2．2 直线与圆的位置关系 同步练习 高二数学苏教版选择性必修第一册

2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 (2024南昌实验中学期末)直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 相交或相切
2 (2024惠州一中月考)已知直线kx－y＋k－1＝0与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3 (2024温州中学期末)直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 无法确定
4 已知直线l：y＝k(x－1)与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5相交于A，B两点，若∠ACB<90°，则实数k的取值范围为(　　)
A. (－，) B. (－，)
C. (－，) D.
5 (2025启东中学月考)若点P(a，b)在圆C: x2＋y2＝1内，则直线ax＋by＝1与圆C的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不能确定
6 (2024徐州大许中学月考)设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过点P作圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的切线，则切线长的最小值为(　　)
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
二、 多项选择题
7 给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则下列说法中正确的是(　　)
A. m的取值范围为(0，＋∞)
B. 当直线l与圆C相切时，m＝
C. 当1D. 当直线l与圆C相交时，m>
8 (2024镇江中学月考)已知直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C恒有两个公共点
B. 圆心C到直线l的最大距离是
C. 存在一个m的值，使直线l经过圆心C
D. 当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称
三、 填空题
9 (2024江安中学月考)直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是________．
10 已知圆x2＋y2＝a，直线l：y＝x－2，圆上恰有一个点到直线l的距离等于1，则a＝________．
11 (2024扬州中学月考)已知直线l：x＝－my－1，圆O：x2＋y2＋6x＋8y＋9＝0，写出一个满足“对于直线l上任意一点A，在圆O上总存在点B使得∠ABO＝”的m的值为________．
四、 解答题
12 (2024白蒲高级中学月考)已知圆C经过点A(4，0)，B(2，2)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 若直线l：kx－y＋3＝0(k∈R)与圆C无公共点，求实数k的取值范围．
13 (2024连云港赣榆期中) 在平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，圆C经过直线x＋3y－2＝0与3x－2y－6＝0的交点，且________．(在①②两个条件中任选一个，补充在横线上)
①圆C经过点O(0，0)，圆心在直线y＝2x＋1上；②圆心C(1，b)，半径为.
(1) 求圆C的方程；
(2) 过点P(1，－7)作圆C的切线，求切线的方程．
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 (2024新华中学月考)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，－)处的切线方程为(　　)
A. x＋y＋2＝0
B. x＋y－4＝0
C. x－y＋4＝0
D. x－y＋2＝0
2 (2024苏州中学月考)已知P为直线l：x－y＋1＝0上一点，过点P作圆C：(x－1)2＋y2＝1的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(　　)
A. 1 B.
C. D. 2
3 (2024安宜高级中学期末)过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0相交于A，B两点，则AB的最小值为(　　)
A. B. 2
C. 2 D. 4
4 (2024江安中学月考)过点P(－2，0)作圆x2＋y2－4y＝1的两条切线，设切点分别为A，B，则AB的长为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024启东中学月考)过点P(－3，4)作圆C：x2＋y2＝25的切线l，直线m：ax－4y＝0与切线l平行，则直线l与m之间的距离为(　　)
A. 5 B. 2 C. 4 D.
6 (2024芜湖一中期中)已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是(　　)
A. [－7，1]
B. [－1，7]
C. (－∞，－7]∪[1，＋∞)
D. (－∞，－1]∪[7，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024启东一中月考)已知P是直线x＋y－3＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，则切线长可能为(　　)
A. B.
C. 1 D.
8 已知圆O：x2＋y2＝4，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且直线AB恒过定点D(1，－1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点M的轨迹方程为x－y＋4＝0
B. AB的最小值为2
C. 圆O上的点到直线AB距离的最大值为2＋
D. ∠AMB≤90°
三、 填空题
9 (2024太仓中学月考)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
10 (2024天一中学月考)过点A(－1，2)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为________．
11 过点(－3，0)作一条直线与圆x2＋y2＝4分别交于M，N两点．若弦MN的长为2，则直线MN的方程为____________．
四、 解答题
12 (2024宜宾一中期末)已知圆O：x2＋y2＝4.
(1) 过圆外一点P(2，1)引圆的切线，求切线的方程；
(2) 设P是直线l1：x－y＋4＝0上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求△OPM面积的最小值以及此时点P的坐标．
13 (2024南京十三中期中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0.
