知AB＝＝5.又d表示l1与l2间的距离，则011. x－3y－1＝0　设直线l1关于直线l2对称的直线为l3，由解得所以点(1，0)在直线l3上. 在直线l1上取一点A(0，－3)，设其关于直线l2对称的点为A′(m，n)，则解得即A′(4，1)，所以直线l3的方程为＝，即x－3y－1＝0.
12. (1) 设与直线l：2x－y＋1＝0垂直的直线l1的方程为x＋2y＋m＝0，
将点A(3，2)代入，得3＋2×2＋m＝0，解得m＝－7，
所以过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程为x＋2y－7＝0.
(2) 设与直线l：2x－y＋1＝0平行的直线l2的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，
因为点P(3，0)到直线l2的距离为，
所以＝，
解得c＝－1或c＝－11，
所以直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0.
13. (1) 因为PQ＝＝2，
所以直线l与直线PQ垂直，
其斜率为k＝－＝－＝－，
所以直线l的方程为 y＝－(x＋2)，
即x＋y＋2＝0.
因为直线l′与直线l关于点Q对称，
所以点Q到直线l′的距离等于2，且l∥l′，
故设直线l′的方程为x＋y＋m＝0(m≠2)，
则d＝＝2，
解得 m＝－6或m＝2(舍去)，
所以直线l′的方程为x＋y－6＝0.
(2) 根据题意画出图象，如图所示．
设点Q关于直线l′的对称点为Q′(a，b)，则MQ＝MQ′，
所以OM＋MQ＝OM＋MQ′≥OQ′，
当Q′，M，O三点共线时取等号，
此时解得
所以直线OQ′的方程为y＝x.
联立解得
所以点M的坐标为.