2.1 圆 的 方 程 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024马鞍山一中月考)圆心为(－3，1)，半径为的圆的方程为(　　)
A. (x－3)2＋(y－1)2＝5
B. (x＋3)2＋(y－1)2＝5
C. (x＋3)2＋(y－1)2＝25
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝
2 (2024赣州一中期中)若原点在圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的外部，则实数m的取值范围是(　　)
A. m>25 B. m>5
C. 03 已知圆C经过点A(1，3)，若圆C上存在点B与点A关于直线y＝x对称，且圆心C为(－1，a)，则圆C的半径为(　　)
A. B. 2 C. 10 D. 20
4 (2024南通中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为(　　)
A. x2＋(y＋5)2＝5 B. x2＋(y－5)2＝5
C. x2＋(y＋5)2＝25 D. x2＋(y－5)2＝25
5 (2024盐城七校期中联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y＋2)2＝3
B. (x＋2)2＋(y＋2)2＝3
C. (x＋2)2＋(y－2)2＝3
D. (x－2)2＋(y－2)2＝3
6 已知直线x＋y＋4＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在圆x2＋(y－2)2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A. [2，6] B. [4，8]
C. [8，16] D. [4，8]
二、 多项选择题
7 (2025启东汇龙中学月考)过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为(　　)
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
8 (2025如皋搬经中学月考)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点(3，0)
C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
三、 填空题
9 (2024苏州十中月考)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P(－1，1)的圆的方程是________．
10 (2024海门中学月考) 与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－y＋6＝0上的圆的标准方程是________．
11 (2025重庆七中期中)已知从点(－5，3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆周，则反射光线所在的直线方程为________．
四、 解答题
12 已知点A(－1，1)，B(1，3).
(1) 求线段AB的垂直平分线的方程；
(2) 若圆C经过A，B两点，且圆心在 x轴上，求圆C的方程．
13 (2024海门证大中学月考)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在边AD所在直线上．
(1) 求边AD所在直线的方程；
(2) 求矩形ABCD外接圆的方程．
2．1.2　圆的方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024盐城一中期中)已知圆C的方程为x2＋y2＋8x＋8＝0，则圆C的半径为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 8
2 (2024盐城中学期末)若方程x2＋y2＋4mx－2y＋4m2－m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－∞，1)
C. (－1，＋∞) D. [－1，＋∞)
3 已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－3) B. (－∞，－3]
C. D.
4 (2024泰州中学期中)方程x2＋y2－2mx－4y＋2m2－4m－1＝0所表示的圆的最大面积为(　　)
A. 4π B. 9π C. 8π D. 16π
5 (2024镇江中学期中)已知圆C：x2＋y2－2y＝0，则的最大值为(　　)
A. 4 B. 13
C. ＋1 D. 2＋11
6 (2024南京建业高级中学月考)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，且点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 2
二、 多项选择题
7 (2024徐州三中期初)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆心C的坐标为(2，7)
B. 点Q在圆C外
C. 若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则MQ的取值范围为[2，6]
8 (2024泰州中学质量检测)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B. 当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
C. 当a＝0时，表示的圆的半径为4
D. 当a＝8时，表示的圆与y轴相切
三、 填空题
9 (2024天津新华中学月考)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________．
10 (2024白蒲高级中学月考)在△ABC中，点A(0，3)，B(－，0)和C(，0)，则△ABC的外接圆方程为________．
11 (2025如皋长江中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，若点P满足2PO2＋PA2＝2，则△POA面积的最大值为________．
四、 解答题
12 (2024南京二十九中月考)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2).
