5.1.2　瞬时变化率——导数 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

5．1.2　瞬时变化率——导数(1)
一、 单项选择题
1 (2024苏州中学月考)曲线y＝－在点处的切线的斜率是(　　)
A. 1 B. －1
C. 4 D. －4
2 曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线方程为(　　)
A. y＝x＋1 B. y＝－2x＋4
C. y＝2x D. y＝4x－2
3 (2025扬州中学月考)已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4 (2024保定六校联盟期中联考)曲线y＝－x3－1 在x＝1处的切线倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
5 若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝－1，b＝1 B. a＝1，b＝－1
C. a＝－2，b＝1 D. a＝2，b＝－1
6 (2024启东中学月考)若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a的值为 (　　)
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. －或1
二、 多项选择题
7 已知曲线y＝f(x)在点(1，3)处的切线过点(0，2)，设曲线y＝f(x)在点(1，3)处的斜率为k，则下列结论中不正确的是(　　)
A. f(1)＝3 B. k＝1
C. f(0)＝2 D. k＝0
8 (2024四川铁路中学期中)过点A(1，2)与函数f(x)＝x3＋x相切的直线为(　　)
A. 2x＋y－4＝0 B. 3x－y－1＝0
C. 4x－y－2＝0 D. 7x－4y＋1＝0
三、 填空题
9 (2024天一中学月考)若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________．
10 (2024江安中学月考)已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________．
11 (2024湖南汉寿一中期中改编)如图，已知函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称，直线l是曲线y＝f(x)在点(0，2) 处的切线，则当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于________．
四、 解答题
12 (2024清江中学月考)试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．
13 求曲线y＝2x－x3在点Q(－1，－1)处的切线方程及该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积．
5．1.2　瞬时变化率——导数(2)
一、 单项选择题
1 (2024南通中学月考)已知一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A. －3 B. 3 C. 6 D. －6
2 (2025淮安中学月考)已知某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的瞬时加速度为(　　)
A. 2 B. －2 C. 8 D. －8
3 (2024海门中学月考)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：m，时间单位：s)，则他在0.25 s时的瞬时速度为(　　)
A. 6.75 m/s B. 6.55 m/s C. 5.75 m/s D. 5.55 m/s
4 (2024常熟中学月考)一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2＋2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝2时的瞬时速度为v2，则等于(　　)
A. B. C. D.
5 一物体的运动方程是S＝t＋，则在t＝3时的瞬时速度是(　　)
A. B. C. 1 D. 2
6 (2024上海曹杨二中月考)大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是(　　)
A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B. 当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C. 当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
二、 多项选择题
7 (2024太仓中学月考)已知某物体的运动方程为S(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列结论中正确的是　(　　)
A. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43
D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70
8 (2024海安中学月考)甲、乙的速度v与时间t的关系如图所示，a(t0)是在t＝t0时的加速度，S(t0)是从t＝0到t＝t0的路程，则下列说法中正确的是(　　)
A. a甲(t0)>a乙(t0) B. a甲(t0)C. S甲(t0)>S乙(t0) D. S甲(t0)三、 填空题
9 (2024南通一中月考)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为________．
10 已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在区间[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为________；估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为________．
11 水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为2.5 m时，圆面积的膨胀率是________．
四、 解答题
12 (2024无锡一中月考)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10-3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
13 已知某人身高1.8m，他以1.2m/s的速度离开路灯，路灯高4.2m.
(1) 求身影的长度y(单位：m)与人距路灯的距离x(单位：m)之间的关系；
(2) 解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
(3) 求当x＝3m时身影长的变化率．
5．1.2　瞬时变化率——导数(3)
一、 单项选择题
1 (2024启东一中月考)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于(　　)
A. －2 B. 2 C. －1 D. 1
2 若函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ，且＝＝4＋Δx，则f′(2)的值为(　　)
A. 2 B. 4
C. 2＋Δx D. 4＋Δx
3 已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 等于(　　)
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
4 (2024南通中学月考)已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
5 (2025江安中学月考)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A. 4x－y－4＝0 B. x＋4y－5＝0
C. 4x－y＋3＝0 D. x＋4y＋3＝0
6 (2024海安中学月考)若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－1，1)
C. (－∞，1) D. (1，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024海门中学月考)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线的倾斜角为的是(　　)
A. (0，0) B. (1，－1)
C. (－1，1) D. (1，1)
8 (2024赣州期中)如图，直线x＝m与曲线y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)，y＝k(x)均相交，则下列结论中正确的是(　　)
A. >
B. >
C. >
D. >
三、 填空题
9 (2024姜堰二中月考)设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________．
10 函数y＝f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y＝2x－8，则＝________．
11 (2024上海青浦一中期中)已知a∈R，曲线y＝f(x)经过点(1，2)且在该点处的切线方程为ax＋y－5＝0，则 ＝________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝10x＋x2.求：
(1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2) ；
(3) ；
(4)f′(x)，f′(5)，f′(0)的值．
13 (2024云阳中学月考)已知函数y＝f(x)＝求此函数在x＝1和x＝4处的导数．
5．1.2　瞬时变化率——导数(1)
