3.1.2 椭圆的几何性质 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

3．1.2　椭圆的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝1，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2 椭圆＋＝1与＋＝1(0A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于点F2，AB＝4，F1F2＝2，则椭圆的长轴长为(　　)
A. 6 B. 3 C. 2 D.
4 (2024扬州红桥高级中学期中)已知点F1(－3，0)，F2(3，0)，若圆C：x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，使得PF1＋PF2＝10，则实数r的取值范围是(　　)
A. [3，5] B. (0，5] C. [4，5] D. [16，25]
5 (2024启东中学期末)已知点A(m，n)在椭圆＋＝1上，则2m2＋n2的最大值是(　　)
A. 6 B. 8 C. 3 D. 2
6 设m为正实数，椭圆C：＋＝1长轴的两个端点是A1，A2.若椭圆C上存在点P满足∠A1PA2＝120°，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，1]∪[9，＋∞) B. (0，1]∪[3，＋∞)
C. (0，]∪[4，＋∞) D. (0，]∪[9，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024保定唐县一中月考)已知椭圆C：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的焦点在x轴上
B. 椭圆C的长轴长是2
C. 椭圆C的焦距为4
D. 椭圆C的离心率为
8 (2024通州中学月考)已知椭圆C：x2＋4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的离心率为
B. PF1＋PF2＝8
C. PF1的最大值为4＋2
D. 使∠F1PF2为直角的点P有4个
三、 填空题
9 已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是________．
10 (2024海门中学月考)已知B是椭圆＋y2＝1的上顶点，M是椭圆上的任意一点，则MB的最大值为________．
11 (2024白蒲高级中学月考)椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别是F1，F2，若P为该椭圆上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024镇江中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(－2，0)，且两个焦点和短轴的两个顶点围成四边形的面积为4，求椭圆C的标准方程和离心率．
13 已知椭圆C关于x轴，y轴都对称，并且经过两点A(0，)，B.
(1) 求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2) 直线l经过点(－1，0)，且垂直于椭圆的长轴，与椭圆交于D，E两点，求△BDE的面积．
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2 在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为(　　)
A. 30cm B. 10cm C. 20cm D. 10 cm
3 (2024上海二中月考)若直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则过点P(m，n)的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
4 (2024衢州中学期末)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一动点，且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024南京一中月考)已知定点M(m，0)，P为椭圆C：＋y2＝1上一动点，当PM取得最小值时，P恰为椭圆C的右顶点，则实数m的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B.
C. [，＋∞) D. [2，＋∞)
6 (2024洛阳一中期末)已知椭圆C：＋＝1，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝90°，r为△F1PF2的内切圆的半径，则r的值为(　　)
A. 2＋ B. 2－
C. 2－ D. 2＋
二、 多项选择题
7 (2024淄博实验中学期中)已知椭圆＋＝1(0A. 椭圆的短轴长为
B. AF2＋BF2的最大值为8
C. 椭圆的离心率为
D. 椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°
8 已知椭圆E：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若椭圆E的离心率为，则m＝8
B. 若m>9，则椭圆E的焦点坐标为(0，±)
C. 若0D. 不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点
三、 填空题
9 (2024如东中学月考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为________．
10 已知椭圆＋＝1，F1，F2为椭圆的两个焦点，O为坐标原点，P为椭圆上一点，且cos ∠F1PF2＝，则PO＝________．
11 (2024启东中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(m>4)，A(－2，2)是椭圆内一点，B(0，－2)，若椭圆上存在一点P，使得PA＋PB＝8，则实数m的取值范围是________；当m取得最大值时，椭圆C的焦距为________．
四、 解答题
12 设椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且PF1⊥PF2.求：
(1) 椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
(2) △F1PF2的面积；
(3) 点P的坐标．
13 (2024海安中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点P.
