5．3.1　单调性 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

5.3.1　单　调　性(1)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝x3－3x＋1的单调减区间是(　　)
A. (1，2)
B. (－1，1)
C. (－∞，－1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
2 (2024无锡一中月考)函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为(　　)
A. B. (0，4)
C. D.
3 已知函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调减区间是(　　)
A. (－1，0)
B.
C. (－∞，－1)，(0，＋∞)
D. ，(0，＋∞)
4 (2025临沂一中期中)已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图，则不等式xf′(x)<0的解集为(　　)
A. ∪(2，＋∞) B. ∪
C. (－∞，0)∪ D. (－1，0)∪(1，3)
5 (2025赣州期中) “－A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 已知函数f(x)的定义域为R，f(1)＝5，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>3＋2x的解集为(　　)
A. (－1，1) B. (2，＋∞)
C. (1，2) D. (－∞，1)
二、 多项选择题
7 (2024太仓中学月考)如图为y＝f′(x)的图象，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数y＝f(x)在区间(－3，0)上是严格减函数
B. 函数y＝f(x)在区间(1，3)上是严格减函数
C. 函数y＝f(x)在区间(0，2)上是严格增函数
D. 函数y＝f(x)在区间(3，4)上是严格增函数
8 (2024启东中学月考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是(　　)
A. f(x)＝2－x B. f(x)＝x2＋2
C. f(x)＝3－x D. f(x)＝cos x
三、 填空题
9 函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
10 函数y＝sin x－x cos x(011 不等式ex－x－2<0的解集中整数解的个数为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).
(1) 若f′(1)＝－2，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
13 (2024昆山中学月考)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1) 求函数y＝f(x)的解析式；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
5．3.1　单　调　性(2)
一、 单项选择题
1 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2] B. (－∞，－1]
C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)
2 (2024南京一中月考)若函数f(x)＝x3－ax2＋x存在单调减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－1，1] B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. (－1，1) D. (－∞，－1]∪[1，＋∞)
3 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上单调，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B. (－3，－1)∪(1，3)
C. (－2，2)
D. 不存在这样的实数k
4 (2024无锡太湖高级中学月考)若对于任意的0A. (0，e] B. (0，e)
C. (0，1) D. (0，1]
5 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f>的解集为(　　)
A. (0，e) B. (0，e2)
C. (e，＋∞) D. (e2，＋∞)
6 (2024南京秦淮科技高中月考)已知函数f(x)＝sin 2x＋a sin x在区间上单调递增，则实数a的最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 (2024无锡锡东高级中学月考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在区间(1，3)上不单调的一个充分且不必要条件是(　　)
A. a∈ B. a∈
C. a∈ D. a∈
8 (2024泰兴中学月考)已知函数f(x)满足f′(x)A. f(3) B. ef(0)C. e2f(－1)>f(1)
D. ef(1)三、 填空题
9 (2024南通海安期中)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调减区间为，则a＝________.
10 (2024徐州一中月考)已知函数f(x)＝(2－x)ex－ax在区间(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
11 (2024上海嘉定一中月考)若方程ln x－kx＝0有且仅有一个实数根，则实数k的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024新华中学月考)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1) 若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 若f(x)存在减区间，求实数a的取值范围．
13 (2025福田期初)已知f(x)＝x＋ln x，g(x)＝mx2＋(2m＋3)x＋1，m∈R.
(1) 求证：f(x)有且仅有1个零点；
(2) 若f(x)在点(1，1)处的切线与g(x)只有一个公共点，求实数m的值．
5.3.1　单　调　性(1)
1. B　因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3.由3x2－3＜0，得－1＜x＜1，故函数f(x)的单调减区间是(－1，1).
2. A　由题意，得f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，令f′(x)>0，解得03. B　因为f′(x)＝3x2－2mx，所以 f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，所以由f′(x)＝3x2＋4x<0，得－4. C　由f(x)的图象可知，f(x)在区间和(2，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，所以不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，0)∪.
5. A　由题意，得若函数f(x)＝x3＋ax2＋2x＋1在定义域R上单调递增，则f′(x)＝3x2＋2ax＋2≥0，即Δ＝4a2－4×3×2≤0，解得－≤a≤.故“－6. D　设g(x)＝f(x)－2x－3，则g′(x)＝f′(x)－2.因为对任意x∈R，f′(x)<2，所以对任意x∈R，g′(x)<0，所以g(x)是R上的减函数．因为f(1)＝5，所以g(1)＝f(1)－2－3＝0.由g(x)>g(1)＝0，得x<1，所以f(x)>3＋2x的解集为(－∞，1).
7. AC　对于A，在区间(－3，0)上f′(x)<0，则函数f(x)在区间(－3，0)上是严格减函数，故A正确；对于B，在区间(1，3)上f′(x)有正有负，故B错误；对于C，在区间(0，2)上f′(x)>0，则函数f(x)在区间(0，2)上是严格增函数，故C正确；对于D，在区间(3，4)上f′(x)<0，则f(x)在区间(3，4)上是严格减函数，故D错误．故选AC.
8. AB　设g(x)＝ex·f(x).对于A，g(x)＝ex·2－x＝是增函数，故A正确；对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)是增函数，故B正确；对于C，g(x)＝ex·3－x＝是减函数，故C错误；对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝ex cos ，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D错误．故选AB.
9. (1，2)　由题意，得f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，故函数f(x)的单调减区间是(1，2).
