5.2.1 基本初等函数的导数 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 5.2.1 基本初等函数的导数 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 23.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-18 13:03:06 | ||
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文档简介
5.2.1 基本初等函数的导数
一、 单项选择题
1 (2024海门包场中学月考)函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A. 9 B. 6 C. 9ln 3 D. 6ln 3
2 (2024白蒲中学月考)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则实数m的值为( )
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
3 (2024衡水月考)函数f(x)＝x的图象在点(0，f(0)) 处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8) B. (2，8)
C. (－2，8) D. (－2，－8)或(2，8)
5 (2024无锡天一中学期末)若直线y＝3ex为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象的一条切线，则实数a的值为( )
A. e B. e3 C. 3e D. e2
6 (2024江安中学月考)下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A. f(x)＝ex B. f(x)＝x3
C. f(x)＝ln x D. f(x)＝sin x
二、 多项选择题
7 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是( )
A. 若y＝ln 2，则y′＝
B. 若f(x)＝，则f′(3)＝－
C. 若y＝2x，则y′＝2x ln 2
D. 若y＝log2x，则y′＝
8 若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为( )
A. 0 B. 2 C. D.
三、 填空题
9 (2024广州饶平二中月考)已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(3)＝，则m＝________．
10 (2024海门中学月考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
11 一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则的值为________．
四、 解答题
12 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长．
13 (2024辛集中学月考)已知函数f(x)＝ex.
(1) 求f(x)在点(2，e2)处的切线方程；
(2) 若f(x)的一条切线l恰好经过坐标原点，求切线l的方程．
5.2.1 基本初等函数的导数
1. C 由题意，得y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.
2. D 因为f′(x)＝－，所以f′(m)＝－＝－，解得m＝±2.
3. D 因为f′(x)＝x－，显然，当x＝0时，f′(x)＝x－无意义，则f(x)＝x在x＝0处的切线斜率不存在，所以倾斜角为.
4. A 因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A的坐标为(2，8)或(－2，－8).又因为点(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，符合题意，故点A的坐标为(－2，－8).
5. B 设切点的坐标为(x0，ax0).因为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，所以f′(x)＝ax ln a，由导数的几何意义，得所以ax0ln a＝，即ax0ln ax0＝ax0，故ax0＝e，所以ax0ln a＝eln a＝3e，解得a＝e3.
6. D 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.对于A，(ex)′＝ex>0；对于B，(x3)′＝3x2≥0；对于C，定义域为(0，＋∞)，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
7. BCD
8. AD 由曲线C1：y＝x2，得y′＝2x；由曲线C2：y＝x3，得y′＝3x2.设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2.设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3，所以2a＝3m2，且a2＝2m3，所以m＝0或m＝，所以直线l的斜率为0或 .故选AD.
9. －9 由f(x)＝，得f′(x)＝－，则f′(3)＝－.由g(x)＝mx，得g′(x)＝m，则g′(3)＝m，故m＝－9.
10. 4 因为y′＝，所以切线的方程为y－＝·(x－a).令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－a.由题意，得··a＝2，所以a＝4.
11. －1 因为f(x)＝ln x，g(x)＝ex，所以f′(x)＝，g′(x)＝ex，则y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，y＝ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2(1－x2).因为一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，所以则－x2－1＝(1－x2)，解得x2＝，所以＝－1.
12. 设点P(x0，y0).
因为y＝，所以y′＝，
所以kl1＝.
又l1⊥l2，所以kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0).
因为点P在曲线y＝上，所以y0＝.
在直线l2的方程中，当y＝0时，x＝＋x0，
即xQ＝＋x0.
因为PK⊥x轴，所以xK＝xP＝x0，
所以KQ＝|x0－－x0|＝，
故线段KQ的长为.
13. (1) 因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，f′(2)＝e2，
故曲线y＝f(x)在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即e2x－y－e2＝0.
(2) 设切点的坐标为(x0，ex0)，
则f′(x0)＝ex0，切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0).
因为切线经过原点，
故－ex0＝－x0ex0，所以x0＝1，
故f′(1)＝e，切点为(1，e)，切线方程为y－e＝e(x－1)，
即过原点的切线方程为y＝ex.