(1) 若P(，－)，BP＝，求椭圆C的方程；
(2) 若直线AB与直线AP的斜率之比是－2，证明：为定值，并求出定值．
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
一、 单项选择题
1 (2024白蒲高级中学月考)椭圆＋＝1与椭圆＋＝1的(　　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
2 (2024锡山中学月考)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，若过点F的直线l与圆x2＋y2＝b2相切，且直线l的倾斜角为150°，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
3 (2024湖南师大附中月考)如图，用一个与圆柱底面成θ的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为1，θ＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆的长轴长等于2
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是＋x2＝1
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2
4 (2024同安一中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，过点F2的直线交椭圆于M，N两点，若OM＝c(O为坐标原点)，MF1＝3NF2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024怀化一中期末)设F1为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，若△AF1B周长的取值范围为(m，3m]，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024海安中学月考)已知F1(－c，0)，F2(c，0)分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线l：x＝y＋c与椭圆E的一个公共点，满足PF1⊥PF2，且S△PF1F2＝24，则椭圆E的方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋y2＝1
二、 多项选择题
7 (2024江安中学月考)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1－PF2＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. PF1＝5，PF2＝3
B. 椭圆的离心率为
C. △PF1F2的面积为12
D. △PF1F2的外接圆面积为
8 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. △ABF2的周长为12
B. 椭圆的离心率为
C. AF2＋BF2的最大值为
D. △ABF2面积的最大值为3
三、 填空题
9 已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为________．
10 (2024南通如东期中)在△ABC中，AC⊥BC，sin A＝，以A，C为焦点且经过点B的椭圆的离心率记为e1，以B，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率记为e2，则＝________．
11 (2024重庆一中期末)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，O为坐标原点．直线y＝k(x－c)，k＞0与圆相交于M，N两点，且满足NF2＝2MF2＝2，MF1＝MN，则点M的坐标为________．
四、 解答题
12 (2024启东汇龙中学月考)“神舟十八号”载人飞船成功发射进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离地球表面最近的距离约为200 km，最远的距离约为350 km.已知地球半径约为6 371 km，建立平面直角坐标系，求“神舟十三号”飞行的椭圆轨道方程．
13 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P为直线x＝上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP.
(1) 若椭圆的离心率为，短轴长为2，求椭圆的方程；
(2) 若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
1. B　由椭圆的标准方程＋＝1，得a2＝，b2＝，则c2＝，所以椭圆的离心率e＝＝.
2. D　因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.因为椭圆＋＝1(03. A　由题意，得c＝，＝4.因为c2＝a2－b2，所以a＝3，b＝，所以所求椭圆的长轴长为2a＝6.
4. C　因为PF1＋PF2＝10>F1F2＝6，所以动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝10，2c＝6，所以b＝＝4.又点P在圆C上，所以椭圆与圆C有公共点，所以4≤r≤5，即实数r的取值范围是[4，5].
5. B　由题意，得＋＝1，则m2＝4－2n2，所以2m2＋n2＝8－3n2.因为－≤n≤，所以0≤n2≤2，所以2≤8－3n2≤8，即2≤2m2＋n2≤8，所以2m2＋n2的最大值8.
6. B　由题意，m为正实数，当椭圆的焦点在x轴上时，则m2<3，且m>0，所以03，则m>，此时当点P位于短轴的端点时，∠A1PA2取最大值，要使椭圆上存在点P满足∠A1PA2＝120°，则∠A1PA2≥120°，∠A1PO≥60°，所以tan ∠A1PO＝≥tan 60°＝，解得m≥3.综上，实数m的取值范围是(0，1]∪[3，＋∞).
7. ABD　设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a＝，b＝2，所以c＝＝，所以椭圆C的长轴长为2，椭圆C的焦距为2，椭圆C的离心率e＝＝＝，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
8. BCD　由题意，得椭圆C的方程可化为＋＝1，设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a＝4，b＝2，所以c＝2，所以e＝＝，故A错误；由椭圆定义可知PF1＋PF2＝2a＝8，故B正确；由椭圆的性质知(PF1)max＝a＋c＝4＋2，故C正确；因为b9. ∪　方程x2＋my2＝1表示椭圆，则m>0，且m≠1，标准方程为x2＋＝1.当01时，a2＝1，b2＝，则e2＝＝＝1－∈，解得m>.综上，实数m的取值范围是∪(，＋∞).
