5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
一、 单项选择题
1 下列式子中，不正确的是(　　)
A. (3x2＋cos x)′＝6x－sin x
B. (ln x－2x)′＝－2x ln 2
C. (2sin 2x)′＝2cos 2x
D. ′＝
2 (2024如东中学月考)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
3 已知函数f(x)＝＋ax，若f′(0)＝2，则f(2)的值为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
4 (2024姜堰中学月考)设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A. e2 B. e
C. D. ln 2
5 (2024启东中学月考)设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
A. (0，＋∞) B. (－1，0)∪(2，＋∞)
C. (2，＋∞) D. (－1，0)
6 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，对任意x∈(0，＋∞)都有＝，且f(1)＝e，则f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝ex B. f(x)＝
C. f(x)＝ex ln x＋e D. f(x)＝ex(ln x＋1)
二、 多项选择题
7 (2024启东中学月考)下列运算中正确的是(　　)
A. (ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B. (sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C. ′＝
D. (cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
8 给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列函数中，在区间上是凸函数的是　(　　)
A. f(x)＝cos x＋sin x
B. f(x)＝ln x＋3x
C. f(x)＝－x3＋4x－8
D. f(x)＝xex
三、 填空题
9 (2024黄埭中学期末)已知函数f(x)＝(x2＋ax＋1)ex，若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝________．
10 函数f(x)＝f′sin x－cos x的最大值为________．
11 (2024如东中学月考)已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
四、 解答题
12 求下列函数的导数：
(1) y＝x cos x－(ln x)sin x；
(2) y＝＋.
13 (2025昆山中学月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1) 求a，b的值；
(2) 设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
1. C　(3x2＋cos x)′＝6x－sin x，(ln x－2x)′＝－2x ln 2，(2sin 2x)′＝(4sin x cos x)′＝4(cos2x－sin2x)＝4cos2x，′＝，故C不正确．
2. B　因为f′(x)＝x2－2x，所以k＝f′(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为.
3. A　f(x)＝＋ax，则f′(x)＝＋a.因为f′(0)＝2，所以f′(0)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x，所以f(2)＝＋2＝.
4. B　因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
5. C　由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞).又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞).
6. D　由题意可设g(x)＝，则g′(x)＝.因为对任意x∈(0，＋∞)都有＝，所以g′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋C(C为常数)，所以＝ln x＋C，则f(x)＝ex(ln x＋C).又f(1)＝e，所以f(1)＝e1(ln 1＋C)＝e，解得C＝1，所以f(x)＝ex(ln x＋1).
7. AD　对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故A正确；对于B，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故B错误；对于C，′＝，故C错误；对于D，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故D正确．故选AD.
8. ABC　对于A，由f(x)＝cos x＋sin x，得f′(x)＝－sin x＋cos x，所以f″(x)＝－cos x－sin x＝－sin .当x∈时，x＋∈，sin >0，f″(x)<0恒成立，故A为凸函数；对于B，由f(x)＝ln x＋3x，得f′(x)＝＋3，所以f″(x)＝－.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故B为凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋4x－8，得f′(x)＝－3x2＋4，所以f″(x)＝－6x.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故C为凸函数；对于D，由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，所以f″(x)＝(x＋2)ex.当x∈时，f″(x)>0恒成立，故D不是凸函数．故选ABC.
9. 1　因为f′(x)＝(x2＋ax＋1)′ex＋(x2＋ax＋1)(ex)′＝[x2＋(2＋a)x＋a＋1]ex，所以f′(0)＝a＋1.又切线与直线x＋2y－1＝0垂直，所以－(a＋1)＝－1，解得a＝1.
10. 2　因为f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′cos ＋sin ＝f′＋，解得f′＝，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，故f(x)的最大值为2.
11. 或－4　由题意，得f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4.
12. (1) y′＝cos x＋x(－sin x)－[＋(ln x)cos x]
＝cos x(1－ln x)－sin x.
(2) y′＝＋
＝＋
＝＋.
13. (1) 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
(2) 由(1)，得g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.