(1) 过点P(3，5)作圆C的切线l，求切线l的方程；
(2) 若直线AB的方程为3x＋y－8＝0，且与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长；
(3) 在(2)的前提下，若Q是(x＋4)2＋(y－3)2＝10圆上的点，求△QAB面积的最大值．
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 (2024海门中学月考)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A. 0或4 B. 0或3
C. －2或6 D. －1或
2 (2024南通一中月考)过点P(2，1)作圆C：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为(　　)
A. 4x－3y－5＝0
B. 4x－3y－9＝0
C. y＝1或4x－3y－5＝0
D. y＝1或4x－3y－9＝0
3 (2024通州高级中学期中)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为2∶1，则直线OM的斜率的取值范围是(　　)
A. [2，6] B.
C. D.
4 (2024沭阳期中)过点(0，2)作直线l交圆x2＋y2＝2于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为(　　)
A. ± B. ±
C. ±1 D. ±
5 (2024白蒲高级中学月考)直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　)
A. B.
C. π D.
6 (2024海门期末)若P为直线l：x－y＋1＝0上的动点，点A(－1，－1)，点B在圆C：(x－1)2＋y2＝1上，则PA＋PB的最小值为(　　)
A. 2 B. 3
C. －1 D. 2
二、 多项选择题
7 (2024白蒲高级中学月考)已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过某一定点
B. 当k＝1时，AB最大
C. AB的最小值为4
D. 当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点
8 (2024南通一中月考)已知直线l：2mx－y＋1＝0(m∈R)，圆E：x2＋y2－2x＋2y－7＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆心E到直线l的距离的最大值为5
B. 圆E和直线l相交，所得的弦的长度取最小值时，l的方程为x－2y＋2＝0
C. 圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大值为9
D. 圆E被直线l分成两段圆弧，当大小两段圆弧的长度之比为3∶1时，直线l的方程为x－y＋1＝0或x－7y＋7＝0
三、 填空题
9 已知直线ax－y＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，若∠ACB＝，则a的值为________．
10 (2024南通中学月考)已知直角三角形ABC的两直角边长为a，b，斜边长为c，则直线ax＋by－2c＝0被圆x2＋y2＝8所截得的弦长为________．
11 已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则MN的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024南通一中月考)已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1) 若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2) 若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
13 (2024泗阳中学月考)已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y＝3x对称，与x轴相切，被直线y＝x截得的弦长为2.
(1) 求圆C的方程；
(2) 若点P(－2，1)，求过点P的圆的切线方程．
2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
1. A　因为圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0，1)，半径为1，所以圆心(0，1)到直线x－y＋4＝0的距离为＝>1，所以直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是相离．
2. B　因为直线kx－y＋k－1＝0与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离<1，即8k2－6k<0，解得03. B　直线y＝k(x－5)－2恒过定点(5，－2)，将定点(5，－2)代入圆的方程，得(5－3)2＋(－2＋1)2＝5<6，则定点(5，－2)在圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6内部，所以直线与圆必相交．
4. C　因为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为C(1，2)，半径为，过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图，由∠ACB<90°，可得∠ACH<45°，则∠HAC>45°，所以sin ∠HAC＝>，可得CH>AC＝.因为直线l：y＝k(x－1)可化为kx－y－k＝0，所以CH＝>，解得－5. C　因为点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1内，所以a2＋b2<1.设圆心C(0，0)到直线ax＋by＝1的距离为d，则d＝>1.又圆C：x2＋y2＝1的半径r＝1，所以d>r，所以直线ax＋by＝1与圆C的位置关系为相离．
6. D　由(x－3)2＋(y－4)2＝4，可得圆心为C(3，4)，半径r＝2.由题意可知，点P到圆C的切线长最小时，CP⊥l.因为圆心到直线的距离d＝＝4，所以切线长的最小值为＝2.
7. BC　圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为(x－2)2＋y2＝m－1，圆心为C(2，0)，半径r＝.对于A，由r＝>0，解得m>1，故A错误；对于B，因为点C(2，0)到直线l：3x＋4y＝0的距离为d＝＝，所以当直线l与圆C相切时，r＝＝，解得m＝，故B正确；对于C，当1，解得m>，故D错误．故选BC.