10. 　设点M(x0，y0)，则＋y＝1，所以MB＝＝＝＝＝.又因为y0∈[－1，1]，所以当y0＝－时，MB取最大值，所以MBmax＝＝.
11. 　由题意，得PF1＋PF2＝2a，又PF1＝5PF2，所以PF1＝，PF2＝.因为PF1－PF2≤F1F2，所以≤2c，可得e≥.又012. 由题意，得a＝2，×2c×2b＝4，
即bc＝2，
又c2＝a2－b2，所以b＝c＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝.
13. (1) 当椭圆C的焦点在x轴上时，
设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝，＋＝1，c＝，
解得a2＝4，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝，焦点坐标为(±1，0)；
当椭圆C的焦点在y轴上时，
设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a＝，＋＝1，c＝，
解得a2＝3，b2＝4，则a综上，椭圆C的离心率为，焦点坐标为(±1，0).
(2) 将x＝－1代入椭圆C的方程可得＋＝1，
解得y＝±.
不妨取点D，E，
又点B，所以DE⊥BE，
所以△BDE的面积S＝DE·BE＝××2＝3，即△BDE的面积为3.
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
1. C　由FB1⊥MB2，且M是FB1的中点，得B1B2＝B2F，即2b＝a，所以a2＝4b2＝4(a2－c2)，即＝，所以e＝＝.
2. C　在大椭圆中，a＝20 cm，b＝10 cm，则c＝＝10 cm，所以大椭圆的离心率e＝.因为两椭圆的扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，离心率e′＝，结合题意知b′＝5 cm，所以(e′)2＝＝，解得a′＝10 cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
3. C　由题意，得圆x2＋y2＝5的圆心(0，0)，半径为.因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以>，所以m2＋n2<5，所以＋≤＋<1，则点P(m，n)在椭圆内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1必有2个公共点．
4. B　由题意，得椭圆长轴的两顶点分别为A1(a，0)，A2(－a，0)，设点P(m，n)，则＋＝1.由kA1P·kA2P＝－，得·＝－，即＝－，所以＝－，可得＝，所以＝，所以＝.
5. B　设点P(x0，y0)，则＋y＝1，所以PM＝＝＝，x0∈[－2，2].令f(x)＝x－2mx0＋m2＋1，易知其图象的对称轴方程为x＝，因为当x＝2时PM取得最小值，即f(x)取到最小值，所以≥2，解得m≥，即实数m的取值范围是.
6. C　由题意，设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距长为c，则a＝2，b＝，c＝＝.又P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝90°，由椭圆定义及圆切线性质知，r＝＝a－c＝2－.
7. BD　易知当AB⊥x轴，即线段AB为通径时，AB最短，所以AB＝＝4，解得b2＝6，所以椭圆方程为＋＝1.对于A，椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；对于B，因为△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝12，且ABmin＝4，所以(AF2＋BF2)max＝12－ABmin＝8，故B正确；对于C，因为c＝＝，a＝3，所以离心率e＝＝，故C错误；对于D，易知当点P位于短轴顶点时，∠F1PF2最大，此时PF1＝PF2＝a＝3，F1F2＝2c＝2，所以cos ∠F1PF2＝>0. 又∠F1PF2为三角形内角，所以∠F1PF2∈，所以椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故D正确．故选BD.
8. BCD　对于A，当椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上时，此时a＝3，c＝1，m＝b2＝a2－c2＝32－12＝8；当椭圆E：＋＝1的焦点在y轴上时，此时a＝，b＝3，c＝＝，e＝＝＝，解得m＝.综上，若椭圆E的离心率为，则m＝8或m＝，故A错误；对于B，若m>9，则椭圆E的焦点在y轴上，a＝，b＝3，c＝＝，即椭圆E的焦点坐标为(0，±)，故B正确；对于C，若09. ＋＝1　由题意，得2a＋2c＝16.又＝，a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
10. 　由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝，所以PF1＋PF2＝2a＝6①，则PF＋PF＋2PF1·PF2＝36.由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2＝(2)2.又cos ∠F1PF2＝，所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝12②.联立①②，解得PF1·PF2＝，所以PF＋PF＝21.又＝(1＋)，所以PO＝||＝|＋|＝＝＝.　
