5.3.3　最大值与最小值 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

5．3.3　最大值与最小值(1)
一、 单项选择题
1 (2024通州中学月考)函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)
A. π－1 B. －1 C. π D. π＋1
2 已知f(x)＝，则f(x)在区间上的最大值为(　　)
A. B. C. －1 D. 0
3 (2024南通如皋诊断)函数f(x)＝sin x＋的最大值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024绵阳中学一诊)已知实数x>0，则函数y＝xx的最小值为(　　)
A. 0 B. 1 C. D. e－
5 (2024常州中学月考)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)在区间[－2，2]上有最大值20，则函数f(x)在此区间上的最小值为(　　)
A. －37 B. －7 C. －5 D. －11
6 (2024山东实验中学二诊)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A. [－4－2，4－2]
B. [－4－，4－]
C. (－∞，4－]
D. (－∞，4－2]
二、 多项选择题
7 (2024宁德一中期末)已知函数y＝f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)在区间(－2，0)上单调递增
B. 函数f(x)在区间(0，5)上单调递减
C. 函数f(x)在x＝－2处取得极小值
D. 函数f(x)在x＝3处取得最大值
8 已知奇函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，x∈[－2，2]，其导函数f′(x)＝x2－2，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)＝x3－4x，x∈[－2，2]
B. 函数f(x)的极值点有且仅有一个
C. 函数f(x)的最大值与最小值之和等于0
D. 函数f(x)有两个单调增区间
三、 填空题
9 函数f(x)＝x2＋cos x的最小值为________．
10 已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在区间[－2，2]上有最大值3，则函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值是________．
11 (2024海安高级中学月考)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，若存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1，最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为________．
四、 解答题
12 (2024姜堰中学月考)求函数f(x)＝ln (1＋x)－x2在区间[0，2]上的最值．
13 (2024青岛二中期中)已知函数f(x)＝x3＋x2－x，x∈R.
(1) 求f(x)的单调增区间与极值；
(2) 求f(x)在区间上的最大值与最小值．
5．3.3　最大值与最小值(2)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝(x－3)ex的最小值是(　　)
A. e3 B. －e3 C. e2 D. －e2
2 (2024包场中学月考)若函数f(x)＝在区间上的最小值为2e，则实数a的取值范围是(　　)
A. (，] B. [，＋∞)
C. [，1] D. [1，＋∞)
3 (2024天津河东期中)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V最大，则边长x为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024启东一中期中)若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－5，1) B. (－5，1)
C. [－2，1) D. (－2，1)
5 已知函数f(x)＝－ln x－m有零点，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－∞，－ln 2] B. (－∞，2－2ln 2]
C. [－ln 2，＋∞) D. [2－2ln 2，＋∞)
6 (2025如东中学月考)若函数f(x)＝ex＋ln x，满足f(a)f(b)f(c)＞0(0＜a＜b＜c)，若函数f(x)存在零点x0，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＜b B. x0＞b C. x0＜c D. x0＞c
二、 多项选择题
7 (2024南通中学月考)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在区间[－2，1]上的最值情况为(　　)
A. 最大值为12
B. 最大值为5
C. 最小值为－8
D. 最小值为－15
8 下列说法中正确的是(　　)
A. 当x∈R时，ex≥x＋1
B. 当x>0时，ln x≤x－1
C. 当x∈R时，ex≥x2＋x＋1
D. 当x>0时，ln x≥1－
三、 填空题
9 已知不等式x2－a ln x>0(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
10 (2024惠来一中月考)已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元．设入水处的较短池壁长度为x m，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k>0)，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时，x的值为________．
11 (2024锡山中学期末)已知函数g(x)＝ax－ln x＋2，当x∈(0，e2]时，g(x)的最小值为4，则实数a的值为________．
四、 解答题
12 (2025绵阳中学模拟)已知函数f(x)＝ex－ax＋1.
(1) 若a＝0，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若当1＜a＜e时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为3－2ln 2，求实数a的值．
13 (2024日照一中期末)已知函数f(x)＝ax－ln x－3.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2) 若函数g(x)＝f(x)－t(0≤t≤1)在区间[e-5，e2]上总有两个零点，求实数a的取值范围．
5．3.3　最大值与最小值(1)
1. C　因为y′＝1－cos x≥0，所以函数y＝x－sin x在区间上单调递增，故当x＝π时，函数y＝x－sin x取得最大值，为π.
2. B　因为f(x)＝＝x＋－2，且x∈，所以f′(x)＝1－x-2，令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，则当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(1，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间上单调递减，在区间[1，3]上单调递增．又f＝，f(3)＝，所以f(x)在区间上的最大值是.