8. AD　由mx－(2－m)y＋1－m＝0，得m(x＋y－1)－2y＋1＝0，令解得则直线l过定点P.将圆C的方程x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为C(1，0).因为PC＝＝＜1，所以点P在圆C内部，所以直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确；圆心C到直线l的最大距离为PC＝，故B错误；因为直线方程mx－(2－m)y＋1－m＝0不包含直线x＋y－1＝0(无论m取何值)，而经过点P的直线只有直线x＋y－1＝0经过圆心C(1，0)，故C错误；当m＝1时，直线l的方程为x－y＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0，1)，半径为1，两圆的圆心关于直线x－y＝0对称，且半径相等，则当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称，故D正确．故选AD.
9. 相离　由题意，得圆心C到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，所以d＞r，所以直线与圆相离．
10. 1　圆x2＋y2＝a的圆心为(0，0)，r＝，a>0，由题意，得圆心到直线l：x－y－2＝0的距离d＝＝r＋1＝＋1，解得a＝1.
11. 1(答案不唯一)　圆O的方程可化为(x＋3)2＋(y＋4)2＝16，所以O(－3，－4)，对于直线l上的任意一点A，在圆O上总存在点B使得∠ABO＝，即对于直线l上任意一点A，都能向圆O引切线，即直线l与圆O相离，所以点O到直线l的距离d＝>4，解得m>，故m的值可以为1.
12. (1) 因为圆心C在直线x＋y－2＝0，
所以可设圆心为C(a，2－a).
因为圆C经过点A(4，0)，B(2，2)，
所以AC＝BC＝r，即＝，解得a＝2，
所以圆心坐标为C(2，0)，半径r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2) 因为圆心C到直线l的距离d＝，且直线l与圆C无公共点，
所以d>r，即>2，解得k>－，
故实数k的取值范围为.
13. (1) 由解得
所以圆C过点(2，0).
若选①，圆C经过点O(0，0)，圆心在直线y＝2x＋1上．
设圆心为(a，2a＋1)，a>0，
则(a－2)2＋(2a＋1)2＝a2＋(2a＋1)2，解得a＝1，
所以圆心为C(1，3)，半径为＝，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
若选②，圆心C(1，b)，半径为，
则(1－2)2＋(b－0)2＝10，解得b＝3(负值舍去)，
所以圆心为C(1，3)，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
(2) 由题意，当直线的斜率不存在时，不合题意；
当直线的斜率存在时，设切线的方程为y＋7＝k(x－1)，kx－y－k－7＝0，
圆心(1，3)到切线的距离为＝＝，解得k＝±3，
所以切线方程为3x－y－3－7＝0或－3x－y＋3－7＝0，
即3x－y－10＝0或3x＋y＋4＝0.
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
1. A　易知该切线斜率存在，不妨设切线l的方程为y＋＝k(x－1)，易知圆心A(2，0)，半径r＝2，所以点A到直线l的距离为d＝＝r＝2，解得k＝－，所以切线l的方程为x＋y＋2＝0.
2. A　连接CA，则PA＝. 又PC的最小值为点C到直线l的距离d＝＝>1，所以PAmin＝＝1.
3. B　由x2＋y2＋4x－1＝0，得(x＋2)2＋y2＝5，则圆C的圆心为C(－2，0)，半径为.因为(－1＋2)2＋12<5，所以点P(－1，1)在圆C内．由圆的性质可知，当CP⊥AB时，弦AB的长度取得最小值．因为CP＝＝，所以弦AB的长度的最小值为2＝2.
4. C　由x2＋y2－4y＝1，得x2＋(y－2)2＝5，则该圆的圆心为M(0，2)，半径为r＝.又点P(－2，0)，所以MP＝＝2，所以切线长PA＝PB＝＝.由××PM＝×PA×MA，得AB＝2×＝.
5. A　由ax－4y＝0，得y＝x.因为l∥m，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为y－4＝(x＋3)，即ax－4y＋3a＋16＝0.因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝5，解得a＝3，所以直线l的方程为3x－4y＋25＝0，直线m的方程为3x－4y＝0，所以直线l与m之间的距离为＝5.
6. C　由(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心C(1，1)，半径为r＝.又＝，所以表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，当过点A(0，－2)与圆C相切时，此时取得最值．如图，设＝t，则tx－y－2＝0，令＝，整理，得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或t＝1，结合图象，可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞).