1. C　因为Δy＝－＋＝，所以＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，所以函数在点处的切线斜率k＝4.
2. C　因为＝＝2＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数2，所以曲线 y＝x2＋1在点(1，2)处的切线斜率 k＝2，则切线方程为y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
3. D　设切点的坐标为(x0，y0)，＝＝＝Δx＋x0＋1，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x0＋1，即k＝x0＋1＝3，解得x0＝2，故切点的横坐标为2.
4. D　因为＝＝－(Δx)2－Δx－，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－，所以曲线y＝－x3－1 在x＝1 处的切线斜率为－，则切线的倾斜角为.
5. B　由题意，得＝＝2＋a＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2＋a，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2＋a.因为曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，1)处的切线方程为3x－y－2＝0，所以2＋a＝3，解得a＝1.又因为点(1，1)在曲线 y＝f(x)＝x2＋ax＋b上，所以1＋a＋b＝1，解得b＝－1，所以a＝1，b＝－1.
6. A　由题意，得＝＝2a2＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2a2＝2，所以a＝±1，当a＝1时，y＝x2，切点是(1，1)，切线的斜率k＝2，故切线的方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，此时与直线2x－y－1＝0重合，故a＝－1.
7. CD　因为切点为(1，3)，所以f(1)＝3，故A正确；因为(0，2)为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过点(1，3)和(0，2)，得切线斜率k＝＝1，故B正确，D错误．故选CD.
8. CD　当A(1，2)为切点时，＝＝(Δx)2＋3Δx＋4，当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3Δx＋4无限趋近于4，即函数f(x)在点A(1，2)处的切线斜率为4，此时切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故C正确；当A(1，2)不为切点时，设切点坐标为(x0，x＋x0)，＝＝(Δx)2＋3x＋3x0Δx＋1，当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3x＋3x0Δx＋1无限趋近于3x＋1，即函数f(x)在点(x0，x＋x0)处的切线斜率为3x＋1，又切线过点A，所以切线斜率k＝＝3x＋1，化简，得(2x0＋1)(x0－1)2＝0，解得x0＝－或x0＝1(舍去)，故切点的坐标为，切线斜率为，此时切线的方程为y－2＝(x－1)，即7x－4y＋1＝0，故D正确．故选CD.
9. 　根据题意，得＝＝＝2ax＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2ax.设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax＋1，y0＝x0，解得a＝.
10. 5　3　由题意，得m＝a＋2，1＋m＝b.因为＝a－，当Δx无限趋向于0时，无限趋近于a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2.由a－2＝－1，得a＝1，所以m＝3，b＝4，a＋b＝5.
11. －1　方法一：由图可知，曲线y＝f(x) 在点(0，2) 处的切线l的斜率为＝1.易知当Δx无限趋近于0时，可近似为函数f(x)在x＝1处的切线的斜率，由函数f(x)的对称性可知，函数f(x)在x＝1处的切线与f(x)在x＝0处的切线关于直线x＝对称，即两切线斜率互为相反数，故函数f(x)在x＝1处的切线的斜率为－1，即当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于－1.
方法二：根据二次函数图象可设其解析式为y＝f(x)＝a(x＋1)(x－2)＝a(x2－x－2)，由图可知，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线l的斜率为＝1，则＝＝aΔx－a，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－a，即－a＝1，则a＝－1.故＝＝－1－Δx，当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于－1.
12. 设切点的坐标为(x0，y0)，则有y0＝x.
因为＝，且当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，
所以k＝2x0，切线的方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
将点(1，－3)代入，得－3－x＝2x0－2x，
所以x－2x0－3＝0，解得x0＝－1或x0＝3.
当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6.
故所求直线的斜率为－2或6.
13. 因为点Q(－1，－1)在曲线上，设另一点为P(－1＋Δx，2(－1＋Δx)－(－1＋Δx)3)，
则kPQ＝
＝－1＋3Δx－(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，
所以曲线在点Q(－1，－1)处的切线斜率为－1，
则切线的方程为x＋y＋2＝0，
所以该切线与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，－2)，
则该切线与x轴，y轴围成的平面图形的面积为×2×2＝2.