3. B　由题意，得f′(x)＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cosx－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)，易知－1≤cos x≤1，则cos x＋1≥0，所以当0, f(x)单调递增；当－1≤cos x<，即2kπ＋4. D　对y＝xx的两边同时取自然对数，得ln y＝x ln x(x>0)，令f(x)＝x ln x(x>0)，则f′(x)＝1＋ln x；令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得05. B　由已知，得f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去).当－20, f(x)单调递增，所以当x＝－1时， f(x)取得极小值，即最小值．又f(2)＝22＋a>f(－2)＝2＋a，所以最大值为22＋a＝20，所以a＝－2，所以函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为f(－1)＝－7.
6. D　f(x)＝＝，易知sin x≠－1，令sin x＝t，t∈(－1，1]，则f(x)可转化为g(t)＝，t∈(－1，1]，可得g′(t)＝＝，令g′(t)＝0，解得t＝－1＋或t＝－1－(舍去).当t∈时，g′(t)>0，g(t)单调递增，当t∈时，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)在t＝－1＋处取得极大值，也是最大值，即g(t)≤g＝4－2，当t→－1时，g(t)→－∞，所以f(x)的值域为(－∞，4－2].
7. AC　由f′(x)的图象知，当x<－2或37时，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(－2，3)和(7，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2)和(3，7)，所以f(x)在x＝－2和x＝7处取得极小值，在x＝3处取得极大值，无最大值，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
8. CD　因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即ax3＋bx2＋cx＋d－ax3＋bx2－cx＋d＝2bx2＋2d＝0.由x的任意性可得b＝d＝0，所以f(x)＝ax3＋cx，x∈[－2，2]，则f′(x)＝3ax2＋c＝x2－2，可得3a＝1，c＝－2，即a＝，c＝－2，所以f(x)＝x3－2x，x∈[－2，2]，故A错误；因为f′(x)＝x2－2，x∈[－2，2]，令f′(x)>0，解得－2≤x<－或9. 1　由题意，得f′(x)＝x－sin x，x∈R.设g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x≥0，所以g(x)在R上单调递增．由g(x)＝0，得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝1.
10. －37　由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)>0，得x<0或x>2，所以函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也是最大值，则f(0)＝m＝3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5，故最小值是－37.
11. a＝4，b＝1或a＝0，b＝－1(填写一种即可)　由题意，得f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若≥1，即a≥3，则f′(x)≤0在区间[0，1]上恒成立，则f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以解得若≤0，即a≤0，则f′(x)≥0在区间[0，1]上恒成立，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以解得若0<<1，即00，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)在x＝处取得极小值，也是最小值，为f＝2×－a×＋b＝－1，即a3－27b－27＝0①.因为无法判断f(0)与f(1) 的大小，所以f(x)可能在x＝0处取得最大值，也可能在x＝1处取得最大值，即f(0)＝b＝1②或f(1)＝2－a＋b＝1③.由①②，得由①③，得或或均不满足012. 由题意，得f′(x)＝－x＝，
令f′(x)＝0，即－x＝0，
解得x＝－2或x＝1.
又x＋1>0，即x>－1，所以x＝－2舍去．
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
又f(0)＝ln 1－0＝0，f(2)＝ln 3－1>0，
所以f(x)max＝f(1)＝ln 2－，f(x)min＝f(0)＝0，
所以该函数在区间[0，2]上的最大值为ln 2－，最小值为0.
13. (1) 由题意，得f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－1，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，则f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，则f(x)在区间上单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，则f(x)在区间上单调递增，
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和，单调减区间为，
所以f(x)的极大值为f(－1)＝1，极小值为f＝－.
(2) 由(1)，得f(x)在区间(－2，－1)上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又f(－2)＝－2f＝－，
所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－2.
5．3.3　最大值与最小值(2)
1. D　由题意，得f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得x<2，所以f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(2)＝－e2.
2. B　由题意，得f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，而f＝2e，函数f(x)＝在区间上的最小值为2e，所以∈，即a≥.
3. B　由题意，得折成无盖盒子的底面是边长为a－2x的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2x，由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，得V′(x)＝12x2－8ax＋a2，令V′(x)>0，解得04. C　由题意，得f′(x)＝x2＋2x.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝0，由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞0，由f′(x)＜0，得－2＜x＜0，所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以函数在x＝0处取得极小值f(0)＝－，令f(x)＝x3＋x2－＝－，解得x＝0或x＝－3.若函数f(x)在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1＜0＜a＋5，得－2≤a＜1.