7. ACD　由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，设T为切点．由x2＋y2＝4，得圆O的圆心为O(0，0)，半径r＝2，则切线长PT＝，所以当PO最小时，PT最小．易知当PO与直线垂直时，PO取得最小值，则POmin＝＝，所以PTmin＝＝，故A，C，D符合题意；B不符合题意．故选ACD.
8. CD　对于A，设点M(x0，y0)，则以OM为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，化简，得x2＋y2－xx0－yy0＝0，与x2＋y2＝4联立，两式相减，得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4.又因为直线AB恒过定点D(1，－1)，所以点M的轨迹方程为x0－y0－4＝0，即x－y－4＝0，故A错误；对于B，因为OD＝，当OD⊥AB时，弦长最小，所以ABmin＝2＝2，故B错误；对于C，因为直线AB恒过定点D(1，－1)，所以圆O上的点到直线AB距离的最大值为OD＋r＝＋2，故C正确；对于D，如图，圆心O到直线x－y－4＝0的距离为2，记直线l：x－y－4＝0，当点M运动到OM⊥l时，sin ∠AMO＝＝，则∠AMO＝45°，所以∠AMB＝90°；当点M位于直线l的其他位置时，OM>2，sin ∠AMO＝<＝，则∠AMO<45°，所以∠AMB<90°，综上，∠AMB≤90°，故D正确．故选CD.
9. (x＋1)2＋y2＝2　令y＝0，得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0).因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
10. 　由题意，得圆C的圆心为C(1，2)，半径r＝1，所以AC＝＝2，所以AB＝＝＝.
11. x－4y＋3＝0或x＋4y＋3＝0　由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则直线MN的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.若弦MN的长为2，则圆心O(0，0)到直线MN的距离为d＝＝1，所以＝1，解得k＝±，故直线MN的方程为x－4y＋3＝0或x＋4y＋3＝0.
12. (1) 当切线斜率存在时，
设切线的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，
则圆心(0，0)到切线的距离为＝2，解得k＝－，
所以切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0；
当切线斜率不存在时，直线方程为x＝2，
此时直线x＝2与圆相切，满足题意．
故所求切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
(2) 易知当OP⊥l1时，△OPM的面积最小．
又因为直线l1：x－y＋4＝0，
所以直线OP的方程为y＝－x.
由解得
即点P的坐标为(－2，2)，
此时△OPM面积的最小值为×2×2＝2.
13. (1) 圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，
则圆C的圆心为C(2，3)，半径为1，
由(3－2)2＋(5－3)2>1，可得点P在圆外．
当过点P的直线斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－3)＋5，即kx－y＋5－3k＝0，
则圆心C到直线l的距离为＝1，解得k＝，
此时直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－4y＋11＝0；
当过点P的直线斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时直线l与圆C相切，满足题意．
综上，直线l的方程为3x－4y＋11＝0或x＝3.
(2) 由题意，得圆心C到直线AB的距离d＝＝，
所以AB＝2＝.
(3) 由题意，得圆(x＋4)2＋(y－3)2＝10的圆心坐标为(－4，3)，半径为.
因为点(－4，3)到直线AB的距离＝，
所以点Q到直线AB距离的最大值为＋＝，
所以△QAB面积的最大值为××＝.
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
1. A　由圆的方程，可知圆心的坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
2. C　根据题意，圆C的圆心为原点，半径为1.当切线l的斜率不存在时，即直线的方程为x＝2，不与圆C相切；当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，则＝1，解得k＝0或k＝. 当k＝0时，切线方程为y＝1；当k＝时，切线方程为4x－3y－5＝0，所以切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
3. C　设动点M(x，y)，由题意，得＝2，化简，得(x－4)2＋y2＝4，所以点M的轨迹为圆E：(x－4)2＋y2＝4.如图，过点O作圆E的切线，连接EM，则EM＝2，OE＝4，所以∠MOE＝，同理∠M1OE＝，所以直线OM的斜率的取值范围为.
4. D　x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为，当直线l的斜率不存在时，可得直线l即为y轴，此时A，B，O三点共线，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，则S△AOB＝AO·BO·sin ∠AOB＝××sin ∠AOB＝sin ∠AOB，当sin ∠AOB＝1，即∠AOB＝时，△AOB的面积取得最大值，即△AOB为等腰直角三角形，可得点O到直线l的距离为1，即圆心(0，0)到直线l的距离为 d＝＝＝1，解得k＝±.