(1) 求圆C的一般方程；
(2) 已知点P(a，1)在圆C外，求实数a的取值范围．
13 (2025海安中学月考)在①过点C(2，0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1) 求圆E的一般方程；
(2) 设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
2．1.3　圆的方程(3)
一、 单项选择题
1 (2024常州中学期中)已知圆O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，则圆心O和半径r分别为(　　)
A. O(－2，3)，r＝3 B. O(2，－3)，r＝2
C. O(－2，3)，r＝2 D. O(2，－3)，r＝3
2 (2024天津南开中学期末)以直线l：x＋(m＋2)y－3－m＝0恒过的定点为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A. x2＋y2－2x－2y＝2
B. x2＋y2－2x－2y＝1
C. x2＋y2－2x－2y＋1＝0
D. x2＋y2－2x－2y＝0
3 (2024启东一中月考)已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
C. (x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D. (x－1)2＋(y－2)2＝1
4 如图，已知ACB为一弓形，且点A，B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，(0，2)，则弓形ACB所在圆的方程为(　　)
A. x2＋y2＝16
B. x2＋y2＝4
C. x2＋(y＋2)2＝20
D. x2＋(y＋3)2＝25
5 (2024仙桃一中期中)已知点P(0，2)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q在圆C：x2＋y2＋2x＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－4，＋∞) B. (－∞，1)
C. (－4，1) D. (－∞，－4)∪(1，＋∞)
6 (2024北京东城期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过(－2，－2)，(－2，6)，(4，－2)三点，则该圆经过的整点共有(　　)
A. 6个 B. 8个
C. 10个 D. 12个
二、 多项选择题
7 (2024徐州一中期中)已知圆C：x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，k∈R，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当k＝0时，圆C的面积是π
B. 实数k的取值范围是(－，)
C. 点(0，－1)在圆C内
D. 当圆C的周长最大时，圆心坐标为(0，－1)
8 已知动点P与两定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为1∶2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点P的轨迹所围成的图形的面积是4π
B. 点P到点A距离的最大值是2
C. 点P到点B距离的最大值是6
D. 当点P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是3
三、 填空题
9 (2024邯郸一中期中)若圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4上存在两点关于直线ax＋y－1＝0对称，则实数a的值为________．
10 已知M是直线x＝4上的动点，点N在线段OM上(O是坐标原点)，且满足OM·ON＝16，则动点N的轨迹方程为__________________．
11 (2024启东中学月考)设A(x，y)为圆x2＋(y－2)2＝1上任意一点，则的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024连云港四校期中联考)赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求这座圆拱桥所在圆的方程；
(2) 若该景区游船的宽为10m，水面以上的高为3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(参考数据：≈1.732)
　
13 (2024扬州一中期中)已知圆C过A(4，1)，B(0，1)，M(2，3)三点，直线l：y＝x＋2.
(1) 求圆C的方程；
(2) 求圆C关于直线l对称的圆C′的方程；
(3) 若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求OP＋PQ的最小值．
2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
1. B　由圆的标准方程公式，得所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝5.
2. C　由题意，得圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的圆心为(3，－4)，半径为，所以m>0.若原点在圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的外部，则(0－3)2＋(0＋4)2>m，所以m<25.综上，03. B　由题意，得直线y＝x经过圆心(－1，a)，所以a＝－1，所以r＝AC＝＝2.
4. B　由题意，得圆心M的坐标为(0，5)，半径为MQ＝＝，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.
5. A　由题意，得两圆的圆心C1(－1，1)和C2关于直线x－y－1＝0对称，且两圆的半径相等为.设点C2(a，b)，则解得所以圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3.
6. C　由题意，得直线x＋y＋4＝0交x轴于点A(－4，0)，交y轴于点B(0，－4)，所以AB＝4.又圆x2＋(y－2)2＝2的圆心(0，2)到直线AB的距离d1＝＝3，圆的半径为，所以圆x2＋(y－2)2＝2上的点P到直线AB的距离d2的取值范围为[2，4]，所以△ABP的面积S△ABP＝AB·d2∈[8，16].
7. BC　设圆心为C(a，b)，则圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故a＝b，则圆心C(a，a).由CA＝2，得(a－1)2＋(a＋1)2＝4，解得a＝±1，故圆心C(1，1)或C(－1，－1)，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.故选BC.
8. ABD　对于A，圆心为(k，k)，一定在直线y＝x上，故A正确；对于B，将点(3，0)代入，得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，将点(2，2)代入，得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D，所有圆的半径为2，面积为4π，故D正确．故选ABD.
9. (x－2)2＋(y＋3)2＝25　圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6的圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，－3)，半径为R＝＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
10. (x＋2)2＋(y－2)2＝4或(x＋6)2＋(y＋6)2＝36　由圆心在直线2x－y＋6＝0上，可设圆心为C(a，2a＋6)，由圆与两坐标轴都相切，可得|a|＝|2a＋6|，解得a＝－6或a＝－2.若a＝－6，则圆心为(－6，－6)，半径为6，圆的方程为(x＋6)2＋(y＋6)2＝36；若a＝－2，则圆心为(－2，2)，半径为2，圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.综上，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4或(x＋6)2＋(y＋6)2＝36.