5. D　由题意，得f′(x)＝，当04时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(4)＝2－2ln 2－m，所以f(x)的值域为[2－2ln 2－m，＋∞).若函数f(x)＝－ln x－m有零点，则2－2ln 2－m≤0，解得m≥2－2ln 2，即实数m的取值范围为[2－2ln 2，＋∞).
6. C　因为y＝ex，y＝ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝ex＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，又0＜a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c).因为f(a)f(b)f(c)＞0，所以f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＞0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＞0.当f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＞0时，由f(x)存在零点x0可知x0∈(b，c) (a，c)；当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＞0时，由f(x)存在零点x0可知x0∈(0，a) (0，b) (0，c).综上，可知x0一定小于c.
7. AC　由题意，得y′＝6x2－6x－12.令y′＝6x2－6x－12＝0，则x＝－1或x＝2，当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜1时，y′＜0，故x＝－1是函数的极大值点，则函数的极大值也即在区间[－2，1]上的最大值为2×(－1)3－3＋12＋5＝12，故A正确，B错误；而当x＝－2时，y＝1，当x＝1时，y＝－8，故函数在区间[－2，1]上的最小值为－8，故C正确，D错误．故选AC.
8. ABD　对于A，令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即当x∈R时，ex≥x＋1，故A正确；对于B，令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝，所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，即当x>0时，ln x≤x－1，故B正确；对于C，令h(x)＝ex－x2－x－1，则h′(x)＝ex－x－1.由A知，ex≥x＋1，即h′(x)≥0恒成立，所以h(x)在R上单调递增．又h(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，h(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，h(x)>0，即当x∈(－∞，0)时，exx2＋x＋1，故C错误；对于D，令φ(x)＝ln x－1＋(x>0)，则φ′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，所以φ(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(1)＝0，即当x>0时，ln x≥1－，故D正确．故选ABD.
9. (0，e)　当a>0时，不等式x2－a ln x>0等价于>.令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，当00；当x>时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f()＝，所以>，即010. 25　由题意，得池底的面积为＝1 250(m2)，则池底维修费用为1 250×150＝187 500(元).因为x表示较短池壁长，所以00，所以f(x)在区间(0，25)上单调递减，在区间(25，25)上单调递增，所以当x＝25时，f(x)取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低．
11. e　由g(x)＝ax－ln x＋2，得g′(x)＝a－＝，x＞0，①当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0，e2]上单调递减，g(x)min＝g(e2)＝ae2＝4，得a＝(舍去)；②当0＜＜e2，即a＞时，g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)min＝g＝1＋ln a＋2＝4，得a＝e，满足条件；③当≥e2，即0＜a≤时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0，e2]上单调递减，g(x)min＝g(e2)＝ae2＝4，得a＝(舍去).故a＝e.
12. (1) 当a＝0时，f(x)＝ex＋1，f(1)＝e＋1，且f′(x)＝ex，
所以k＝f′(1)＝e，
故切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.
(2) 因为f′(x)＝ex－a，ex∈[1，e]，
由1＜a＜e，存在x0∈[0，1]，使得f′(x0)＝0，
即ex0＝a，x0＝ln a，
当x∈[0，x0)时，f′(x0)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(x0，1]时，f′(x0)＞0，f(x)单调递增，
故f(x)min＝f(x0)＝ex0－ax0＋1＝a－a ln a＋1＝3－2ln 2，
令g(a)＝a－a ln a＋1，g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a＜0，
所以g(a)在区间(1，e)上单调递减，
易知g(2)＝3－2ln 2，所以a＝2.
13. (1) 当a＝2时，f(x)＝2x－ln x－3，
则f′(x)＝2－，
所以f(1)＝－1，f′(1)＝1，函数f(x)在x＝1处的切线方程为y－(－1)＝x－1，即y＝x－2.
(2) 因为g(x)＝f(x)－t(0≤t≤1)在区间[e-5，e2]上总有两个零点，
所以函数f(x)在区间[e-5，e2]上的图象与直线y＝t总有两个不同交点．
由f(x)＝ax－ln x－3，得f′(x)＝a－＝，
①当a≤0时，f′(x)＝＜0，
所以函数f(x)在区间[e-5，e2]上单调递减，不满足题意；
②当a＞0，当≤e-5或≥e2时，f′(x)≥0或f′(x)≤0，
所以函数f(x)在区间[e-5，e2]上单调，不符合题意，
故需e-5＜＜e2，即e-2＜a＜e5，
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在区间[e-5，e2]上的图象与直线y＝t(0≤t≤1)恒有两个不同交点，
则需解得≤a＜e2，
所以实数a的取值范围是.