5. C　由题意，得圆心到直线的距离d＝＝.又圆的半径r＝1，所以直线x＋7y－5＝0被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，所以直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，可得劣弧是整个圆周的，所以直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即×2πr＝π.
6. D　设点A(－1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点为A′(x，y)，则解得即A′(－2，0).又圆C的圆心为C(1，0)，半径为1，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥PA′＋PC－1≥A′C－1，当且仅当P，A′，B，C四点共线，且点B在线段A′C上时，PA＋PB取得最小值，最小值为A′C－1＝3－1＝2.
7. ACD　对于A，由kx＋y＋2k－1＝0，得k(x＋2)＋y－1＝0，则不管k为何值，直线始终过点(－2，1)，故A正确；对于B，当k＝1时，直线l的方程为x＋y＋1＝0，又圆C的圆心为C(0，3)，所以直线l不过圆C的圆心(0，3)，故B错误；对于C，由A知，当(－2，1)是线段AB的中点时，弦长AB最短，又圆C的圆心为C(0，3)，半径r＝4，圆心C(0，3)和点(－2，1)的距离是＝2，所以最短弦长AB＝2＝4，故C正确；对于D，当k＝2时，直线l：2x＋y＋3＝0，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0，即x2＋y2－6y－7＋λ(2x＋y＋3)＝0，显然该曲线过直线l与圆C的交点，故D正确．故选ACD.
8. BD　易知直线l恒过定点P(0，1)，由x2＋y2－2x＋2y－7＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝9，则圆E的圆心为E(1，－1)，半径r＝3. 对于A，当PE⊥l时，圆心E到直线l的距离最大，最大值为PE＝＝，故A错误；对于B，由A知，当PE⊥l时，弦的长度取最小值，此时kPE＝－2，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x－0)，即x－2y＋2＝0，故B正确；对于C，圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大是圆E的直径，即最大弦长为2r＝6，故C错误；对于D，圆E被直线l分成两段圆弧，大小两段圆弧的长度之比为3∶1，设直线l交圆E于点A，B，则劣弧所对的圆心角为∠AEB＝90°，又r＝3，所以圆心E到直线l的距离d＝＝，整理，得28m2－16m＋1＝0，解得m＝或m＝，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x－7y＋7＝0，故D正确．故选BD.
9. －1　由题意，得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心C(1，1)，半径R＝2.因为∠ACB＝，所以圆心到直线的距离为R sin ＝2×＝.又圆心到直线的距离为d＝，所以＝，解得a＝－1.
10. 4　由题意，得a2＋b2＝c2，x2＋y2＝8的圆心为O(0，0)，半径为r＝2，则圆心O(0，0)到直线ax＋by－2c＝0的距离为d＝＝＝2，由垂径定理，得2＝2×＝4，所以截得的弦长为4.
11. [－1，＋1]　由题意，设MN的中点为D(x，y).因为PM⊥PN，所以PD＝，又＝，所以PD＝，即PD2＝OM2－OD2，则(x－1)2＋y2＝2－(x2＋y2)，化简，得x2－x＋y2＝，即＋y2＝，所以点D的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以由圆的性质，得DPmin＝－，DPmax＝＋.又MN＝2PD，所以MNmin＝－1，MNmax＝＋1，即MN的取值范围为[－1，＋1].
12. (1) 因为过点A的圆O的切线只有一条，
所以点A在圆上，所以12＋a2＝4，解得a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2) 设直线方程为x＋y＝b.
因为直线过点A，所以1＋a＝b，即a＝b－1.①
又圆心到直线的距离d＝，
所以＋＝4.②
由①②，得或
13. (1) 由题意，设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a>0，b>0)，
因为圆C关于直线y＝3x对称，所以b＝3a.
因为圆C与x轴相切，所以r＝b＝3a.
点C(a，b)到y＝x的距离为d1＝＝＝a，
因为圆C被直线y＝x截得的弦长为2，
所以r2＝d＋()2，
所以9a2＝2a2＋7，所以a2＝1.
又a>0，所以a＝1，r＝b＝3a＝3,
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2) 当切线l的斜率不存在时，x＝－2满足题意；
当切线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
又圆C的圆心为(1，3)，半径r＝3，
所以点C到切线l的距离d2＝＝3，解得k＝－，
所以切线方程为y－1＝－(x＋2)，即5x＋12y－2＝0.
综上所述，过点P的圆的切线方程为x＝－2或5x＋12y－2＝0.