2．3　圆与圆的位置关系 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

2．3　圆与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 (2024启东一中期中)圆(x－1)2＋(y－1)2＝9和圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 外切
C. 内切 D. 外离
2 (2024江安中学月考)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝1的公切线有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3 (2024金沙中学月考)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＋2＝0和圆O2：x2＋y2－2x＝0的公共弦AB的垂直平分线的方程为(　　)
A. 3x－y－3＝0 B. x＋3y－1＝0
C. x＋3y＋1＝0 D. 3x＋y－3＝0
4 与圆x2＋(y－3)2＝4 相切，且与点(4，0)的距离为3的直线有(　　)
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
5 (2024泰州中学期中)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋3n等于(　　)
A. 20 B. －20 C. 10 D. －10
6 (2024南京一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
二、 多项选择题
7 (2024东台中学月考)下列圆中，与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　)
A. (x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B. (x－2)2＋(y＋2)2＝9
C. (x－2)2＋(y－2)2＝25
D. (x－2)2＋(y＋2)2＝49
8 已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2
B. 圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为
C. 两圆有两条公切线
D. 若点E在圆O上，点F在圆M上，则EF的最大值为＋3
三、 填空题
9 (2025高邮中学月考)已知圆C：(x－3)2＋y2＝r2(r>0)和圆D：x2＋y2－8y＋7＝0外切，则r＝________．
10 已知点A，B分别在圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为________．
11 (2024徐州侯集高级中学开学考试)已知动圆N经过点A(－6，0)及原点O，P是圆N与圆M：x2＋(y－4)2＝4的一个公共点，则当∠OPA最大时，圆N的半径为________．
四、 解答题
12 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).
(1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线的方程；
(2) 若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．
13 (2024江苏淮安中学月考)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相交于点A，B.
(1) 求经过点A，B的直线方程．
(2) 求△C1AB的面积．
2．3　圆与圆的位置关系
1. A　由题意，得圆(x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心记为O1(1，1)，半径r＝3.由x2＋y2－8x＋6y＋9＝0，得(x－4)2＋(y＋3)2＝16，所以该圆的圆心为O2(4，－3)，半径R＝4，所以两圆的圆心的距离O1O2＝＝5.因为1＝R－r2. D　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为(0，3)，半径为1，所以两圆的圆心距为＝5>1＋3，所以两圆外离，故两圆的公切线有4条．
3. D　x2＋y2－4x＋6y＋2＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝11，则圆心为O1(2，－3).x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为O2(1，0)，所以公共弦AB的垂直平分线即为直线O1O2，即＝，整理，得3x＋y－3＝0.
4. C　与点(4，0)的距离为3的直线可以转化为以点 A(4，0)为圆心，半径R＝3的圆的切线，则所求直线即为两圆的公切线．圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为C(0，3)，半径r＝2.因为CA＝5＝R＋r，所以两圆的位置关系为外切，有3条公切线，即所求的直线有3条．
5. B　由圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心为(1，3)，半径为.若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心(1，3)在圆C2与圆C1的公共弦上．将圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0与圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0作差，得两圆公共弦所在直线方程为(m＋2)x＋(n＋6)y＝0，将点(1，3)代入，得(m＋2)×1＋(n＋6)×3＝0，所以m＋3n＝－20.
6. C　由＝2，得PA＝2PO，则＝2，整理，得(x＋1)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹是圆心为(－1，0)，半径为R＝2的圆．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r＝1，两圆的圆心距为＝，满足1＝R－r<7. BCD　由题意，得圆C的圆心为C(－1，2)，半径r＝2.对于A，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.因为C1C＝∈(r1－r，r1＋r)，所以两圆相交，不满足条件；对于B，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，因为C2C＝5＝r＋r2，所以两圆外切，满足条件；对于C，圆心C3(2，2)，半径r3＝5，因为C3C＝3＝r3－r，所以两圆内切，满足条件；对于D，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，因为C4C＝5＝r4－r，所以两圆内切，满足条件．故选BCD.
8. BCD　对于C，因为圆O：x2＋y2＝4，所以圆心为O(0，0)，半径R＝2.因为圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为M(－2，1)，半径r＝1，则R－r9. 2　由题意，得圆C的圆心为(3，0)，半径为r，圆D的圆心为(0，4)，半径为3，所以两圆的圆心距为＝5.因为两个圆外切，所以r＋3＝5，解得r＝2.
10. 2－4　由题意，得两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆外离，所以A，B两点之间的最短距离为2－4.
11. 3　因为动圆N经过点A(－6，0)及原点O，记AO的中点为B，则圆心在直线x＝－3上．如图，设圆N半径为R，∠OPA＝θ，则∠ANO＝2θ，∠BNO＝θ，所以sin ∠OPA＝sin ∠BNO＝＝，当∠OPA最大时，R最小，此时两圆外切．设动圆N的圆心为N(－3，t)，又圆M：x2＋(y－4)2＝4的圆心M(0，4)，半径r＝2，所以R＋2＝MN，即＋2＝，解得t＝0，所以R＝3，即圆N的半径为3.
12. (1) 由圆O1的方程，得圆心为O1(0，－1)，半径 r1＝2，设圆O2的半径为r2，
由题意，得圆心距O1O2＝＝2，
由两圆外切可得r1＋r2＝O1O2，
即2＋r2＝2，可得r2＝2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝(2－2)2.
联立
作差，得x＋y＋1－2＝0.
故内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2) 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线方程，即4x＋4y＋r－8＝0，
可得圆心O1到直线AB的距离为d＝＝.
由弦长AB＝2＝2，可得d2＝2，
即＝2，可得r＝4或r＝20，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
13. (1) 由得2x＋4y－5＝0，
所以直线AB的方程为2x＋4y－5＝0.
(2) 点C1(0，0)到直线AB的距离d＝＝，
所以AB＝2＝，
所以△C1AB的面积为S△C1AB＝AB×d＝××＝.