11. 2x－3y＋1＝0　设点A的坐标为(－5，3)，圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆心坐标为B(1，1).设C(x，0)是x轴上一点．因为反射光线恰好平分圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆周，所以反射光线经过点B(1，1).由反射的性质可知kAC＋kBC＝0，即＋＝0，解得x＝－，所以kBC＝＝，所以反射光线所在的直线方程为y＝，即2x－3y＋1＝0.
12. (1) 因为点A(－1，1)，B(1，3)，
所以线段AB的中点为(0，2).
又kAB＝＝1，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－1，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0.
(2) 由(1)知，线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0，
因为圆C经过A，B两点，
所以线段AB的垂直平分线经过圆心C.
因为圆C的圆心在x轴上，
所以在方程x＋y－2＝0中，令y＝0，得x＝2，即圆心为C(2，0)，
所以圆的半径为r＝AC＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
13. (1) 因为边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1，1)在直线AD上，
所以边AD所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2) 由解得
所以点A的坐标为(0，－2).
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又AM＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
2．1.2　圆的方程(2)
1. C　圆C的方程为x2＋y2＋8x＋8＝0，即(x＋4)2＋y2＝8，所以圆C的半径为＝2.
2. C　由D2＋E2－4F>0，得(4m)2＋(－2)2－4(4m2－m)>0，即4m＋4>0，解得m>－1，即实数m的取值范围是(－1，＋∞).
3. A　由x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0，得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，所以圆心的坐标为(a，－2a)，半径为3.因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，所以解得a<－3.
4. B　将圆的方程化为(x－m)2＋(y－2)2＝－m2＋4m＋5，则－m2＋4m＋5>0，解得－15. C　易知d＝＝表示圆C上的点(x，y)到点(1，－2)的距离. 因为圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0，1)，半径r＝1.显然dmax＝＋r＝＋1.
6. B　以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0).设点P(x，y)，由＝，得3PA2＝PB2，即3x2＋3y2＝(x－2)2＋y2，整理，得(x＋1)2＋y2＝3，所以点P的轨迹是以点C(－1，0)为圆心，为半径的圆，则点P到直线AB距离的最大值为，所以△PAB面积的最大值为S＝×AB×＝.
7. AB　对于A，由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8，显然该圆的圆心C的坐标为(2，7)，故A正确；对于B，因为(－2－2)2＋(3－7)2>8，所以点Q在圆C外，故B正确；对于C，若点点P(m，m＋1)在圆C上，则(m－2)2＋(m＋1－7)2＝8，解得m＝4，即点P(4，5)，所以直线PQ的斜率为＝，故C错误；对于D，因为CQ＝＝4，该圆的半径为2，所以4－2≤MQ≤4＋2，即2≤MQ≤6，故D错误．故选AB.
8. BD　方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a.对于A，当a＝10时，20－2a＝0，故A错误；对于B，当a<10时，20－2a>0，表示圆心为(2，－4)的圆，故B正确；对于C，当a＝0时，20－2a＝20，表示的圆的半径为r＝2，故C错误；对于D，当a＝8时，20－2a＝4，方程表示的圆半径为r＝2.又圆心坐标为(2，－4)，所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆与y轴相切，故D正确．故选BD.
9. 2　因为圆心为(1，2)，半径为1的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0，所以a＝2，b＝－4，c＝4，所以a＋b＋c＝2.
10. x2＋y2－2y－3＝0　由题意，设外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，代入三个点的坐标，可得解得所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2y－3＝0，
11. 　设点P(x，y)，由2PO2＋PA2＝2，得2(x2＋y2)＋(x－1)2＋y2＝2，整理，得x2＋y2－x－＝0，即＋y2＝，所以点P的轨迹是以为圆心，r＝为半径的圆，所以△POA面积的最大值为OA×r＝×1×＝.
12. (1) 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，得
解得
所以圆C的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
(2) 因为点P(a，1)在圆C外，
所以a2＋6a－7>0，
解得a>1或a<－7，
所以实数a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞).
13. (1) 若选①：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以圆E的方程为x2＋y2－2x＝0.
若选②：易知直线mx－y－m＝0恒过点(1，0).