10. (0，π)　由y＝sin x－x cos x(00，即sin x>0，解得011. 3　设f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，所以函数f(x)＝ex－x－2的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0).又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(1)＝e－1－2<0，f(2)＝e2－2－2>0，f(－1)＝e-1＋1－2<0，f(－2)＝e-2＋2－2>0.根据零点存在定理，存在x1∈(1，2)，使得f(x1)＝0，存在x2∈(－2，－1)，使得f(x2)＝0，所以不等式ex－x－2<0的解集为(x2，x1)，此解集中包含的整数解为－1，0，1，共3个．
12. (1) 由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝－＋＝.
由f′(1)＝＝1－a＝－2，解得a＝3，
故实数a的值为3.
(2) 由(1)知，f′(x)＝.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
因为f′(x)>0的解集为{x|x>a}，f′(x)<0的解集为{x|0所以f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a).
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a).
13. 　(1) 因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，
所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2.①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②，得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
所以函数y＝f(x)的解析式是f(x)＝.
(2) 由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
令f′(x)<0，得x<3－2或x>3＋2；
令f′(x)>0，得3－2所以f(x)＝的单调增区间是(3－2，3＋2)，单调减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞).
5．3.1　单　调　性(2)
1. D　由题意，得f′(x)＝k－，因为函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以k≥.因为y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，所以k≥1，所以实数k的取值范围是[1，＋∞).
2. B　由题意，得f′(x)＝x2－2ax＋1，f(x)存在单调减区间，即存在x使f′(x)<0，所以Δ＝4a2－4>0，解得a<－1或a>1.
3. A　因为f(x)＝x3－12x，所以该函数的定义域为R，且f′(x)＝3x2－12.由f′(x)<0，得－20，得x<－2或x>2，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2).因为函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上单调，所以(k－1，k＋1) (－∞，－2)或(k－1，k＋1) (－2，2)或(k－1，k＋1) (2，＋∞).若(k－1，k＋1) (－∞，－2)，则k＋1≤－2，解得k≤－3；若(k－1，k＋1) (－2，2)，则解得－1≤k≤1；若(k－1，k＋1) (2，＋∞)，则k－1≥2，解得k≥3.综上，实数k的取值范围是(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞).
4. D　对于任意的00，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以05. B　令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上是减函数，不等式f>，即为不等式>1.因为f(1)＝e，所以g(1)＝1.不等式>1，即为不等式g(ln )>g(1)，所以ln <1，所以0<的解集为(0，e2).
6. B　因为f(x)＝sin 2x＋a sin x，所以f′(x)＝2cos 2x＋a cos x＝4cos2x＋a cosx－2，因为x∈，令t＝cos x，则t∈，因为函数f(x)在区间上单调递增，所以对任意的x∈，f′(x)≥0恒成立，即对任意的t∈，4t2＋at－2≥0，可得a≥－4t.因为函数y＝，y＝－4t在区间上单调递减，所以函数g(t)＝－4t在区间单调递减，则a≥g(t)max＝g＝4－2＝2，故实数a的最小值为2.
7. BC　由题意，得f′(x)＝2ax－4a－＝.令g(x)＝2ax2－4ax－1，对称轴为直线x＝1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1与x轴在区间(1，3)上有交点．当a＝0时，显然不成立；当a≠0时，有即解得a>或a<－.四个选项中的范围，，为∪的真子集，故选BC.
8. AC　令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以g(x)单调递减，则>>>>，即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).故选AC.
9. 3　由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－a＋＝，因为f(x)的单调减区间为，所以f′(x)<0的解集为，故方程2x2－ax＋1＝0的两根分别为和1，所以＋1＝，所以a＝3.
10. [1，＋∞)　由题意，得f′(x)＝(1－x)ex－a.由题意知当x∈(0，2)时，f′(x)≤0，即a≥(1－x)ex，令g(x)＝(1－x)ex，x∈(0，2)，则g′(x)＝－xex<0，所以g(x)在区间(0，2)上单调递减，所以a≥g(0)＝1.故实数a的取值范围是[1，＋∞).
11. (－∞，0]∪　由ln x－kx＝0，得k＝(x>0).令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又f(e)＝，且当x→＋∞，f(x)→0；当x→0时，f(x)→－∞，且当012. (1) 由题意知，f′(x)＝2x－4＋≥0在区间[2，＋∞)上恒成立，
则a≤2x2－4x＋2恒成立．
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，x≥2，则a≤g(x)min.
由g(x)在区间[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2，
所以a≤2.
故实数a的取值范围为(－∞，2].
(2) 由题意，得f′(x)＝2x－4＋<0在区间(0，＋∞)上有解，
即a>2x2－4x＋2＝2(x－1)2在区间(0，＋∞)上有解，则a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞).
13. (1) 因为f(x)＝x＋ln x，x∈(0，＋∞)，
则f′(x)＝1＋>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
又f＝＋ln ＝－ln 2＝＝<0，f(1)＝1>0，
所以f·f(1)<0，
由零点存在定理可知，f(x)有且仅有1个零点，且零点位于区间内．
(2) 因为f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2，
所以f(x)在点(1，1)处的切线为y＝2x－1，
因为f(x)在点(1，1)处的切线与g(x)只有一个公共点，
所以2x－1＝mx2＋(2m＋3)x＋1有且仅有1根，
即mx2＋(2m＋1)x＋2＝0有且仅有1根，
当m＝0时，方程变为x＋2＝0即x＝－2，符合条件；
当m≠0时，则有Δ＝(2m＋1)2－8m＝0，
即(2m－1)2＝0，所以m＝.
综上，m＝0或m＝.