4.3.1 等比数列的概念及通项公式 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 4.3.1 等比数列的概念及通项公式 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 25.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-18 12:25:42 | ||
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文档简介
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
一、 单项选择题
1 (2024平潮中学月考)下列说法中，错误的是( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是R
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，82，…成等比数列
2 (2024高邮中学月考)数列1，－，，－，，…的一个通项公式为( )
A. B. (－)n
C. (－1)n()n-1 D. (－1)n+1()n-1
3 (2025南通中学月考)设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A. 31.5 B. 160
C. 79.5 D. 159.5
4 (2025淮安中学期中)若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A. 3 B. －3
C. ±3 D. ±9
5 在正项等比数列{an}中，a3＋a4＋a5＝7，则{an}的公比为( )
A. －2或3 B. 3
C. 2或－3 D. 2
6 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a9等于( )
A. 29－3 B. 29＋3
C. 210－3 D. 210＋3
二、 多项选择题
7 (2024常州北郊高级中学期末)已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则下列结论中正确的是( )
A. 是等差数列
B. {an＋1－an}是等差数列
C. {log3an}是等差数列
D. {anan＋1}是等比数列
8 在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是( )
A. a1＝1
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. a1×a2×a3×…×a10＝255
D. 数列{lg an}是公差为2的等差数列
三、 填空题
9 (2024盐城一中月考)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝________．
10 (2024海门中学月考)在数列{an}中，a1＝， m，n∈N*，am＋n＝aman，则a6＝________．
11 (2025高邮期初)已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1＋a2＋a3＝1，a5＝a4＋2a3，则a7＋a8＋a9＝________．
四、 解答题
12 (2024白蒲中学月考)在等比数列{an}中，
(1) 已知a3＝4，a7＝16，且公比q>0，求an；
(2) 已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式an.
13 已知数列{an}是等比数列，且a1＋2a2＝0，a3＋a4＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 解关于n的不等式an≥.
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
1. B 由等比数列的定义易得A，C，D均正确；等比数列的公比不能为0，故B错误．
2. D 根据题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，所以该数列的通项公式为1×＝(－1)n+1×.
3. C 因为1＋2an＝(1＋2a1)·2n-1＝5·2n-1，所以1＋2a6＝5×25，所以a6＝＝79.5.
4. C 设这5个数组成的等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a5＝81.因为a5＝a1·q4, 所以81＝1×q4，解得q＝±3.
5. D 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).由题意，得a3＋a3q＋a3q2＝7，即a3(1＋q＋q2)＝7|a3|.由an>0，得1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍去).
6. C 因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，且a1＋3＝4≠0，可得数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋3＝4×2n-1＝2n+1，即an＝2n+1－3，所以a9＝210－3.
7. ACD 对于A，由题意，得＝2，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； 对于B，因为an＋1－an＝2n－2n-1＝2n-1，所以{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误；对于C，因为log3an＝log32n-1＝(n－1)log32，所以数列{log3an}是首项为0，公差为log32的等差数列，故C正确；对于D，因为anan＋1＝2n-1·2n＝22n-1＝2×4n-1，所以{anan＋1}是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确．故选ACD.
8. BC 设等比数列{an}的公比为q.因为在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，所以a2a3＝a1a4＝32，则 解得或(舍去)，所以q＝2，a1＝＝2，故A错误；可得an＝2×2n-1＝2n，所以＝＝，当n＝1时，＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；a1×a2×a3×…×a10＝21×22×23×…×210＝21+2+3+…+10＝255，故C正确；因为 an＝2n，所以lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以数列{lg an}不是公差为2的等差数列，故D错误．故选BC.
9. －4 由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1.当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件；当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件．
10. 令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝a1qn-1＝×＝，故a6＝＝.
11. 64 因为数列{an}为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，所以a1>0，q>0，由a5＝a4＋2a3，得a1q4＝a1q3＋2a1q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以a7＋a8＋a9＝(a1＋a2＋a3)q6＝1×26＝64.
12. (1) 因为＝＝q4＝4，所以q2＝2.
又q>0，所以q＝，
所以an＝a3qn-3＝4×()n-3＝2.
(2) 因为a3＝a1×q2，即8＝2q2，
所以q2＝4，所以q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn-1＝2×2n-1＝2n；
当q＝－2时， an＝a1qn-1＝2×(－2)n-1＝(－1)n-12n，
所以数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n-12n.
13. (1) 因为a1＋2a2＝0，
所以公比q＝＝－.
又因为a3＋a4＝，即a1(q2＋q3)＝，
将q＝－代入上式，得a1＝1，
所以an＝a1qn-1＝ (n∈N*).