一、 单项选择题
1 (2024海门包场中学月考)函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A. 9 B. 6 C. 9ln 3 D. 6ln 3
2 (2024白蒲中学月考)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则实数m的值为( )
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
3 (2024衡水月考)函数f(x)＝x的图象在点(0，f(0)) 处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8) B. (2，8)
C. (－2，8) D. (－2，－8)或(2，8)
5 (2024无锡天一中学期末)若直线y＝3ex为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象的一条切线，则实数a的值为( )
A. e B. e3 C. 3e D. e2
6 (2024江安中学月考)下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A. f(x)＝ex B. f(x)＝x3
C. f(x)＝ln x D. f(x)＝sin x
二、 多项选择题
7 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是( )
A. 若y＝ln 2，则y′＝
B. 若f(x)＝，则f′(3)＝－
C. 若y＝2x，则y′＝2x ln 2
D. 若y＝log2x，则y′＝
8 若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为( )
A. 0 B. 2 C. D.
三、 填空题
9 (2024广州饶平二中月考)已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(3)＝，则m＝________．
10 (2024海门中学月考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
11 一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则的值为________．
四、 解答题
12 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长．
13 (2024辛集中学月考)已知函数f(x)＝ex.
(1) 求f(x)在点(2，e2)处的切线方程；
(2) 若f(x)的一条切线l恰好经过坐标原点，求切线l的方程．
5.2.1 基本初等函数的导数
1. C 由题意，得y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.
2. D 因为f′(x)＝－，所以f′(m)＝－＝－，解得m＝±2.
3. D 因为f′(x)＝x－，显然，当x＝0时，f′(x)＝x－无意义，则f(x)＝x在x＝0处的切线斜率不存在，所以倾斜角为.
4. A 因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A的坐标为(2，8)或(－2，－8).又因为点(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，符合题意，故点A的坐标为(－2，－8).
5. B 设切点的坐标为(x0，ax0).因为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，所以f′(x)＝ax ln a，由导数的几何意义，得所以ax0ln a＝，即ax0ln ax0＝ax0，故ax0＝e，所以ax0ln a＝eln a＝3e，解得a＝e3.
6. D 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.对于A，(ex)′＝ex>0；对于B，(x3)′＝3x2≥0；对于C，定义域为(0，＋∞)，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
7. BCD
8. AD 由曲线C1：y＝x2，得y′＝2x；由曲线C2：y＝x3，得y′＝3x2.设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2.设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3，所以2a＝3m2，且a2＝2m3，所以m＝0或m＝，所以直线l的斜率为0或 .故选AD.
9. －9 由f(x)＝，得f′(x)＝－，则f′(3)＝－.由g(x)＝mx，得g′(x)＝m，则g′(3)＝m，故m＝－9.
10. 4 因为y′＝，所以切线的方程为y－＝·(x－a).令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－a.由题意，得··a＝2，所以a＝4.
11. －1 因为f(x)＝ln x，g(x)＝ex，所以f′(x)＝，g′(x)＝ex，则y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，y＝ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2(1－x2).因为一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，所以则－x2－1＝(1－x2)，解得x2＝，所以＝－1.
12. 设点P(x0，y0).
因为y＝，所以y′＝，
所以kl1＝.
又l1⊥l2，所以kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0).
因为点P在曲线y＝上，所以y0＝.
在直线l2的方程中，当y＝0时，x＝＋x0，
即xQ＝＋x0.
因为PK⊥x轴，所以xK＝xP＝x0，
所以KQ＝|x0－－x0|＝，
故线段KQ的长为.
13. (1) 因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，f′(2)＝e2，
故曲线y＝f(x)在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即e2x－y－e2＝0.
(2) 设切点的坐标为(x0，ex0)，
则f′(x0)＝ex0，切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0).
因为切线经过原点，
故－ex0＝－x0ex0，所以x0＝1，
故f′(1)＝e，切点为(1，e)，切线方程为y－e＝e(x－1)，
即过原点的切线方程为y＝ex.