4．3.2 等比数列的通项公式及性质 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 4．3.2 等比数列的通项公式及性质 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 27.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-18 12:26:03 | ||
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文档简介
4．3.2 等比数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1 (2024新华中学月考)在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a6的值为( )
A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10
2 (2024启东一中月考)已知{an}为等比数列，若a5a7＝2，则a2a4a8a10的值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3 (2024海门包场中学月考)在等比数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝243，a5＋a6＋a7＋a8＝72，则a7＋a8＋a9＋a10的值为( )
A. B.
C. 32 D. 64
4 (2024镇江一中月考)设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a10＝2a8，则log2(a1a2…a10a11)等于( )
A. 210 B. 211
C. 11 D. 9
5 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋2，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列ak1，ak2，…，akm，…其中k1＝1，则数列{kn}的通项公式为( )
A. kn＝2n－1 B. kn＝2n＋1
C. kn＝2n－2 D. kn＝2n－1
6 (2024盐城八校期末联考)已知在正项等比数列{an}中，a9＝9a7，若存在两项am，an，使aman＝9a，则＋的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024白蒲中学月考)已知数列{an}为等比数列，则下列结论中正确的是( )
A. 数列a2，a4，a8成等比数列
B. 数列a1a2，a3a4，a5a6成等比数列
C. 数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列
D. 数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列
8 (2024苏州期中)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，m，n，p，q∈N*，则下列结论中正确的是( )
A. 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
B. 若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q
C. 若m＋n＝p＋q，则bmbn＝bpbq
D. 若bmbn＝bpbq，则m＋n＝p＋q
三、 填空题
9 (2024三明中学月考)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为________．
10 (2024高邮中学调研)已知{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝，且3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
11 (2024苏州期中)已知等比数列{an}满足a6＋a11＝1，a7a10＝－2，则a1＋a16＝________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)已知{an}为等比数列．
(1) 若a2a4＝，求a1aa5的值；
(2) 若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(3) 若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
13 在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*).
(1) 求a3，a4，a5，a6的值；
(2) 求证：数列{bn}是等比数列．
4．3.2 等比数列的通项公式及性质
1. A 由等比中项的性质，得a＝a2a10＝64，则a6＝±8.又a6＝a2q4>0，故a6＝8.
2. B 因为a5a7＝2，所以a2a4a8a10＝a2a10a4a8＝(a5a7)2＝4.
3. C 设等比数列{an}的公比为q，则a5＋a6＋a7＋a8＝q3(a2＋a3＋a4＋a5)，即243q3＝72，解得q＝，所以a7＋a8＋a9＋a10＝q2(a5＋a6＋a7＋a8)＝×72＝32.
4. C 因为a4a10＝2a8，所以a4a10＝2a4q4，所以＝a6＝2，所以log2(a1a2…a10a11)＝log2(a1a11a2a10…a5a7a6)＝log2a＝log2211＝11.
5. A 因为akn是首项为4，公比为2的等比数列，所以akn＝4·2n-1＝2n+1.又an＝2n＋2，所以akn＝2n+1＝2kn＋2，即kn＝＝2n－1.
6. D 因为a9＝9a7＝a7q2，所以q2＝9，则aman＝9a＝aq2＝(a2q)2＝a，所以m＋n＝2×3＝6，故＋＝×＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时，等号成立，故＋的最小值为.
7. BD 设等比数列{an}的公比为q.由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；易知数列{an}中每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；易知数列{an}的每项都不为0，且＝＝q3，故D正确．故选BD.
8. AC 设等差数列{an}的公差为d，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)·d＝2a1＋(p＋q－2)d＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝ap＋aq，故A正确；当公差d＝0时，{an}是常数列，am＋an＝ap＋aq，但m＋n与p＋q不一定相等，故B错误；设等比数列{bn}的公比为t，若m＋n＝p＋q，则bmbn＝b1tm-1·b1tn-1＝btm＋n-2＝btp＋q-2＝b1tp-1·b1tq-1＝bpbq，故C正确；当公比t＝1时，{bn}是常数列，bmbn＝bpbq，但m＋n与p＋q不一定相等，故D错误．故选AC.
9. －5 由等比中项的性质，得a2＝－b>0, 故b<0，根据b是－1和－25的等比中项有b2＝(－1)×(－25)＝25，解得b＝－5.
10. ·3n-1 由题意，得4a2＝3a1＋a3，即4a1·q＝3a1＋a1q2，所以q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3，又q≠1，所以q＝3，所以an＝·3n-1.
11. － 设等比数列{an}的公比为q.因为a7a10＝a6a11，所以解得或若则q5＝－且a1＝＝－4，此时a1＋a16＝－4(1＋q15)＝－；若则q5＝－2且a1＝＝，所以a1＋a16＝×(1－8)＝－.
12. (1) 在等比数列{an}中，因为a2a4＝，
所以a＝a1a5＝a2a4＝，
所以a1aa5＝×＝.
(2) 由等比中项的性质，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25化简，得a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.
因为an>0，
所以a3＋a5＝5.
(3) 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
13. (1) 因为a1＝2，a2＝3，且数列{anan＋1}是以3为公比的等比数列，
所以anan＋1＝6·3n-1.
由a2a3＝6×3＝18，解得a3＝6.
由a3a4＝6×32＝54，解得a4＝9，
同理可得，a5＝18，a6＝27.
(2) 由anan＋1＝6·3n-1，得an＋1an＋2＝6·3n，
所以＝3，
所以数列{an}的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为2，3，公比为3，
所以a2n－1＝2×3n-1，a2n＝3×3n-1＝3n.
