5.1.1 平均变化率 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

5.1.1　平均变化率
一、 单项选择题
1 (2024天星湖中学月考)已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于(　　)
A. B. －
C. 1 D. －1
2 函数y＝f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
3 已知函数f(x)＝ln (x＋1)，则f(1)，，的大小关系为(　　)
A. f(1)<<
B. C. <D. 4 (2024海安中学月考)一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　)
A. kg/m B. kg/m
C. kg/m D. kg/m
5 (2024启东中学月考)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及其邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，其中Δx>0，则等于(　　)
A. 3 B. 3Δx－(Δx)2
C. 3－(Δx)2 D. 3－Δx
6 (2024白蒲中学月考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
加油量(L) 加油时累计里程(km)
第一次 12 35 000
第二次 60 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100 km的平均耗油量为(　　)
A. 6 L B. 8 L
C. 10 L D. 12 L
二、 多项选择题
7 下列关于平均变化率的说法中，正确的是(　　)
A. 函数f(x)＝3x＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3
B. 对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等
C. 一次函数在其定义域内的任一区间上的平均变化率与其对应直线的斜率相等
D. 已知函数y＝x3－2，则当x＝2时，＝(Δx)2＋6Δx
8 (2024阜阳一中月考)如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
三、 填空题
9 函数f(x)＝x-1－1在区间[2，3]上的平均变化率为________．
10 (2024兴化中学月考)已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________．
11 蜥蜴的体温T(单位：℃)与太阳落山后的时间t(单位：min)的关系为 T＝＋15，则从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为________℃/min.
四、 解答题
12 (1) 已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；
(2) 已知函数f(x)＝x2＋1，求f(x)在区间 [2，2＋Δx]上的平均变化率．
13 下表为某水库存水量y(单位：万立方米)与水深x(单位：m)的对照表：
水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35
存水量y/万立方米 0 20 40 90 160 275 437.5 650
(1) 当x从5m增长到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(2) 当x从25m增长到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
(3) 比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义．
5.1.1　平均变化率
1. B　由题意，得Δy＝－(2＋1)＝－.
2. D　根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m＋1，则m＋1＝3，解得 m＝2.
3. C　如图，作出函数f(x)＝ln (x＋1)的图象．由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．因为1<2<3，所以>>，即f(1)>>.
4. B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝(kg/m).
5. D　因为Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝3Δx－(Δx)2，所以＝3－Δx.
6. C　由题意，得第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(L)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(km)，故这段时间，该车每100 km的平均耗油量为×100＝10(L).
7. ABC　对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等，与一次函数对应直线的斜率相等，故A，B，C正确；因为函数y＝x3－2，所以当x＝2时，＝＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，故D错误．故选ABC.
8. BC　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．故选BC.
9. －　函数f(x)＝x-1－1在区间[2，3]上的平均变化率为＝－.
10. k1>k2　当x∈时，平均变化率k1＝＝；当x∈时，平均变化率k2＝＝，所以k1>k2.
11. －1.6　从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为＝－＝－＝－1.6(℃/min).
12. (1) 自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
(2) f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝4Δx＋(Δx)2，
所以f(x) 在区间 [2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝4＋Δx.
13. (1) 根据表格可知，当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝4，
即当x从5 m增长到10 m时，水深每增加1 m，水库存水量增加4万立方米．
(2) 根据表格可知，当x从25 m增长到30 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝32.5，
即当x从25 m增长到30 m时，水深每增加1 m，水库存水量增加32.5万立方米．
(3) 显然4<32.5，所以该水库的水深从5 m增长到10 m时，存水量的平均增长率小于水深从25 m增长到30 m时存水量的平均增长率，说明该水库的存水量的增加随着水深的增长会越来越快．