11. (6＋2，25]　4　因为A(－2，2)是椭圆内一点，所以＋<1，则解得m>6＋2.因为a2＝m，b2＝m－4，所以c＝2，易知B(0，－2)为椭圆的下焦点．设椭圆的上焦点为F(0，2)，则PA＋PB＝2＋PA－PF.又|PA－PF|≤AF＝2，当且仅当P，A，F三点共线时，等号成立，所以2－2≤PA＋PB≤2＋2，即2－2≤8≤2＋2，解得9≤m≤25. 综上，6＋212. (1) 由题意，得a＝5，b＝3，c＝4，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，离心率为.
(2) 因为点P在椭圆上，
所以PF1＋PF2＝10，
则PF＋PF＋2PF1·PF2＝100.
又因为PF1⊥PF2，
所以PF＋PF＝4c2＝64，
所以PF1·PF2＝18，
所以△F1PF2的面积S△F1PF2＝PF1·PF2＝9.
(3) 设点P(x，y).
由S△F1PF2＝F1F2·|y|，得y＝±.
将y＝±代入椭圆方程，得x＝±，
所以点P的坐标为或或或.
13. (1) 由题意，得点B(0，b)，
又P，BP＝，
所以＋＝，解得b＝.
又点P在椭圆C上，
所以＋＝1，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设点A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，直线BF：＋＝1，
由可得P.
所以直线AP的斜率kAP＝＝.
又直线AB的斜率kAB＝，所以＝，
整理，得2b2＝2ac＋a2＋c2，
所以2(a2－c2)＝(a＋c)2，可得a＝3c，
所以b＝2c，则点P，
所以S△APF＝AF·|－|＝，
S△BOF＝OF·OB＝c2，
所以＝＝为定值．
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. D　椭圆＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.椭圆＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为，所以两椭圆的焦距相等．
2. A　由题意，得F(－c，0)(c>0)，则直线l：y＝－(x＋c)，即x＋y＋c＝0.因为直线l与圆x2＋y2＝b2相切，所以＝b，即c＝2b，所以c2＝4b2＝4a2－4c2，所以e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
3. C　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，易知椭圆的长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径．由截面与圆柱底面所成锐二面角θ＝，得2a＝＝4，解得a＝2，故A错误；显然b＝1，所以c＝＝，所以离心率e＝＝，故B错误；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋x2＝1，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝2－，故D错误．
4. B　如图，设NF2＝m，则MF1＝3m.因为MF1＋MF2＝2a，所以MF2＝2a－3m，即MN＝2a－2m.因为NF1＋NF2＝2a，所以NF1＝2a－m.因为OM＝c＝F1F2，所以∠F1MF2＝90°.在Rt△MF1N中，由MF＋MN2＝NF，得(3m)2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，解得m＝，所以MF1＝MF2＝a，所以a2＋a2＝(2c)2，即a2＝2c2，所以e2＝＝，所以e＝.
5. A　令椭圆C的右焦点为F2(c，0)，则AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝2a－AF2＋2a－BF2＋AB＝4a－(AF2＋BF2)＋AB≤4a－AB＋AB＝4a，当且仅当A，F2，B三点共线时取等号，所以3m＝4a，即m＝.又AF1＋BF1＋AB＞AF1＋AF1＝2AF1>2(a－c)，所以m＝2(a－c)，则＝2(a－c)，解得＝，所以椭圆C的离心率为.