因为bn＝a2n－1＋a2n，所以＝＝＝3，且b1＝a1＋a2＝5，
所以数列{bn}是首项为5，公比为3的等比数列．
一、 单项选择题
1 (2024新华中学月考)在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a6的值为( )
A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10
2 (2024启东一中月考)已知{an}为等比数列，若a5a7＝2，则a2a4a8a10的值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3 (2024海门包场中学月考)在等比数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝243，a5＋a6＋a7＋a8＝72，则a7＋a8＋a9＋a10的值为( )
A. B.
C. 32 D. 64
4 (2024镇江一中月考)设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a10＝2a8，则log2(a1a2…a10a11)等于( )
A. 210 B. 211
C. 11 D. 9
5 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋2，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列ak1，ak2，…，akm，…其中k1＝1，则数列{kn}的通项公式为( )
A. kn＝2n－1 B. kn＝2n＋1
C. kn＝2n－2 D. kn＝2n－1
6 (2024盐城八校期末联考)已知在正项等比数列{an}中，a9＝9a7，若存在两项am，an，使aman＝9a，则＋的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024白蒲中学月考)已知数列{an}为等比数列，则下列结论中正确的是( )
A. 数列a2，a4，a8成等比数列
B. 数列a1a2，a3a4，a5a6成等比数列
C. 数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列
D. 数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列
8 (2024苏州期中)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，m，n，p，q∈N*，则下列结论中正确的是( )
A. 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
B. 若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q
C. 若m＋n＝p＋q，则bmbn＝bpbq
D. 若bmbn＝bpbq，则m＋n＝p＋q
三、 填空题
9 (2024三明中学月考)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为________．
10 (2024高邮中学调研)已知{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝，且3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
11 (2024苏州期中)已知等比数列{an}满足a6＋a11＝1，a7a10＝－2，则a1＋a16＝________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)已知{an}为等比数列．
(1) 若a2a4＝，求a1aa5的值；
(2) 若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(3) 若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
13 在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*).
(1) 求a3，a4，a5，a6的值；
(2) 求证：数列{bn}是等比数列．
4．3.2 等比数列的通项公式及性质
1. A 由等比中项的性质，得a＝a2a10＝64，则a6＝±8.又a6＝a2q4>0，故a6＝8.
2. B 因为a5a7＝2，所以a2a4a8a10＝a2a10a4a8＝(a5a7)2＝4.
3. C 设等比数列{an}的公比为q，则a5＋a6＋a7＋a8＝q3(a2＋a3＋a4＋a5)，即243q3＝72，解得q＝，所以a7＋a8＋a9＋a10＝q2(a5＋a6＋a7＋a8)＝×72＝32.
4. C 因为a4a10＝2a8，所以a4a10＝2a4q4，所以＝a6＝2，所以log2(a1a2…a10a11)＝log2(a1a11a2a10…a5a7a6)＝log2a＝log2211＝11.
5. A 因为akn是首项为4，公比为2的等比数列，所以akn＝4·2n-1＝2n+1.又an＝2n＋2，所以akn＝2n+1＝2kn＋2，即kn＝＝2n－1.
6. D 因为a9＝9a7＝a7q2，所以q2＝9，则aman＝9a＝aq2＝(a2q)2＝a，所以m＋n＝2×3＝6，故＋＝×＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时，等号成立，故＋的最小值为.
7. BD 设等比数列{an}的公比为q.由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；易知数列{an}中每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；易知数列{an}的每项都不为0，且＝＝q3，故D正确．故选BD.
8. AC 设等差数列{an}的公差为d，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)·d＝2a1＋(p＋q－2)d＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝ap＋aq，故A正确；当公差d＝0时，{an}是常数列，am＋an＝ap＋aq，但m＋n与p＋q不一定相等，故B错误；设等比数列{bn}的公比为t，若m＋n＝p＋q，则bmbn＝b1tm-1·b1tn-1＝btm＋n-2＝btp＋q-2＝b1tp-1·b1tq-1＝bpbq，故C正确；当公比t＝1时，{bn}是常数列，bmbn＝bpbq，但m＋n与p＋q不一定相等，故D错误．故选AC.
9. －5 由等比中项的性质，得a2＝－b>0, 故b<0，根据b是－1和－25的等比中项有b2＝(－1)×(－25)＝25，解得b＝－5.
10. ·3n-1 由题意，得4a2＝3a1＋a3，即4a1·q＝3a1＋a1q2，所以q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3，又q≠1，所以q＝3，所以an＝·3n-1.
11. － 设等比数列{an}的公比为q.因为a7a10＝a6a11，所以解得或若则q5＝－且a1＝＝－4，此时a1＋a16＝－4(1＋q15)＝－；若则q5＝－2且a1＝＝，所以a1＋a16＝×(1－8)＝－.
12. (1) 在等比数列{an}中，因为a2a4＝，
所以a＝a1a5＝a2a4＝，
所以a1aa5＝×＝.
(2) 由等比中项的性质，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25化简，得a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.
因为an>0，
所以a3＋a5＝5.
(3) 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
13. (1) 因为a1＝2，a2＝3，且数列{anan＋1}是以3为公比的等比数列，
所以anan＋1＝6·3n-1.
由a2a3＝6×3＝18，解得a3＝6.
由a3a4＝6×32＝54，解得a4＝9，
同理可得，a5＝18，a6＝27.
(2) 由anan＋1＝6·3n-1，得an＋1an＋2＝6·3n，
所以＝3，
所以数列{an}的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为2，3，公比为3，
所以a2n－1＝2×3n-1，a2n＝3×3n-1＝3n.
因为bn＝a2n－1＋a2n，所以＝＝＝3，且b1＝a1＋a2＝5，
所以数列{bn}是首项为5，公比为3的等比数列．