因为圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，
所以mx－y－m＝0恒过圆心，
所以圆心坐标为(1，0).
又圆E经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，
所以圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
若选③：设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得解得
所以圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2) 设点M(x，y).
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y).
因为P是圆E上的动点，
所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，即x2＋y2－x＝0，
所以点M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0.
2．1.3　圆的方程(3)
1. B　圆O的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝8，所以圆心O(2，－3)，半径r＝2.
2. D　由x＋(m＋2)y－3－m＝0，得x＋2y－3＋(y－1)m＝0，则解得所以直线l恒过定点(1，1)，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝()2，即x2＋y2－2x－2y＝0.
3. D　由题意，得圆M的圆心为M(2，1)，半径为1，点M(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是N(1，2)，所以圆N的圆心是N(1，2)，半径是1，所以圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
4. D　因为圆心在弦AB的中垂线上，所以圆心在y轴上，可设圆心为P(0，b).因为AP＝CP，所以＝|2－b|，解得b＝－3，所以圆心P(0，－3)，半径r＝CP＝5，所以圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
5. C　设点Q(a，b)，则 解得a＝1，b＝1，即Q(1，1).因为点Q(1，1)在圆C外，所以1＋1＋2＋m＞0，解得m＞－4.因为x2＋y2＋2x＋m＝0表示圆，所以4－4m＞0，解得m＜1，综上，－4＜m＜1.
6. D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意，得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，故该圆经过的整点有(1，7)，(1，－3)，(4，6)，(4，－2)，(5，5)，(5，－1)，(6，2)，(－2，－2)，(－2，6)，(－3，5)，(－3，－1)，(－4，2)，共12个．
7. AB　由x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，得＋(y－1)2＝1－k2. 对于A，当k＝0时，圆C的半径为1，所以圆C的面积为π×12＝π，故A正确；对于B，由半径的平方大于0，得1－k2>0，解得－8. ACD　对于A，设点P(x，y).因为动点P与两定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为1∶2，所以(x－0)2＋(y－0)2＝[(x－3)2＋(y－0)2]，即x2＋y2＋2x＝3，即(x＋1)2＋y2＝4，所以P是以点(－1，0)为圆心，2为半径的圆上的一点，所以点P的轨迹所围成的图形的面积是4π，故A正确；对于B，点P到点A的距离的最大值为圆心C(－1，0)到点A的距离加上圆的半径．又AC＝1，所以点P到点A的距离的最大值为1＋2＝3，故B错误；对于C，点P到点B的距离的最大值为圆心C(－1，0)到点B的距离加上圆的半径．又BC＝4，所以点P到点B的距离的最大值是4＋2＝6，故C正确；对于D，当P，A，B三点不共线时，点P到直线AB的最大距离为2，则△PAB面积的最大值为×3×2＝3，故D正确．故选ACD.
9. 2　由题意，得直线ax＋y－1＝0过圆C的圆心(2，－3)，所以2a－3－1＝0，解得a＝2.
10. (x－2)2＋y2＝4(011. (－∞，－]∪[，＋∞)　如图，作出圆x2＋(y－2)2＝1的图象．因为A(x，y)是圆上一点，所以可看成圆上的点与原点连线的斜率．当直线与圆相切时，设切线斜率为k，则圆心(0，2)到直线kx－y＝0的距离为＝1，解得k＝±.由图知要使过原点的直线与圆有公共点，需使直线倾斜角不小于切线OA1的倾斜角60°，或不超过切线OA2的倾斜角120°，所以直线的斜率k≥tan 60°＝或k≤tan 120°＝－，即的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).
12. (1) 设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
因为该拱圆过点A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4),
所以解得
所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，
即x2＋(y＋6)2＝100.
(2) 当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100，
解得y＝5－6≈2.66<3，
所以该景区游船不能从桥下通过．
13. (1) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
代入点A(4，1)，B(0，1)，M(2，3)，
得解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(2) 设点C′(m，n)，则
解得所以C′(－1，4).
又因为对称圆的半径不变，
所以圆C′的方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝4.
(3) 因为OP＋PQ≥OP＋PC－2，
由(2) 可知点C关于直线l的对称点为C′，
所以OP＋PC＝OP＋PC′≥OC′＝＝，
当且仅当O，P，C′三点共线时取等号，
所以OP＋PQ≥－2，即OP＋PQ的最小值为－2.