6. B　因为点P在椭圆E上，所以PF1＋PF2＝2a，可得(PF1＋PF2)2＝4a2，即PF＋PF＋2PF1·PF2＝4a2.因为PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝4c2，所以PF1·PF2＝2(a2－c2).因为S△PF1F2＝24，所以PF1·PF2＝a2－c2＝b2＝24.由直线l：x＝y＋c，得直线PF2的方程为y＝－(x＋c).联立解得即P.因为点P在椭圆上，所以＋＝1.又a2＝b2＋c2，所以a4－48a2－49＝0，可得a2＝49，所以椭圆E的方程为＋＝1.
7. ABD　由题意，得a＝4，b＝2，c＝＝2.如图，因为P是椭圆上的点，所以PF1＋PF2＝2a＝8.对于A，因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，故A正确；对于B，离心率为e＝＝，故B正确；对于C，因为PF＝25＝PF＋F1F，所以△PF1F2为直角三角形，且PF2⊥F1F2，所以S△PF1F2＝×3×4＝6，故C错误；对于D，由C知，△PF1F2的外接圆直径为线段PF1，则该圆半径为，面积为，故D正确．故选ABD.
8. AC　对于A，△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝12，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝＝2，所以椭圆的离心率为＝，故B错误；对于C，要使AF2＋BF2＝12－AB最大，只需AB最小．根据椭圆的性质可知，当AB⊥x轴时，AB取最小，且ABmin＝＝，所以(AF2＋BF2)max＝，故C正确；对于D，设直线AB的方程为x＝ky－2，代入椭圆方程并整理，得(9＋5k2)y2－20ky－25＝0，则Δ＝900(k2＋1)>0，且yA＋yB＝，yAyB＝－，所以S△ABF2＝F1F2·|yA－yB|＝2＝60·.令t＝k2＋1≥1，则S△ABF2＝60·＝≤＝3，当且仅当t＝时，等号成立，显然等号取不到．又y＝25t＋在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，y最小，此时S△ABF2最大，最大值为，故D错误．故选AC.
9. ∪　由题意知，＋>1，解得k<－或k>，故实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
10. 　依题意，可设BC＝3，AC＝4，AB＝5，以A，C为焦点且经过点B的椭圆方程为＋＝1，以B，C为焦点且经过点A的椭圆方程为＋＝1.由椭圆定义可得2a1＝AB＋BC＝5＋3＝8，2c1＝AC＝4，所以e1＝＝，同理可得2a2＝AB＋AC＝5＋4＝9，2c2＝BC＝3，则 e2＝＝＝，所以＝.
11. 　由题意，得MF2＝1，NF2＝2，所以MF1＝MN＝3，则2a＝MF1＋MF2＝4.因为2a＝NF1＋NF2＝4，所以NF1＝2，所以N为椭圆的下顶点，即N(0，－b).在△F1NM中，由余弦定理，得cos ∠F1NM＝＝，所以在△F1NF2中，F1F2＝＝＝2c，解得c＝，所以b＝＝，所以椭圆方程为＋＝1，所以点N，F2.因为＝2，所以点M的坐标为.
12. 如图，以飞船轨道的中心为原点，以千米为单位，
建立平面直角坐标系，地球中心在F2(c，0)，
设飞船轨道的方程为＋＝1(a>b>0)，
则a－c＝OA－OF2＝AF2＝6 371＋200＝6 571，
a＋c＝OB＋OF2＝BF2＝6 371＋350＝6 721，
解得a＝6 646，c＝75，
所以b2＝6 6462－752＝44 163 691，
所以飞船轨道的方程为＋＝1.
13. (1) 设椭圆的焦距为2c，
由题意可得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2) 设P，Q(x0，y0).
因为FP⊥FQ，
所以△FPQ的外接圆为以PQ为直径的圆，即(x－x0)＋(y－t)(y－y0)＝0.
由题意知，焦点F，原点O均在该圆上，
所以(c－x0)＋ty0＝0，x0＋ty0＝0，联立两式，消去ty0，可得(c－x0)－x0＝0，
所以x0＝c－.
因为点P，Q均在x轴上方，
所以－a所以e2＋e－1＞0.
因为0＜e＜1，所以故椭圆离心率的取值范围为.