(2) 由an≥，得≥，
解得n≤5，且n是奇数，
所以原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5.
一、 单项选择题
1 (2024平潮中学月考)下列说法中，错误的是( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是R
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，82，…成等比数列
2 (2024高邮中学月考)数列1，－，，－，，…的一个通项公式为( )
A. B. (－)n
C. (－1)n()n-1 D. (－1)n+1()n-1
3 (2025南通中学月考)设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A. 31.5 B. 160
C. 79.5 D. 159.5
4 (2025淮安中学期中)若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A. 3 B. －3
C. ±3 D. ±9
5 在正项等比数列{an}中，a3＋a4＋a5＝7，则{an}的公比为( )
A. －2或3 B. 3
C. 2或－3 D. 2
6 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a9等于( )
A. 29－3 B. 29＋3
C. 210－3 D. 210＋3
二、 多项选择题
7 (2024常州北郊高级中学期末)已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则下列结论中正确的是( )
A. 是等差数列
B. {an＋1－an}是等差数列
C. {log3an}是等差数列
D. {anan＋1}是等比数列
8 在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是( )
A. a1＝1
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. a1×a2×a3×…×a10＝255
D. 数列{lg an}是公差为2的等差数列
三、 填空题
9 (2024盐城一中月考)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝________．
10 (2024海门中学月考)在数列{an}中，a1＝， m，n∈N*，am＋n＝aman，则a6＝________．
11 (2025高邮期初)已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1＋a2＋a3＝1，a5＝a4＋2a3，则a7＋a8＋a9＝________．
四、 解答题
12 (2024白蒲中学月考)在等比数列{an}中，
(1) 已知a3＝4，a7＝16，且公比q>0，求an；
(2) 已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式an.
13 已知数列{an}是等比数列，且a1＋2a2＝0，a3＋a4＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 解关于n的不等式an≥.
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
1. B 由等比数列的定义易得A，C，D均正确；等比数列的公比不能为0，故B错误．
2. D 根据题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，所以该数列的通项公式为1×＝(－1)n+1×.
3. C 因为1＋2an＝(1＋2a1)·2n-1＝5·2n-1，所以1＋2a6＝5×25，所以a6＝＝79.5.
4. C 设这5个数组成的等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a5＝81.因为a5＝a1·q4, 所以81＝1×q4，解得q＝±3.
5. D 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).由题意，得a3＋a3q＋a3q2＝7，即a3(1＋q＋q2)＝7|a3|.由an>0，得1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍去).
6. C 因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，且a1＋3＝4≠0，可得数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋3＝4×2n-1＝2n+1，即an＝2n+1－3，所以a9＝210－3.
7. ACD 对于A，由题意，得＝2，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； 对于B，因为an＋1－an＝2n－2n-1＝2n-1，所以{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误；对于C，因为log3an＝log32n-1＝(n－1)log32，所以数列{log3an}是首项为0，公差为log32的等差数列，故C正确；对于D，因为anan＋1＝2n-1·2n＝22n-1＝2×4n-1，所以{anan＋1}是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确．故选ACD.
8. BC 设等比数列{an}的公比为q.因为在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，所以a2a3＝a1a4＝32，则 解得或(舍去)，所以q＝2，a1＝＝2，故A错误；可得an＝2×2n-1＝2n，所以＝＝，当n＝1时，＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；a1×a2×a3×…×a10＝21×22×23×…×210＝21+2+3+…+10＝255，故C正确；因为 an＝2n，所以lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以数列{lg an}不是公差为2的等差数列，故D错误．故选BC.
9. －4 由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1.当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件；当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件．
10. 令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝a1qn-1＝×＝，故a6＝＝.
11. 64 因为数列{an}为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，所以a1>0，q>0，由a5＝a4＋2a3，得a1q4＝a1q3＋2a1q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以a7＋a8＋a9＝(a1＋a2＋a3)q6＝1×26＝64.
12. (1) 因为＝＝q4＝4，所以q2＝2.
又q>0，所以q＝，
所以an＝a3qn-3＝4×()n-3＝2.
(2) 因为a3＝a1×q2，即8＝2q2，
所以q2＝4，所以q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn-1＝2×2n-1＝2n；
当q＝－2时， an＝a1qn-1＝2×(－2)n-1＝(－1)n-12n，
所以数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n-12n.
13. (1) 因为a1＋2a2＝0，
所以公比q＝＝－.
又因为a3＋a4＝，即a1(q2＋q3)＝，
将q＝－代入上式，得a1＝1，
所以an＝a1qn-1＝ (n∈N*).
(2) 由an≥，得≥，
解得n≤5，且n是奇数，
所以原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5.