5．1.2　瞬时变化率——导数(2)
1. D　由平均速度和瞬时速度的关系，得当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6，即质点在t＝1时的瞬时速度是－6.
2. C　由题意，得＝＝4t＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4t，则该物体在t＝2时的瞬时加速度为8.
3. D　由题意，得h(0.25＋Δx)－h(0.25)＝10－4.9(0.25＋Δx)2＋8(0.25＋Δx)－(10－4.9×0.252＋8×0.25)＝－4.9(Δx)2＋Δx，所以 ＝ ＝ ＝5.55，则他在0.25 s时的瞬时速度为5.55 m/s.
4. A　由题意，得v1＝＝7.因为＝＝6＋Δt，所以当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于6，所以v2＝6，则＝.
5. B　因为 ΔS＝3＋Δt＋－3－＝Δt－，所以＝1－，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，即物体在t＝3时的瞬时速度为.
6. C　对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；对于B，由图可知，6时到12时甲、乙两地气温的平均变化率均为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；对于C，由图可知，12时到18时甲乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确．
7. ABD　由题意，得该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，故A正确； ＝ ＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确；当t＝5时，S(5)＝7×52＋8＝183，故C错误； ＝ ＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确．故选ABD.
8. BC　加速度是速度对时间的函数的切线斜率，由图可得在t＝t0处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在t＝t0处的加速度小于乙在t＝t0处的加速度，故A错误，B正确；由图可知，从t＝0到t＝t0，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝t0的路程大于乙从t＝0到t＝t0的路程，故C正确，D错误．故选BC.
9. 2　因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，即4a＝8，解得a＝2.
10. 2　6　由题意，得函数f(x)在区间[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数 g(x) 在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝2.由题意知，a＋2＝2×2，所以 a＝2.函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝Δx＋6.当Δx无限趋近于0时，Δx＋6无限趋近于6，故估计函数f(x)在x＝a处的瞬时变化率为6.
11. 2.5π　设水波向外扩张的时间为t s，此时的面积为S(t)，则S(t)＝π(0.5t)2＝0.25πt2.因为水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，所以当半径为2.5 m时，t＝5，则＝0.25π×(10＋Δt)，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2.5π.
12. 因为ΔS＝a(t0＋Δt)2－at＝at0(Δt)＋a(Δt)2，
所以＝at0＋a(Δt)，
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s，
所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
13. (1) 由题意，得＝，即y＝x.
(2) 设离开路灯的时间为t s，人步行速度为v m/s，
则x＝vt，所以y＝vt，
则＝＝v.
故身影长的变化率与人步行的速度成正比．
(3) 由(2)可知身影长的变化率只与速度v有关，与x无关，
则＝×1.2＝0.9，
即当x＝3m时，身影长的变化率为0.9.
5．1.2　瞬时变化率——导数(3)
1. C　因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝ ＝ ＝－1.
2. B　根据导数的定义可知，f′(2)＝ ＝ (4＋Δx)＝4.
3. A　由题意，得 ＝4× ＝4f′(2)＝12.
4. D　因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以＝x＋Δx＋1，所以f′(x)＝ ＝x＋1.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，所以x0＝2.
5. A　设切点的坐标为(x0，y0).因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2，所以切点的坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
6. C　y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝f′(x0)＝ ＝ (1－)＝1－<1.即k<1.
7. BC　设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.故选BC.
8. ABD　 ＝f′(m)， ＝g′(m)， ＝h′(m)， ＝k′(m)，由图可知k′(m)<0，且曲线y＝f(x)在x＝m处比曲线y＝g(x)更陡峭，曲线y＝g(x)在x＝m处比曲线y＝h(x)更陡峭，所以f′(m)>g′(m)>h′(m)>0，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
9. 3　因为f′(1)＝ ＝ ＝a，所以a＝3.
10. －2　由题意，得f′(2)＝2，又f(2)＝2×2－8＝－4，所以＝＝－2.
11. －3　由点(1，2)在直线ax＋y－5＝0上，得a＝3.又曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为ax＋y－5＝0，则f′(1)＝－a＝－3.又f(1)＝2，所以 ＝ ＝f′(1)＝－3.
12. (1) Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2
＝10Δx＋2x(Δx)＋(Δx)2.
(2) ＝＝10＋2x＋Δx.
(3) ＝ (10＋2x＋Δx)＝10＋2x.
(4) 由(2)知，f′(x)＝ ＝10＋2x，
则f′(5)＝10＋2×5＝20，f′(0)＝10＋2×0＝10.
13. 当x＝1时，f(x)＝3x2＋2，
所以Δy＝3(1＋Δx)2＋2－(3×12＋2)＝6Δx＋3(Δx)2，
所以＝＝6＋3Δx，
所以f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
当x＝4时，f(x)＝29＋3(x－3)2，
所以Δy＝29＋3(4＋Δx－3)2－[29＋3(4－3)2]＝6Δx＋3(Δx)2，
所以＝＝6＋3Δx，
所以f′(4)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.